Исследовать сходимость числового ряда онлайн: Исследование степенного ряда на сходимость

Введение

Исследование пространственной сходимости моделирования является прямым методом для определение упорядоченной дискретизации ошибка в моделировании CFD. Метод предполагает выполнение моделирование на двух или более последовательно более мелких сетках.

По мере уточнения сетки (ячейки сетки становятся меньше, а число ячеек в области течения увеличивается) и шаг по времени уточняется (уменьшили) пространственную и временную ошибки дискретизации соответственно, должен асимптотически приближаться к нулю, исключая компьютерную ошибку округления.

Методы исследования пространственной и временной конвергенции CFD симуляции представлены в книге Роуча. Они основаны на использовании Экстраполяция Ричардсона. Краткое изложение метода представлено здесь.

Общее обсуждение ошибок в CFD вычисления доступны для фона.

Скорее всего, мы захотим определить диапазон ошибок для инженерные величины, полученные из самого точного решения сетки. Однако, если моделирование CFD является частью проектного исследования, которое может потребуются десятки или сотни симуляций, мы можем захотеть использовать один из более грубые сетки.

Рекомендации по сетке для конвергенции сетки Исследование

Самый простой способ создания серии сеток — сгенерировать сетку с шагом сетки 90 118 и 90 119, возможно, достигнув верхнего предела терпимости к созданию сетки или ожидание сходимости вычислений на этой сетке. Затем более грубые сетки можно получить, удалив каждую вторую линию сетки в каждом координатное направление. Это может быть продолжено для создания дополнительных уровни более грубой сетки. При построении мелкой сетки можно встроить n уровней более грубой сетки, убедившись, что количество узлов сетки в каждом направлении координат удовлетворяет соотношению

N = 2 ⁿ м + 1

, где м — целое число. Например, если два уровня более грубого желательны сетки (т. е. мелкие, средние и крупные сетки), то количество узлов сетки в каждом направлении координат должно быть равно 4 м + 1 . м могут быть разными для каждого направления координат.

Код WIND имеет сетка контроль последовательности, который решит решение на более грубой сетке без необходимости изменять входной файл сетки, граничное условие settings или файл входных данных. Далее, сходящееся решение на тогда более грубая сетка может быть использована непосредственно в качестве начального решения на более мелкая сетка. Эта опция изначально использовалась для ускорения сходимость решений; тем не менее, может быть эффективно использован для сетки исследование конвергенции.

Нет необходимости уменьшать вдвое количество точек сетки в каждом направление координат, чтобы получить более грубую сетку. Нецелочисленная сетка можно использовать рафинирование или огрубление. Это может быть желательно, поскольку половинчатая сетка может вывести решение за пределы асимптотического диапазона. Для нецелочисленного измельчения или огрубления сетки потребуется генерация новой сетки. Важно поддерживать ту же генерацию сетки параметры исходной сетки. Один из подходов заключается в выборе нескольких сеток интервалы в качестве опорных интервалов сетки. Один должен быть шаг сетки нормально к стенам. Другими могут быть интервалы на границах потока, на соединения в геометрии или на зональных интерфейсах. После выбора отношение, в котором сетка должна быть измельчена или огрублена, это же соотношение применяется к этим промежуткам. Тогда количество узлов сетки регулируется в соответствии с параметрами качества сетки, такими как шаг сетки пределы соотношения. Поверхностная и объемная сетки затем генерируются с использованием теми же методами, что и исходная сетка. Коэффициент измельчения сетки должно быть не менее

Орден Конвергенции Сети

Порядок сходимости сетки включает поведение решения ошибка, определяемая как разница между дискретным решением и точное решение,

где С — константа, h — некоторая мера сетки интервал, а p – порядок сходимости. «второго порядка» решение будет иметь p = 2 .

Код CFD использует численный алгоритм, который обеспечивает теоретический порядок сходимости ; однако граничные условия, численные модели и сетка уменьшат этот порядок так, что наблюдаемый порядок сходимости , вероятно, будет ниже.

Пренебрегая членами высшего порядка и логарифмируя обе части приведенное выше уравнение дает:

Порядок сходимости p можно получить из наклона кривая log(E) по сравнению с log(h) . Если такие точки данных доступны, наклон может быть прочитан из графика или наклон может быть вычисляется методом наименьших квадратов данных. Метод наименьших квадратов, скорее всего, быть неточным, если имеется только несколько точек данных.

Более прямую оценку p можно получить из трех решений с использованием постоянного коэффициента измельчения сетки r ,

Порядок точности определяется порядком ведущий член ошибки усечения и представлен с относительно масштаба дискретизации, ч . местный порядок точности — это порядок трафарета, представляющего дискретизация уравнения в одном месте сетки. глобальный порядок точности учитывает распространение и накопление ошибок вне трафарета. Это распространение вызывает глобальный порядок точности должен быть, как правило, на один градус меньше, чем местный порядок точности. Порядок точности границы условия могут быть на порядок точности ниже, чем внутренний порядок точности без ухудшения общей глобальной точности.

Асимптотический диапазон сходимости

Для оценки точности кода и расчетов необходимо, чтобы сетка достаточно уточнена, так что решение находится в асимптотике диапазон сходимости. Получена асимптотическая область сходимости когда шаг сетки таков, что различные шаги сетки h и ошибки E приводят к постоянству C ,

С = Е/ч ^р

Еще одна проверка асимптотического диапазона будет рассмотрена в разделе по индексу сходимости сетки.

Экстраполяция Ричардсона

Экстраполяция Ричардсона — это метод получения оценка значения континуума (значение при нулевом шаге сетки) из ряд дискретных значений более низкого порядка.

Моделирование даст величину f , которую можно выразить в общем виде расширением серии:

f = f _h=0 + g ₁ h + g ₂ ч ² + г ₃ ч ³ + …

, где h — шаг сетки и функции г ₁ , г ₂ и г ₃ не зависят от шага сетки. Количество f составляет считается «второго порядка», если г ₁ = 0,0 . f _h=0 — значение континуума при нулевом шаге сетки.

Если принять решение второго порядка и вычислить f на две сетки с шагом ч ₁ и ч ₂ с h ₁ является меньшим (меньшим) интервалом, тогда можно напишите два уравнения для приведенного выше разложения, пренебрегая третьим порядком и высшие члены и решить для f _h=0 , чтобы оценить континуальное значение,

, где коэффициент измельчения сетки:

r = h ₂ / h ₁

Экстраполяцию Ричардсона можно обобщить для p-го методы заказа и r — значение коэффициента сетки (которое не обязательно быть целым числом) как:

Традиционно экстраполяция Ричардсона использовалась с сеткой. коэффициенты уточнения r = 2 . Таким образом, приведенное выше уравнение упрощает до:

Теоретически приведенные выше уравнения для экстраполяции Ричардсона будут дать оценку четвертого порядка f _h=0 , если f ₁ и f ₂ были рассчитаны именно методами второго порядка. В противном случае будет быть оценкой третьего порядка. В общем, будем считать f _h=0 быть p+1 порядок точный. Можно применить экстраполяцию Ричардсона. для решения в каждой точке сетки или для функционалов решения, таких как как восстановление давления или сопротивление. Это предполагает, что решение глобально второго порядка в дополнение к локально второму порядку, и что функционалы решения вычислялись с использованием согласованного второго порядка методы. Другие предостережения при использовании экстраполяции Ричардсона (неконсервативность, усиление ошибки округления и т. д.) являются обсуждалось в книге Роуча.

Для наших целей мы будем считать, что f является функционалом решения (т.е. восстановление давления). Тогда f _h=0 является оценкой f в пределе, когда шаг сетки стремится к нулю. Одно использование f _h=0 заключается в сообщении значения как улучшенной оценки f ₁ из исследования CFD; однако нужно понимать предостережения упомянутые выше, которые соответствуют этому значению.

Другое использование f _h=0 заключается в получении оценки ошибка дискретизации, что полосы f получены из CFD. Это использование сейчас будут обследоваться.

Разница между f ₁ и f _h=0 составляет одну оценку ошибки; однако это требует рассмотрения предостережений, прилагаемых к ж _ч=0 .

Мы сосредоточимся на использовании ф ₁ и ф ₂ чтобы получить оценку ошибки. Изучая приведенное выше обобщенное экстраполяционное уравнение Ричардсона, второй член в правой части можно считать оценкой ошибки f ₁ . Уравнение может быть выражено как:

А ₁ = Е ₁ + О( ч ^р+1 , Е ₁ ² )

, где A ₁ — фактическая дробная ошибка, определяемая как:

A ₁ = ( f ₁ — f _h=0 ) / f _h=0

и E ₁ — оценка дробной ошибки для f ₁ определяется как:

, где относительная ошибка определяется как:

Эту величину не следует использовать в качестве оценки погрешности, поскольку он не учитывает р или р . Это может привести к недооценка или переоценка ошибки. Можно сделать это количество искусственно занижено просто с помощью измельчения сетки соотношение r близко к 1,0.

Расчетная дробная ошибка E ₁ является заказал оценщик ошибок и хорошее приближение ошибка дискретизации на мелкой сетке, если ф ₁ и f ₂ были получены с хорошей точностью (т.е. E ₁ <1 ). Значение E ₁ может быть бессмысленно, если f ₁ и f _h=0 равны нулю или очень маленький по сравнению с f ₂ -f ₁ . Если такое случае следует использовать другое нормализующее значение вместо ф ₁ .

Если необходимо выполнить большое количество вычислений CFD (т.е. для исследование DOE), можно использовать более грубую сетку с ч ₂ . Затем мы хотим оценить ошибку на более грубая сетка. Экстраполяция Ричардсона может быть выражена как:

Расчетная дробная ошибка для f ₂ равна определяется как:

Экстраполяция Ричардсона основана на представлении ряда Тейлора. как указано в уравнении. \ref{eq:ряд}. При наличии толчков и др. присутствуют разрывы, экстраполяция Ричардсона недействительна в область разрыва. До сих пор считается, что это применимо функционалам решения, вычисляемым по всему полю течения.

Индекс конвергенции сети (GCI)

Роуч предлагает сетку индекс конвергенции GCI для обеспечения согласованности в отчет о результатах исследований конвергенции сетки и, возможно, предоставить полоса погрешности сходимости решения по сетке. GCI можно вычислить с использованием двух уровней сетки; тем не менее, три уровня рекомендуется для точной оценки порядка сходимости и проверить, что решения находятся в пределах асимптотического диапазона конвергенция.

Последовательный численный анализ даст результат, который приближается к фактическому результату, когда разрешение сетки приближается к нулю. Таким образом, дискретизированные уравнения будут приближаться к решению фактические уравнения. Одна существенная проблема в численных вычислениях состоит в том, какой уровень разрешения сетки подходит. Это функция условия потока, тип анализа, геометрия и другие переменные. Один часто приходится начинать с разрешения сетки, а затем проводить серию уточнения сетки для оценки эффекта разрешения сетки. Это известный как исследование уточнения сетки.

Нужно признать различие между числовым результатом, который приближается к асимптотическому числовому значению и к тому, которое приближается к верное решение. Есть надежда, что по мере уточнения сетки и разрешения улучшается то, что вычисленное решение не сильно изменится и приблизится асимптотическое значение (т. е. истинное численное решение). Там еще может быть ошибкой между этим асимптотическим значением и истинным физическим решением к уравнениям.

Роуч предоставил методологию для единообразного отчета об исследованиях по уточнению сетки. «Основная идея состоит в том, чтобы приблизительно связать результаты любого теста с измельчением сетки с ожидаемые результаты от удвоения сетки с использованием метода второго порядка. GCI основан на оценке ошибки уточнения сетки, полученной из теории обобщенной экстраполяции Ричардсона. Это рекомендуется к использованию вне зависимости от того, действительно ли экстраполяция Ричардсона используется для повышения точности, а в некоторых случаях даже если условия для теории строго не соблюдаются». Цель состоит в том, чтобы обеспечить мера неопределенности сходимости сетки.

GCI — это мера процентной доли вычисленного значения. от значения асимптотического числового значения. Это указывает на полоса ошибок, определяющая, насколько далеко решение от асимптотического значения. Это указывает, насколько изменится решение при дальнейшем уточнении сетки. Небольшое значение GCI указывает на то, что вычисление находится в пределах асимптотического диапазона.

GCI на мелкой сетке определяется как:

, где F _s — запас прочности. Уточнение может быть пространственным или во времени. Коэффициент запаса рекомендуется F _s =3,0 для сравнения двух сеток и F _s =1,25 для сравнения трех или более сеток. Более высокий коэффициент безопасности рекомендуется для целей отчетности и довольно консервативен по отношению к фактическим ошибкам.

Когда деятельность по проектированию или анализу будет включать множество симуляций CFD (т.е. исследование DOE), можно использовать более грубую сетку h ₂ . Это затем необходимо количественно оценить ошибку для более грубой сетки. GCI для более грубая сетка определяется как:

Важно, чтобы каждый уровень сетки давал решения, находящиеся в асимптотическая область сходимости вычисленного решения. Это может быть проверено наблюдением за двумя Значения GCI , рассчитанные по трем сеткам,

GCI ₂₃ = r ^p GCI ₁₂

Требуемое разрешение сетки

Если желаемый уровень точности известен и получен из сетки исследование разрешения доступно, тогда можно оценить сетку разрешение, необходимое для получения желаемого уровня точности,

Независимое уточнение координат и методы смешанного порядка

Коэффициент измельчения сетки предполагает, что коэффициент измельчения r применяется одинаково во всех направлениях координат (i,j,k) для стационарных решений, а также время t для нестационарных решения. Если это не так, то сеточные индексы сходимости можно вычислить для каждого направления независимо, а затем добавить, чтобы получить общий индекс сходимости сетки,

Эффективный коэффициент уточнения сетки

Если кто-то создает более мелкую или грубую сетку и не уверен в значении коэффициент измельчения сетки, можно вычислить эффективную сетку коэффициент уточнения как:

, где N — общее количество точек сетки, используемых для сетки. и D — размер области течения. Эта эффективная сетка Коэффициент уточнения также можно использовать для неструктурированных сеток.

Пример исследования конвергенции сети

Следующий пример демонстрирует применение описанного выше процедуры проведения исследования сходимости сетки. Цель анализ CFD должен был определить восстановление давления на входе. Поле потока вычисляется на трех сетках, каждая с удвоенным числом узлов сетки в координатных направлениях i и j как предыдущая сетка. Количество точек сетки в к направление остается такой же. Так как поток осесимметричен в k направлении, мы считаем, что более мелкая сетка в два раза больше следующей более грубой. сетка. В таблице ниже указана информация о сетке и результирующая восстановление давления, рассчитанное по решениям. Каждое решение было правильно сходятся по итерациям. Столбец, обозначенный «Интервал» — это интервал, нормализованный по шагу самой мелкой сетки.

На рисунке ниже показан график восстановления давления при изменении шаг сетки. По мере уменьшения шага сетки давление восстанавливается. приблизиться к асимптотическому значению шага нулевой сетки.

Мы определяем порядок наблюдаемой сходимости из этих результатов,

p = ln[(0,96178 — 0,96854) / (0,96854 — 0,97050)] / ln(2) = 1,786170

Теоретический порядок сходимости: p=2.0 . разница, скорее всего, из-за растяжения сетки, качества сетки, нелинейности в решении, наличие скачков, турбулентность моделирования и, возможно, других факторов.

Теперь мы можем применить экстраполяцию Ричардсона, используя два лучших сетки для получения оценки величины восстановления давления на нулевой шаг сетки,

Pr _h=0 = 0,97050 + ( 0,97050 — 0,96854 ) / ( 2 ^1,786170 — 1 )
= 0,97050 + 0,00080 = 0,97130

Это значение также показано на рисунке ниже.

Теперь можно вычислить индекс сходимости по сетке для решения с мелкой сеткой. Коэффициент безопасности F _S =1,25 используется, т.к. для оценки p использовались три сетки. GCI для сетей 1 и 2 это:

GCI ₁₂ = 1,25 | ( 0,97050 — 0,96854 ) / 0,97050 | / ( 2 ^1,786170 — 1 ) 100% = 0,103083%

GCI для сетей 2 и 3:

GCI ₂₃ = 1,25 | (0,96854 — 0,96178) / 0,96854 | / ( 2 ^1,786170 — 1 ) 100% = 0,356249%

Теперь мы можем проверить, что решения находятся в асимптотическом диапазоне схождение,

0,356249 / ( 2 ^1,786170 0,103083 ) = 1,002019

, что примерно равно единице и указывает на то, что решения хорошо в пределах асимптотической области сходимости.

На основании этого исследования мы можем сказать, что восстановление давления для сверхзвуковая рампа оценивается в Pr = 0,97130 с ошибкой полоса 0,103% или 0,001 .

VERIFY: программа на Фортране для выполнения вычислений Связан с исследованием конвергенции сети

Программа Verify.f90 на Фортране 90 была написано для выполнения вычислений, связанных со сходимостью сетки исследование с участием 3 и более сеток. Программа скомпилирована в системе unix. через команды:

f90 проверить.f90 -o проверить

Читает файл ASCII (prD.do) через стандартный блок ввода (5), который содержит список пар размера сетки и значение наблюдаемой величины f .

проверить prD.out

Принимает значения из самой мелкой сетки перечислены первыми. Затем вывод записывается в стандартный вывод блок (6) прД.выход. Вывод из {\tt verify} для результаты Приложения А:

 --- VERIFY: Выполнение проверочных расчетов ---
  
 Количество прочитанных наборов данных = 3
  
      Размер сетки Количество
  
      1,000000 0,970500
      2,000000 0,968540
      4,000000 0,961780
  
 Порядок сходимости по первым трем самым мелким сеткам
 и предполагая постоянное измельчение сетки (уравнение 5. 10.6.1)
 Порядок сходимости, p = 1,78618479
  
 Экстраполяция Ричардсона: используйте приведенный выше порядок сходимости
 и первая и вторая самые точные сетки (уравнение 5.4.1)
 Оценка для нулевого значения сетки, f_exact = 0,971300304
  
 Индекс сходимости сетки на мелких сетках. Использует p сверху.
 Коэффициент безопасности = 1,25
  
   Уточнение сетки
   Коэффициент шага, r GCI (%)
   1 2 2,000000 0,103080
   2 3 2,000000 0,356244
  
 Проверка асимптотического диапазона с использованием уравнения 5.10.5.2.
 Отношение 1,0 указывает на асимптотический диапазон.
  
  Соотношение диапазонов сетки
  12 23 0,997980
  
 --- Конец ПРОВЕРКИ ---
 

Примеры объединения сетей Исследования в архиве

Примеры объединения сетей Исследования в области литературы

Другие примеры исследований сходимости сетки, в которых используются процедуры изложенное выше можно найти в книге Роуч и газета Штеффен и др.