Исследовать ряды на сходимость примеры решений: Как исследовать ряд на сходимость: примеры решений

Исследовать ряд на сходимость. — примеры, решения

Пример 1:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства

       

Ряд  расходится (гармонический ряд), следовательно, расходится и исходный ряд (по признаку сравнения).

Пример 2:

Исследовать числовой ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид , при этом

Поскольку , для этого ряда не выполнено необходимое условие сходимости — ряд расходится.

Пример 6:

Исследовать на сходимость числовой ряд.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

         

Следовательно, данный ряд сходится (по признаку Даламбера).

Пример 10:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства

       

Ряд  сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11/6>1), следовательно, сходится и исходный ряд (по признаку сравнения).

Пример 14:

Найти область сходимости степенного ряда.

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Исследовать на сходимость ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом для n≥1 выполнены неравенства

       

Ряд  сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем q=2/3

Пример 18:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Исследовать на сходимость ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

       

Следовательно, данный ряд сходится (по признаку Даламбера).

Пример 22:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Исследовать сходимость ряда:

.

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Исследовать на сходимость ряд:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Используем интегральный признак сходимости.

Расходится, следовательно, ряд тоже расходится.

Ответ: Ряд расходится.

Пример 26:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Исследовать сходимость ряда c

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Исследовать сходимость степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Исследовать ряд на сходимость:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Исследовать сходимость числового ряда

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно.

Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

• 22423 авторов готовы помочь тебе.
• 2402 онлайн

Ряды (Математический анализ)

Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1982. — 160 с. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. § 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Необходимый признак сходимости ряда. а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сходимости Даламбера и Коши. 3. Интегральный признак сходимости Коши. 4. Примеры исследования рядов на сходимость. § 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами. 2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами. § 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ 2. Абсолютно сходящиеся ряды. 3. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 4. Свойства условно сходящихся рядов. § 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ § 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 2. Чебышевское расстояние между функциями. 3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности. 4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса. 5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости. § 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1. Почленное интегрирование функциональных рядов. 2. Почленное дифференцирование функциональных рядов. § 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Функции комплексного переменного. 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. 3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области. ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ § 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости. 3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. § 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области. 2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области. 3. Единственность разложения функции в степенной ряд. § 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Показательная функция в комплексной области. 2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера. § 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ 1. Вычисление значений функций и интегралов. 2. Вычисление пределов. 3. Метод последовательных приближений. ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ § 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 2. Скалярное произведение функций. 3. Ортонормированные системы функций. § 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ 2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций. § 20. ЛЕММА РИМАНА 1. Кусочно гладкие функции. 2. Лемма Римана. § 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Формула для частичных сумм ряда Фурье. 2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье. 3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье. 4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье. 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье. Ответы к упражнениям

Исчисление 2 Справка

Студенты, нуждающиеся в помощи по исчислению 2, получат большую пользу от нашей интерактивной программы. Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по исчислению 2. Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы быстро получите много помощи по Calculus 2. Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации по исчислению 2.

Исчисление 2 продолжается математическим исследованием изменений, впервые представленным студентам во время Исчисления 1. Курс охватывает интеграцию, применение интегрирования и ряды, а также рассматривает и расширяет понятия, введенные в Исчислении 1, такие как пределы и производные. Это преимущественно курс математики на уровне колледжа, и большинство студентов, которые проходят этот курс, делают это либо на первом, либо на втором курсе. Поскольку «Исчисление 2» является продолжением «Исчисления 1», рекомендуется, чтобы учащиеся проходили два курса последовательно. Хотя Calculus 2 обычно не является обязательным курсом в колледже, он настоятельно рекомендуется студентам, изучающим математику или любую другую область, требующую продвинутых математических понятий, таких как инженерное дело, физика или экономика.

Нужен ли вам репетитор по математическому анализу в Атланте, репетитор по математическому анализу в Хьюстоне или в Сан-Франциско, работа один на один с экспертом может быть именно тем, что вам нужно для учебы.

Бесплатный инструмент обучения Learn by Concept от The Varsity Tutors предлагает учебные материалы для студентов, которым нужна помощь в изучении Calculus 2 или которые просто хотят повторить предмет. Инструмент обучения построен как интерактивная учебная программа с рядом разделов и тем, подробно описывающих исчисление 2. Нажав на любую тему, вы перейдете к серии примеров вопросов с несколькими вариантами ответов. Затем вы можете просмотреть образец вопроса и возможные ответы, решить проблему и выбрать ответ, который вы считаете правильным. Правильный ответ указан под вариантами ответов, что позволяет вам проверить правильность своего ответа. Varsity Tutors предлагает ресурсы, такие как бесплатные практические тесты по исчислению II, которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о репетиторах по исчислению II.

Было бы полезно просто задавать вопросы и ответы, но инструмент «Узнай по концепции» делает больше. Подробное пошаговое описание того, как прийти к правильному ответу, прилагается к каждому примерному вопросу, что помогает упростить задачу. Эти описания показывают каждое уравнение, концепцию и теорию, которые применимы к проблеме, будь то получение производной функции или просто переписывание уравнения. Если вы дали неправильный ответ, вы можете выяснить, где вы ошиблись, и что вам нужно сделать, чтобы в будущем задать правильный вопрос. Если вы дали правильный ответ с первой попытки, вы можете проверить свою работу, чтобы убедиться, что понимаете, почему ваш ответ был правильным.

Независимо от того, начали ли вы изучение Calculus 2 или готовитесь к выпускному экзамену, вы можете использовать инструмент «Учиться по концепции» в качестве учебного пособия. Инструмент охватывает широкие единицы деривативов; интегралы; лимиты; параметрический, полярный и векторный; и серии в исчислении.

Это также входит в особенности в каждой категории. Вы можете пройти весь блок сразу или сосредоточиться на одной теме или подтеме. Благодаря тысячам примеров вопросов по Calculus 2 в базе данных средств обучения охвачены все возможные темы. В дополнение к справочному разделу по исчислению II и репетиторству по исчислению II вы также можете рассмотреть некоторые из наших карточек с исчислением II.

Инструмент «Обучение по концепции» лучше всего использовать вместе с другими инструментами обучения. Прохождение бесплатного полного практического теста поможет вам определить, какие темы Calculus 2 вы уже знаете и на чем следует сосредоточить свое внимание. Пройдя один из сотен бесплатных тематических практических тестов по исчислению 2, вы также можете использовать карточки по тем же темам. Практические тесты и карточки можно сортировать по категориям или настраивать в соответствии с вашими потребностями. Ежедневное использование инструмента «Вопрос дня» будет давать вам случайный вопрос из всех тем Calculus 2, помогая вам понять ваши общие знания по предмету.

Используйте средства обучения, чтобы оставаться организованным в рамках подготовки к Calculus 2.

• Исчисление II

• Производные

• Производный обзор

• Определение производной

• Производная в точке

• Первая и вторая производные функций

• Прочие производные обзоры

• Новые концепции

• Метод Эйлера

• Правило Лопиталя

• Интегралы

• Нахождение интегралов

• Определенные интегралы

• Несобственные интегралы

• Неопределенные интегралы

• Решение интегралов подстановкой

• Интегральные приложения

• Приложения в физике

• Область под кривой

• Средние значения и длины функций

• Объем твердого тела

• Введение в интегралы

• Определение интеграла

• Основная теорема исчисления

• Суммы Римана

• Ограничения

• Нахождение пределов и односторонних пределов

• Концепции пределов

• Пределы и асимптоты

• Пределы и непрерывность

• Параметрический, полярный и векторный

• Параметрический

• Производные параметрики

• Графические параметры

• Параметрические расчеты

• Параметрическая форма

• Полярный

• Производные полярной формы

• Графическая полярная форма

• Полярные расчеты

• Полярная форма

• Вектор

• Производные векторов

• Графические векторы

• Векторные вычисления

• Векторная форма

• Серия

  в исчислении

• Конвергенция и дивергенция

• Сравнение серии

• Проверка соотношения

• Введение в ряды в исчислении

• Концепции конвергенции и дивергенции

• Серия

  и функции

• Тейлор и Маклорен Серия

• Ошибка Лагранжа

• Серия Маклорена

• Силовая серия

• Серия Тейлор

• Типы серии

• Чередующийся ряд

• Арифметические и геометрические ряды

• Гармоническая серия

Решения и конвергенция серии

Решения серии и конвергенция

В предыдущем разделе мы видели, как находить ряды решений второго порядка. линейные дифференциальные уравнения. Мы не исследовали сходимость эти серии. В этом обсуждении мы выведем альтернативный метод найти ряд решений. Мы также научимся определять радиус сходимости решений, просто взглянув на дифференциал уравнение.

 

Пример

Рассмотрим дифференциальное уравнение

        y» + y’ + ty  =  0

Как и раньше ищем серийное решение

        г = а ₀ + а ₁ t + а ₂ t ² + а ₃ t ³ + а ₄ т ⁴ + …

Теория ряда Тейлора утверждает, что

        нет данных _н =  y ⁽ⁿ⁾ (0)

У нас есть

        г» = -y’ –

 ты

Вставка 0 дает

        2!a ₂ =  y»(0)  =  -y'(0) + 0  =  -a ₁  

        а ₂ = -a ₁ /2

 

Взятие производной дифференциального уравнения дает

        (у» + у’ + ty)’  =  y»’ + y» + ty’ + y  =  0

или

        г»’ =  -y» — ty’ — y

Подстановка нуля дает

        3!a ₃ = а ₁ — а ₀  

        а ₃ = а ₁ /6 — а ₀ /6

Взятие другой производной дает

        (у»’ + у» + ty’ + y)’  =  y ^(iv) + y»’ + ty» + 2y’ = 0

или

        д ^(iv) =  -y»’ — ty» — 2y’

Подстановка нуля дает

        4!a ₄ = -a ₁ + a ₀ — 2a ₁  

        а ₄ = -49/24 a ₁ + a ₀ /24

Здесь важно отметить, что все коэффициенты могут быть написано в терминах первых двух.

Чтобы сформулировать теорему об этом, нам сначала нужно определение.

Определение Функция f(x) называется аналитический в х 0 если f(x) равно своему степенному ряду.

Оказывается, если p(x) и q(x) аналитичны, то всегда существует решение уравнения в степенном ряду. соответствующее дифференциальное уравнение. Мы констатируем этот факт ниже без доказательство. Если x ₀ — точка такая, что p(x) и p(x) аналитические, то x ₀ называется обычная точка дифференциала уравнение.

Теорема Пусть x 0 — обычная точка дифференциальное уравнение L(y) = y» + p(t)y’ + q(t)y = 0 Тогда общее решение может быть представлена ​​силовой серией где а 0 и 1 произвольные константы и y 1 и y 2 аналитичны в x 0 . Радиусы сходимости для y 1 и y 2 не меньше минимального радиусы сходимости для p и кв.

Примечание :  Самый простой способ найти радиусы сходимости большинства функций, используя следующий факт

        Если f(x) является аналитической функцией для всех x, то радиус сходимости для 1/f(x) — расстояние от центра сходимость к ближайшему корню (возможно, комплексному) функции f(x).

Пример 

Найдите нижнюю границу радиуса сходимости решений рядов относительно x =  1 для дифференциального уравнения   

(x ² + 4)y» + sin(x)y’ + e ^x y = 0

Раствор

У нас есть

грех Икс е ^x
р(х) знак равно q(x)  =                         
х ² + 4 х ² + 4 

Обе они являются частными аналитических функций. корни х ² + 4

        2i и         -2i

Расстояние от 1 до 2i составляет то же, что и расстояние от (1,0) до (0,2), что равно

       

Получаем одинаковое расстояние от 1 до -2i.