Исследовать ряд на абсолютную сходимость с примерами решения
Содержание:
- Сходимость ряда. Критерий Коши
- Критерий Коши
- Примеры с решением
- Пример 1.
- Пример 2.
- Пример 3.
- Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости
- Пример 4.
- Пример 5.
- Пример 6.
- Пример 7.
- Пример 8.
- Пример 9.
- Пример 10.
- Признаки условной сходимости. Признак Лейбница
- Пример 11.
- Пример 12.
Сходимость ряда. Критерий Коши
Выражение
где (u — заданная числовая действительная или комплексная последовательность, называется числовым рядом. Конечные суммы
называются частичными суммами ряда (1).
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм (2) , то ряд (1) называется сходящимся, а число суммой ряда (1).
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Критерий Коши
Для того чтобы числовой ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое, что для всех .
.. выполнялось неравенство
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Найти фундаментальную систему решений |
Решение систем уравнений |
Исследовать ряд на условную сходимость |
Построить ряд по степеням |
Примеры с решением
Пример 1.
Показать, что ряд сходится, и найти его сумму.
Решение:
Так как дробь представима в виде
то частичную сумму ряда можно записать следующим образом:
Следовательно,
т.е. заданный ряд сходится и его сумма равна 1.
Пример 2.
Исследовать на сходимость ряд и в случае сходимости найти его сумму.
Решение:
Имеем
Если , и, следовательно, ряд расходится.
Пусть теперь , тогда
Положим имеем
т.е. Если же
и, следовательно, конечного предела а значит, и предела последовательности частичных сумм не существует. Наконец, при и предел
(а потому и предел ) также не существует.
Таким образом, ряд члены которого составляют бесконечную п=0
геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем q, сходится при и его сумма равна и расходится при .
Пример 3.
Доказать, что гармонический ряд
расходится, хотя его члены стремятся к нулю при
Решение:
Рассмотрим разность частичных сумм с номерами 2п и п. Имеем
Заменяя каждое слагаемое меньшей величиной 1/2п, получаем
Это неравенство означает, что при р — п для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и, следовательно, ряд расходится.
Абсолютная и условная сходимость. Признаки абсолютной сходимости
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т.
е. сходится ряд
Если ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Признаки сравнения рядов. Если члены ряда (1) для всех удовлетворяют условию , причем ряд
сходится, то ряд (1) сходится абсолютно. Если же для члены ряда (1) удовлетворяют условию , причем ряд
расходится, то ряд (3) расходится, т.е. ряд (1) не сходится абсолютно.
Пример 4.
Зная, что ряд сходится (см. пример 1),
установить сходимость ряда
Решение:
Так как , то, учитывая неравенства
по признаку сравнения убеждаемся в сходимости ряда
На практике более эффективным оказывается следующий
Предельный признак сравнения. Если ряд сходится абсолютно и существует конечный предел
ряд (1) также сходится абсолютно. Если же члены рядов ип и vn — действительные положительные числа и
то ряды Либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Пример 5.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Так как ряд СХОДИТСЯ (см.
пример 4) и так как
то ряд (4) также сходится.
Пример 6.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Так как
а гармонический ряд расходится (см. пример 3), то и ряд (5) расходится,
Признак Даламбера. Если члены ряда (1) таковы, что существует конечный предел
то при ряд (1) сходится абсолютно, при — расходится, а при l = 1 требуется дополнительное исследование.
Пример 7.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Имеем и
Таким образом, ряд (6) сходится.
Признак Коши. Пусть
то ряд (1) сходится абсолютно, если I > 1, ряд (1) расходится, а при
l — 1 требуется дополнительное исследование.
Пример 8.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Имеем , поэтому
Следовательно, данный ряд сходится.
При использовании признака Коши бывает полезна следующая формула Стирлинга:
Пример 9.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Имеем:
т.е. ряд сходится.
Интегральный признак Коши. Пусть функция f(x) положительна и монотонна при х 1, и пусть для всех имеет место равенство Тогда числовой ряд (3) сходится (т. е. ряд (1) сходится абсолютно) или расходится одновременно с несобственным интегралом
Пример 10.
Выяснить, при каких значениях параметра р сходится ряд Дирихле
Решение:
Так как функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши, то исследование сходимости ряда Дирихле сводится к исследованию сходимости интеграла .Но
Отсюда заключаем, что ряд Дирихле сходится при и расходится при
Признаки условной сходимости. Признак Лейбница
Пуст члены ап знакочередующегося ряда
действительны, монотонно убывают, т. е.
Тогда ряд (7) сходится, причем для его суммы S имеет место оценк
Пример 11.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Так как то выполнены условия (8) и (9), и данный ряд сходится.
Ряд из абсолютных величин членов, т.е. ряд расходится. Следовательно, ряд сходится условно.
Признак Абеля-Дирихле. Пусть члены последовательности (Ьп) монотонно убывают:
а частичные суммы ограничены в совокупности, т. е.
Тогда ряд сходится.
Пример 12.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Очевидно, что в точках х — тк все члены ряда равны нулю, т.е. при ряд сходится и его сумма равна нулю. Пусть теперь . Подсчитаем сумму
Отсюда заключаем, что для любых
Далее, последовательность монотонно убывает и
Таким образом, при выполнены условия признака Абеля-Дирихле, и потому ряд у —-— сходится. Следовательно, ряд сходится при любом х.
Сходимость ряда с примерами решения
Содержание:
- Сходимость ряда. Основные понятия
- Примеры с решением
Числовым рядом называется выражение вида: где числа называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность.
Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
при имеет конечный предел:
Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.
Примеры с решением
Пример 5.1.
Написать пять первых членов последовательности, если ее член имеет вид:
Решение:
Вместо подставляем
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Пример 5.2.
Пользуясь непосредственно определением, показать что ряд сходится, и найти его сумму.
Решение:
По определению частичной суммы ряда имеем:
Таким образом, получаем следующую последовательность частичных сумм: общий член которой равен: Ясно, что эта последователь ность сходится и ее предел равен единице: Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна единице.
Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: — это необходимый признак сходимости ряда. Если же то ряд расходится — это достаточный признак расходимости ряда.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Показательные комплексные числа |
Ряды: примеры решения |
Признаки сходимости рядов |
Исследовать ряд на сходимость: пример решения |
Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.
1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда (1) начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда (2) то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
2. Признак Даламбера. Если для ряда то при ряд сходится, при — расходится (при вопрос о сходимости ряда остается нерешенным).
Пример 5.3.
Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд
расходится.
Решение:
Найдем Таким образом, предел общего члена ряда при п —> со отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.
Пример 5.4.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Сравним данный ряд с рядом (*) Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем При этом каждый член аи данного ряда меньше соответствующего члена ряда (*). Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится.
Пример 5.5.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Сравним данный ряд с гармоническим рядом 1 Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда. Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.
Пример 5.6.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Каждый член ряда (*) меньше соответствующего члена ряда Как было показано в Задаче 5.2. последний ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного ряда, отличающегося от ряда (*) наличием первого члена 1, теперь очевидна.
Пример 5.7.
С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда
Решение:
Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать член ряда. Он получается путем подстановки в выражение общего члена ряда вместо п числа Теперь найдем предел отношения члена к члену при
Так как то данный ряд сходится.
Пример 5.8.
Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд
Решение:
Зная найдем член ряда:
Вычислим Так как то ряд расходится.
Пример 5.9.
На основании признака Даламбера исследовать сходимость ряда
Решение:
Зная член ряда запишем член:
Отсюда
Так как то ряд сходится. Признак сходимости Лейбница. Знакочередующимся рядом называется ряд вида (1) где — положительные числа. Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости. Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при
Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов.
Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, — это погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда. |
Пример 5.10.
Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
Решение:
Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и общий член при стремится к нулю: то в силу признака Лейбница ряд сходится. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Рядах (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд (2) составленный из абсолютных величин членов рядов (1), сходится, то ряд (1) также сходится. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин членов данного ряда (1).
Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Пример 5.12.
Исследовать на сходимость ряд
Решение:
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как Следовательно, первоначальный ряд является абсолютно сходящимся.
Исчисление II — сходимость/расхождение рядов
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Исчисление II
/
Серии и последовательности
/ Сходимость/Расхождение рядов
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-4: Конвергенция/Расхождение серии
В предыдущем разделе мы потратили некоторое время на знакомство с рядами и кратко определили сходимость и расхождение. Прежде чем беспокоиться о сходимости и расхождении рядов, мы хотели убедиться, что начали чувствовать себя комфортно с обозначениями, связанными с рядами, и с некоторыми из различных манипуляций с рядами, которые нам иногда нужно будет делать.
Как отмечалось в предыдущем разделе, большая часть того, что мы там делали, в этой главе будет делаться немного. Итак, настало время поговорить о сходимости и расхождении рядов, так как это будет темой, которую мы в той или иной степени будем касаться почти во всех оставшихся разделах этой главы. 9\infty \) и снова обратите внимание, что мы начинаем последовательность с \(n = 1\) только для удобства, и на самом деле это может быть что угодно.
Затем мы определяем частичные суммы ряда как
\[\begin{align*}&{s_1} = {a_1}\\ & {s_2} = {a_1} + {a_2}\\ & {s_3} = {a_1} + {a_2} + {a_3}\\ & {s_4} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}\\ & \hspace{0,25 дюйма}\, \vdots \\ & {s_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3 } + {a_4} + \cdots + {a_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \end{align*}\]
9\infty {{a_i}} = s\).
\infty n \]
9\infty\]
сходится или расходится. В данном случае это не так уж сложно. Предел членов последовательности:
\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \frac{{n\left({n + 1} \right)}}{2} = \infty \]
Следовательно, последовательность частичных сумм расходится к \(\infty \), а значит, расходится и ряд.
Итак, как мы видели в этом примере, нам нужно было знать довольно непонятную формулу, чтобы определить сходимость этого ряда. Вообще найти формулу для общего члена в последовательности частичных сумм — очень трудный процесс. На самом деле после следующего раздела мы не будем много делать с частичными суммами рядов из-за чрезвычайной трудности, с которой столкнулись при нахождении общей формулы. Это также означает, что мы не будем много работать со значением ряда, поскольку для получения значения нам также нужно знать общую формулу для частичных сумм.
2} — 1}}} = \ frac {3} {4} — \ frac {1} {{2n}} — \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)}}\]
9п}} \]
Показать решение
В этом случае нам действительно не нужна общая формула для частичных сумм, чтобы определить сходимость этого ряда. Давайте просто запишем первые несколько частичных сумм.
\[\begin{align*}&{s_0} = 1\\ & {s_1} = 1 — 1 = 0\\ & {s_2} = 1 — 1 + 1 = 1\\ & {s_3} = 1 — 1 + 1 — 1 = 0\\ & etc.\end{align*}\]
9{n — 1}}}}} = \frac{3}{2}\]Как мы уже отмечали, не стоит увлекаться определением общей формулы последовательности частичных сумм. Будет только один тип серии, где вам нужно будет определить эту формулу, и в этом случае процесс не так уж и плох. Фактически, вы уже знаете, как выполнять большую часть работы в процессе, как вы увидите в следующем разделе.
Итак, мы определили сходимость четырех рядов.
Два ряда сошлись, а два разошлись. Давайте вернемся назад и рассмотрим термины ряда для каждого из них. Для каждого из рядов возьмем предел, когда \(n\) стремится к бесконечности членов ряда (не частичных сумм!!). 9{n — 1}}}} = 0 & \hspace{0,75 дюйма} & {\mbox{эта серия сходится}}\end{выравнивание*}\]
Обратите внимание, что для двух сходящихся рядов сам член ряда в пределе был равен нулю. Это всегда будет верно для сходящихся рядов и приводит к следующей теореме.
Теорема
Если \(\sum {{a_n}} \) сходится, то \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0\).
Доказательство
Сначала предположим, что ряд начинается с \(n = 1\). Если это не так, мы можем изменить вещи соответствующим образом ниже. Тогда частичные суммы равны 9\infty \) также сходится и что \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_n} = s\) для некоторого конечного значения \(s\). Однако, поскольку \(n — 1 \to \infty \) как \(n \to \infty \), мы также имеем \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{n — 1 }} = с\).
Теперь у нас есть,
\[\ mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} \left({{s_n} — {s_{n — 1 }}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_n} — \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {s_{n — 1}} = с — с = 0\] 92}}}} \]
В обоих случаях члены ряда равны нулю в пределе, когда \(n\) стремится к бесконечности, но сходится только второй ряд. Первый ряд расходится. Прежде чем мы сможем это доказать, потребуется пара разделов, поэтому на данный момент, пожалуйста, поверьте в это и знайте, что вы сможете доказать сходимость этих двух рядов за пару разделов.
Опять же, как отмечалось выше, все, что делает эта теорема, — это требование сходимости ряда. Чтобы ряд сошелся, его члены в пределе должны стремиться к нулю. Если члены ряда не стремятся к нулю в пределе, то ряд не может сходиться, поскольку это нарушит теорему.
Это приводит нас к первому из многих тестов на сходимость/расхождение ряда, которые мы увидим в этой главе.
Проверка расходимости
Если \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} \ne 0\), то \(\sum {{a_n}} \) будет расходиться.
Опять же, НЕ используйте этот тест неправильно. Этот тест говорит только о том, что ряд гарантированно расходится, если члены ряда не стремятся к нулю в пределе. Если члены ряда действительно стремятся к нулю, ряд может сойтись, а может и не сойтись! Снова вспомним следующие две серии, 92}}}} & \hspace{0,5 дюйма} & {\mbox{сходится}}\end{выравнивание*}\]
Одна из наиболее распространенных ошибок, которую делают учащиеся, когда они впервые попадают в серию, состоит в том, чтобы предположить, что если \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty} {a_n} = 0\), то \(\ сумма {{a_n}} \) будет сходиться. Это просто невозможно гарантировать, поэтому будьте осторожны!
Давайте кратко рассмотрим пример использования этого теста.
Пример 5 Определите, является ли следующий ряд сходящимся или расходящимся.
\infty {\left({{a_n} \pm {b_n}} \right)} \). Кроме того, эти ряды будут иметь следующие суммы или значения. 9\infty {{b_n}} \]
Мы увидим пример этого в следующем разделе после того, как получим еще несколько примеров. В этот момент просто помните, что сумма сходящихся рядов сходится, и умножение сходящегося ряда на число не изменит его сходимости.
Нам нужно быть немного осторожными с этими фактами, когда речь идет о расходящихся рядах. В первом случае, если \(\sum {{a_n}} \) расходится, то \(\sum {c{a_n}} \) также будет расходиться (при условии, что \(c\) не равно нулю), поскольку умножение ряда, который имеет бесконечное значение или не имеет значения, на конечное значение ( 9\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right)} \) сходящийся ряд.
Теперь, поскольку основной темой этого раздела является сходимость ряда, следует упомянуть о более сильном типе сходимости. Говорят, что ряд \(\sum {{a_n}} \) сходится абсолютно , если \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) также сходится.
Абсолютная сходимость сильнее сходимости в том смысле, что абсолютно сходящийся ряд также будет сходящимся, но сходящийся ряд может быть абсолютно сходящимся, а может и не быть.
На самом деле, если \(\sum {{a_n}} \)сходится и \(\sum {\left| {{a_n}} \right|} \) расходится, то ряд \(\sum {{a_n}} \ ) называется условно сходящимся .
На данный момент у нас нет под рукой инструментов, чтобы должным образом подробно исследовать эту тему, и у нас нет под рукой инструментов, чтобы определить, является ли ряд абсолютно сходящимся или нет. Поэтому пока не будем больше ничего говорить на эту тему. Когда у нас, наконец, будут инструменты для более подробного обсуждения этой темы, мы вернемся к ней. А пока не беспокойтесь об этом. Эта идея упоминается здесь только потому, что мы уже обсуждали конвергенцию в этом разделе, и она связана с последней темой, которую мы хотим обсудить в этом разделе.
В предыдущем разделе после того, как мы представили идею бесконечного ряда, мы отметили тот факт, что мы не должны думать о бесконечном ряду как о бесконечной сумме, несмотря на то, что обозначение, которое мы используем для бесконечного ряда, кажется, подразумевает что это бесконечная сумма.
Пришло время кратко обсудить это.
Во-первых, нам нужно представить идею перестановки . Перестановка ряда — это именно то, на что это могло бы звучать, это тот же ряд с членами, переставленными в другом порядке. 9{n + 1}}}}{n}} = 1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{3} — \frac{1}{4} + \frac{1}{5} — \frac{1}{6} + \frac{1}{7} — \frac{1}{8} + \cdots = \ln 2\label{eq:eq1}\end{equation}\]
Поскольку этот ряд сходится, мы знаем, что если мы умножим его на константу \(c\), его значение также будет умножено на \(c\). Итак, давайте умножим это на \(\frac{1}{2}\), чтобы получить
. \[\begin{equation}\frac{1}{2} — \frac{1}{4} + \frac{1}{6} — \frac{1}{8} + \frac{1}{{ 10}} — \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{14}} — \frac{1}{{16}} + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2 \метка{уравнение:уравнение2}\конец{уравнение}\]
Теперь давайте добавим ноль между каждым членом следующим образом.
\[\begin{equation}0 + \frac{1}{2} + 0 — \frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{6} + 0 — \frac{1}{8} + 0 + \frac{1}{{10}} + 0 — \frac{1}{{12}} + 0 + \cdots = \frac{1}{2}\ln 2\label{eq:eq3} \конец{уравнение}\]
Обратите внимание, что это не изменит значение ряда, поскольку частичные суммы для этого ряда будут частичными суммами для \(\eqref{eq:eq2}\), за исключением того, что каждый член будет повторяться.
Однако повторение членов в ряду не повлияет на его предел, поэтому и \(\eqref{eq:eq2}\), и \(\eqref{eq:eq3}\) будут одинаковыми.
Мы знаем, что если два ряда сходятся, мы можем сложить их, складывая член за членом, и таким образом добавить \(\eqref{eq:eq1}\) и \(\eqref{eq:eq3}\), чтобы получить,
\[\begin{equation}1 + \frac{1}{3} — \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} — \frac{1} {4} + \cdots = \frac{3}{2}\ln 2 \label{eq:eq4}\end{equation}\]
Теперь обратите внимание, что члены \(\eqref{eq:eq4}\) — это просто члены \(\eqref{eq:eq1}\), переставленные так, что каждый отрицательный член идет после двух положительных членов. Однако значения определенно отличаются, несмотря на то, что термины одинаковы.
Также обратите внимание, что это не один из тех «трюков», которые вы иногда видите, когда вы получаете противоречивый результат из-за трудно обнаруживаемой математической/логической ошибки. Это вполне реальный результат, и мы не допустили никаких логических ошибок/ошибок.
Вот хороший набор фактов, которые определяют эту идею о том, когда перестановка приведет к другому значению ряда.
Факты
- Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) абсолютно сходится и его значение равно \(s\), то любая перестановка \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) также будет иметь значение \(s\).
- Если \(\displaystyle \sum {{a_n}} \) условно сходится и \(r\) является любым действительным числом, то существует перестановка \(\displaystyle \sum {{a_n}} \), значение которой будет быть \(г\).
Опять же, у нас пока нет под рукой инструментов, позволяющих определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, поэтому пока не беспокойтесь об этом. Это здесь просто для того, чтобы убедиться, что вы понимаете, что мы должны быть очень осторожны, думая о бесконечном ряду как о бесконечной сумме. Бывают моменты, когда мы можем ( 9{п + 1}}}}{п}} \]
должны быть условно сходящимися, так как две перестановки дали два отдельных значения этого ряда.
В конце концов будет очень просто показать, что этот ряд условно сходится.
|
Определение сходимости и расхождения в ряду Частичная сумма ряда n th a n определяется как S n = a 1 + a 2 + а 3 + . Операции над сходящимся рядом Если n = A, и b n = B, то также сходятся, как указано:
Алфавитный список тестов сходимости Абсолютная конвергенция Если серия |а н | сходится, то ряд a n также сходится.Испытание чередующейся серии Если для всех n n положительное, невозрастающее (т. Удаление первых N терминов Если N — натуральное число, то ряд Тест прямого сравнения Если 0 <= a n <= b n для всех n больше чем некоторое натуральное число N, то применяются следующие правила: Сходимость геометрических рядов
Интегральный тест Если для всех n >= 1, f(n) = a n и f положительно, непрерывным, а затем убывающимСравнительный тест предельных значений Если lim (n—>) (a n / б н ) = Л, n th -Терминальный тест на расхождение
Конвергенция серии p Серия p определяется какПроверка соотношения Если для всех n, n 0, то применяются следующие правила:Корневой тест Пусть L = lim (n — > ) | а н | 1/n .Сходимость ряда Тейлора Если f имеет производные всех порядков в интервале I с центром в точке c, то ряд Тейлора сходится, как указано: |
.. + а п . Если последовательность этих частичных сумм {S n } сходится к L, то сумма ряда сходится в L. Если {S n } расходится, то сумма ряда расходится.
е. 0 < a n+1 <= a n ), и приближаясь к нулю, то чередующийся ряд 
.) f(x)dx. 
