Исследовать ряды на сходимость онлайн: Исследование степенного ряда на сходимость

Содержание

сходимость ряда онлайн | исследовать ряд на сходимость онлайн

Сходимость ряда – очень важное понятие в исчислении. Сходимость рядов указывает на то, что существует предел ряда, а когда он расходится, это указывает на то, что предел ряда не существует. сходимость ряда онлайн – это онлайн-инструмент, который помогает вам определить, сходится или расходится данный ряд.

Проще говоря,

По сходимости предел стремится к бесконечности
По дивергенции предел не стремится к бесконечности,
Ряд всегда либо сходится, либо расходится. У него не может быть ни одного свойства одновременно.

Темы схождения и расхождения используются в режиме реального времени. Обычно эта концепция применяется в сетях. Вы можете исследовать ряд на сходимость онлайн без дополнительной оплаты. Этот инструмент поможет вам найти онлайн-сходимость числового ряда .

Критерии сходимость ряда онлайн

Необходимый признаки сходимости рядов состоит в том, что предел ряда должен стремиться к бесконечности. Дивергенция означает, что две вещи движутся раздельно, в то время как конвергенция предполагает, что две силы движутся вместе.

an сходится сходится
Если , тогда ряд может быть сходящимся или расходящимся.
Если , то ряд расходится

исследовать ряд на сходимость онлайн РЕШЕНИЕ

Существует множество сложных тестов, чтобы выяснить, сходится ли ряд или расходится, например, тест корня, тест отношения и тест сравнения. Но вам не нужно понимать все эти концепции. Эта онлайн-конвергенция рядов поможет вам найти сходимости или расхождения рядов в упрощенном формате.

Этот инструмент занимает лидирующие позиции в Интернете, когда дело доходит до понимания такой сложной темы, как конвергенция. Лучшая часть этого инструмента – то, что он объясняет все важные моменты, такие как ряды, требуемые критерии сходимости, а также несколько примеров, чтобы у студентов были развиты основы исчисления.

Изучите сходимость ряда онлайн

Вы можете использовать сходимость ряда онлайн, чтобы исследовать ряды на предмет сходимости . Этим онлайн-инструментом можно очень легко пользоваться, и вам не нужно понимать логику его работы. Эта онлайн-конвергенция числовых рядов также поможет вам в решении ваших домашних заданий.

Иногда учащиеся не могут следить за преподаванием в школах, и конвергенция ряда является очень важной темой математического анализа. Если вы не в состоянии это понять, вы не сможете решить дальнейшие вопросы о конвергенции или расхождении.

Этот инструмент также поможет вам в онлайн-исследовании конвергенции . Вы можете практиковать различные типы вопросов, такие как sin, cos и другие многочленные и квадратные уравнения, чтобы лучше понять тему.

С помощью инструмента сходимости рядов вы можете в режиме онлайн исследовать сходимость ряда для любой данной последовательности. Пользовательский интерфейс этого инструмента очень прост и удобен. Вам просто нужно вставить данное уравнение, и инструмент сообщит вам, сходится ли данное уравнение или расходится.

Этот инструмент сходимости рядов также объясняет концепцию, которая используется для получения результатов. Это позволит убедиться, что учащиеся также понимают основную концепцию исчисления. Результаты, полученные с помощью этого инструмента, являются наиболее точными.

Онлайн-конвертер для перевода дюймы в см

Интегральный признак Коши сходимости рядов в примерах

Интегральный признак Коши, часто называемый просто интегральным признаком, так же, как и признак сравнения, признак Даламбера и радикальный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов. Исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится.

Для использования интегрального признака Коши нужно уметь уверенно находить несобственные интегралы.

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции f(x), положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда относительно интеграла, в котором подынтегральная функция задаёт общий член ряда, верно следующее:

если интеграл сходится, то сходится и ряд ;
если же интеграл расходится, то и ряд также расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как интеграл сходится при и расходится при , то, согласно интегральному признаку Коши, и данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл. В качестве пределов интегрирования поставим — внизу: то, чему равно «эн» внизу «сигмы», то есть 2; наверху: то, что наверху у «сигмы», то есть бесконечность.

В подынтегральной функции вместо «эн» будет «икс». Выясним, сходится или расходится полученный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то, согласно интегральному признаку Коши, данный ряд также расходится.

Пример 3. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл. Начиная вычислять его, сразу применяем подведение под знак дифференциала:

Так как несобственный интеграл равен бесконечности, то он расходится. Поэтому данный ряд, согласно интегральному признаку Коши, также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл и выясним, сходится он или расходится:

так как

Мы получили, что несобственный интеграл равен конечному числу, поэтому он сходится. По интегральному признаку Коши и данный ряд также сходится.

Пример 5. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Составим соответствующий несобственный интеграл. При решении применяем подведение под знак дифференциала:

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Ряды

Всё по теме «Ряды»

Числовые ряды
Признак сравнения рядов
Признак Даламбера сходимости рядов
Радикальный признак Коши сходимости рядов
Интегральный признак Коши сходимости рядов
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница
Функциональные ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье

Series Convergence Calculator — Обмен файлами

Этот сценарий находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумму, предоставляет график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал сходимости степенного ряда. Включены следующие тесты: тест дивергенции (тест n-го члена), интегральный тест (тест Маклорена-Коши), тест сравнения, тест предельного сравнения, тест отношения (тест отношения Даламбера), тест корня (тест корня Коши), тест чередующихся рядов. (критерий Лейбница), критерий абсолютной сходимости, критерий p-ряда, критерий геометрического ряда, критерий Раабе, критерий Бертрана, критерий Ермакова и критерий степенного ряда. Тест степенных рядов использует тест отношений, тест корней и теорему Коши-Адамара для расчета радиуса и интервала сходимости степенных рядов. Все тесты имеют графики частичной суммы, кроме теста Power Series. Этот сценарий поможет учащимся исчисления (II или III) с главой «Бесконечные ряды», учащимся, изучающим дифференциальные уравнения, с решениями для рядов и учащимся, изучающим реальный анализ, с расширенными тестами сходимости.

В основном списке (упомянутом выше) 14 тестов сходимости. Тест абсолютной сходимости имеет второй список с 3 тестами сходимости: абсолютная сходимость с интегральным тестом, абсолютная сходимость с тестом сравнения и абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. Всего имеется 16 тестов сходимости. Все тесты на сходимость требуют ввода выражения бесконечной последовательности, выбранного номера теста (из 14) и начального k для 11 тестов — это все, что требуется для выполнения этих тестов. Тест абсолютной сходимости имеет дополнительные входные данные из списка Тест абсолютной сходимости (из 3): Абсолютная сходимость с интегральным тестом, Абсолютная сходимость с тестом сравнения и Абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. 2 сравнительных теста и 2 предельных сравнительных теста имеют 2 дополнительных входа: является ли выражение сравнения сходящимся или расходящимся, и, наконец, выражение сравнения. Чтобы ввести входные данные, ответьте на вопросы в нижней части командного окна после запуска скрипта.

Слева от заголовка приведен пример снимка экрана с тестом чередующихся серий (описание теоремы и теста чередующихся серий закомментировано, чтобы вместить всю информацию).

Я написал этот скрипт, потому что никто другой этого не делал, и я предположил, что он может получить значительное количество загрузок. Я тщательно протестировал этот сценарий с ~22 книгами по математическому анализу. Первоначально я предназначал этот сценарий для студентов, но он стал настолько мощным, точным, простым в использовании и надежным, что профессор получил прибыль от его использования. Если у кого-то есть вопросы или комментарии по этому сценарию, включая возможности трудоустройства, не стесняйтесь обращаться ко мне!

Цитировать как

Дэвид Казенав (2022). Калькулятор сходимости серий (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72141-series-convergence-calculator), MATLAB Central File Exchange. Проверено 13 декабря 2022 г. .

Исчисление II — Интегральный тест

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 10.6: Интегральный тест

{{\,\infty}}{{\frac{1}{x}\,dx}} = \infty\]

, поэтому мы назвали этот интеграл расходящимся (да, это тот же самый термин, который мы используем здесь с рядом…. ).

Итак, как это поможет нам доказать, что гармонический ряд расходится? Напомним, что мы всегда можем оценить площадь, разбив интервал на сегменты, а затем начертив прямоугольники и используя сумму площадей всех прямоугольников в качестве оценки фактической площади. Давайте сделаем это и для этой задачи и посмотрим, что мы получим.

Разобьем интервал на подинтервалы шириной 1 и возьмем значение функции в левой конечной точке за высоту прямоугольника. На изображении ниже показаны первые несколько прямоугольников для этой области.

Итак, площадь под кривой приблизительно равна

\[\ begin{align*} A & \ приблизительно \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {1}} \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо) + \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {2}} \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо) + \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {3}} \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо) + \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {4}} \ вправо) \left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{5}} \right)\left( 1 \right) + \cdots \\ & = \frac{1}{1} + \frac{ 1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots \\ & = \sum\limits_{n = 1}^\ infty {\ frac {1} {n}} \ end {align *} \] 9\ infty {\ гидроразрыва {1} {n}} = \ infty \]

Поскольку мы не можем быть больше бесконечности, гармонический ряд также должен быть бесконечным по значению. 2}}} + \cdots \конец{выравнивание*}\] 92}}}} < 2\]

В случае с гармоническим рядом этого было достаточно, чтобы сказать, что ряд расходится. Однако в этой серии этого недостаточно. Например, \( — \infty < 2\), и если бы ряд действительно имел значение \( - \infty \), то он был бы расходящимся (когда мы хотим сходящегося). Итак, давайте еще немного поработаем.

Во-первых, заметим, что все члены ряда положительны (это важно) и что частичные суммы равны

92}}}} < 2\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,{s_n} < 2\]

, поэтому последовательность частичных сумм является ограниченной последовательностью.

Во втором разделе, посвященном последовательностям, мы привели теорему, утверждающую, что ограниченная и монотонная последовательность гарантированно сходится. Это означает, что последовательность частичных сумм является сходящейся последовательностью. Итак, кого это волнует? Напомним, что это означает, что тогда ряд также должен быть сходящимся!

Итак, мы снова смогли связать ряд с несобственным интегралом (который мы могли вычислить), и ряд и интеграл имели одинаковую сходимость. \infty {{a_n}} \). 9\infty {{a_n}} \).

Формальное подтверждение этого теста можно найти в конце этого раздела.

Есть несколько замечаний по интегральному тесту. Во-первых, нижняя граница несобственного интеграла должна быть той же величиной, с которой начинается ряд.

Во-вторых, на самом деле функция не обязательно должна быть убывающей и положительной на всем интервале. Все, что действительно требуется, это чтобы в конечном итоге функция была убывающей и положительной. Другими словами, нормально, если функция (и, следовательно, члены ряда) какое-то время возрастают или отрицательны, но в конечном итоге функция (члены ряда) должна уменьшаться и быть положительной для всех членов. Чтобы понять, почему это так, давайте предположим, что члены ряда возрастают или отрицательны в диапазоне \(k \le n \le N\), а затем уменьшаются и положительны при \(n \ge N + 1\). В этом случае ряд можно записать как 9\infty {{a_n}} \]

Первый ряд представляет собой не что иное, как конечную сумму (независимо от того, насколько велико \(N\)) конечных членов, и поэтому он будет конечным. Таким образом, исходный ряд будет сходящимся/расходящимся только в том случае, если второй бесконечный ряд справа сходится/расходящийся, и проверку можно провести на второй серии, поскольку она удовлетворяет условиям проверки.

Аналогичный аргумент можно сделать и с использованием несобственного интеграла.

Требование в тесте, чтобы функция/ряд были убывающими и положительными во всем диапазоне, требуется для доказательства. Однако на практике нам нужно только убедиться, что функция/ряд в конечном итоге является убывающей и положительной функцией/рядом. Также обратите внимание, что при вычислении интеграла в тесте нам на самом деле не нужно отбрасывать возрастающую/отрицательную часть, поскольку наличие небольшого диапазона, в котором функция возрастает/отрицательна, не изменит интеграл с сходящегося на расходящийся или с расходящиеся к сходящимся. 92}}}} < 2\]

Итак, мы получили верхнюю границу значения ряда, но не фактическое значение ряда. Фактически, с этого момента мы не будем спрашивать значение ряда, мы будем только спрашивать, сходится ряд или расходится. t \\ & = \ mathop {\ lim} \ limit_ {t \ to \ infty} \ left ( {\ln \left( {\ln t} \right) — \ln \left({\ln 2} \right)} \right)\\ & = \infty \end{align*}\] 92}} \справа)\]

Эта функция имеет две критические точки (которые говорят нам, где производная меняет знак) в точках \(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Поскольку мы начинаем с \(n = 0\), мы можем игнорировать отрицательную критическую точку. Взяв пару контрольных точек, мы видим, что функция возрастает на отрезке \(\left[ {0,\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\) и убывает на \( \ влево [ {\ гидроразрыва {1} {{\ sqrt 2}}, \ infty} \ справа) \). Следовательно, в конечном итоге функция будет убывающей, и это все, что нам нужно для использования интегрального теста. 9\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \) Показать решение

Для этого ряда \(p = \frac{1}{2} \le 1\) и поэтому ряд расходится по факту.

Последнее, что мы сделаем в этом разделе, — быстро проверим интегральный тест. \infty {{a_n}} \). Исходное тестовое утверждение было для серии, которая начиналась с общего \(n = k\), и, хотя для этого можно провести доказательство, будет проще, если мы предположим, что серия начинается с \(n = 1\).

Другой способ работы с \(n = k\) состоит в том, что мы можем сделать сдвиг индекса и начать ряд с \(n = 1\), а затем выполнить интегральный тест. В любом случае проверки теста для \(n = 1\) будет достаточно.

Также обратите внимание, что, хотя мы допустили, что первые несколько членов ряда возрастают и/или отрицательны в рабочих задачах, это доказательство требует, чтобы все члены были убывающими и положительными.

Давайте начнем и оценим площадь под кривой на интервале \(\left[ {1,n} \right]\) и занижаем площадь, взяв прямоугольники ширины один и высота которых является правой конечной точкой . Это дает следующий рисунок.

Теперь обратите внимание, что

\[f\left( 2 \right) = {a_2}\hspace{0.5in}f\left( 3 \right) = {a_3}\hspace{0.