Ряд положительный, записываем общий член:
$$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$
Вычисляем предел при $ n \to \infty $:
$$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$
Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение:
$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$
Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Пример №9
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac{1}{\sqrt{n}}> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}} >0$, то и $\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.
Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа , то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.
Заменим в выражении $\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ арктангенс на дробь $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.
2 представлена в краткой записи.. Наряду с определением суммы ряда онлайн последовательности числовой, сайт в онлайн режиме может найти так называемую частичную сумму ряда. Однозначно это поможет для аналитических представлений, когда сумму ряда онлайн нужно выразить и найти как решение лимита числовой последовательности частичных сумм ряда. По свое сути сумма ряда есть не что иное, как обратная операция разложения функции в ряд. Операции практически взаимные по природе. Так уж сложилось, что сходимость ряда изучается после прохождения курса лекции в математическом анализе после пределов. Найденное решение рядов означает результат исследования его на сходимость или расходимость. Этот результат определяется однозначно. В сравнении с аналогами, сайт имеет свои неоспоримые преимущества, потому что умеет найти сумму ряда онлайн как числового, так и функционального ряда, что позволяет однозначно определять область сходимости начального исходного ряда, применяя практически все известные науке методологии.
Найденная сумма ряда таким способом оказывается равносильно другим применяемым методам. Сходимость ряда занимает колоссальную трату времени, так как сам процесс предполагает полное исследование функции.. Есть много разных сайтов, которые представляют сервисы вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций в ряд в режиме онлайн в любой точке из области определения исследуемой функции. Разложить функцию в ряд онлайн в этих сервисах можно без труда, так как используется функционал вычисления производной, а вот обратная операция — найти сумму функционального онлайн ряда, членами которого являются не числа, а функции, не редко бывает невозможным на практике в силу трудностей, возникающих на почве отсутствия необходимых вычислительных ресурсов.. Используйте наш ресурс для вычислений суммы рядов онлайн, проверки и закрепления своих знаний. Если же сумма ряда расходится, то мы не получим ожидаемого результата для дальнейших действий в какой-то общей задачей. Этого можно заранее избежать, применяя свои знания как специалиста.
2 будет наоборот сходиться и примет конечное числовое выражение. Интересно изучать случаи, когда сумма конечного ряда представляется постепенно в виде промежуточных частичных сумм ряда при пошаговом увеличении переменной на единицу, а может и несколько единиц сразу. Проверку на сходимость ряда в онлайне рекомендуем делать после собственных решений заданий. Это позволит вам детально разобраться в теме и повысить свой уровень знаний. Не забывайте про это никогда, мы стараемся только для вас. Как-то на уроке учитель показал решение рядов онлайн с помощью вычислительной техники. Нужно сказать, что это всем понравилось изрядно. После этого случая калькулятор был востребован на всем курсе изучения математики. Лишним не будет проверить, как сумма ряда вычисляется калькулятором онлайн за несколько секунд после того, как вы запросите показать результат. Сразу станет понятно, в каком направлении стоит держать ход решения задачи. Поскольку о сходимости ряда в некоторых дорогих учебниках написано не много, то лучше скачать из Интернета несколько хороших докладов выдающихся ученых и пройти курс обучения по их методике.
2, то сеть в любой возведенной степени.Признак Даламбера сходимости рядов: теория, примеры
- Теоретические основы
- Решаем примеры
Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:
- число в степени,
- факториал,
- цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.
Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а
в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения… Впрочем, перейдём к научной
форме изложения рассматриваемого признака.
Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть
Тогда:
- а) если предел отношения меньше единицы (), то ряд сходится;
- б) если предел отношения больше единицы (), то ряд расходится;
- в) если предел отношения равен единице (), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом
Решение. Найдём отношение
Так как , а , то
и, следовательно,
Установлена сходимость.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Общий член данного ряда
а следующий за ним член
Находим их отношение:
Следовательно,
Констатируем расходимость.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом
Используя признак Даламбера, получаем
Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:
Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) < n, то 1/ln (n + 1) > 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом
Решение.
Так как
а
то
Поэтому
Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n < n +1, имеем
Следовательно, члены данного ряда меньше соответствующих членов сходящегося ряда, и, значит, данный ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
Решение.
Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Ряды
Всё по теме «Ряды»
- Числовые ряды
- Признак сравнения рядов
- Признак Даламбера сходимости рядов
- Радикальный признак Коши сходимости рядов
- Интегральный признак Коши сходимости рядов
- Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Признак Лейбница - Функциональные ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
Признак ЛейбницаКонвергенция телескопического ряда — Криста Кинг Математика
Определение сходимости телескопического ряда
Телескопический ряд — это ряд, в котором все члены, кроме первого и последнего, сокращаются. Если вы подумаете о том, как схлопывается сам длинный телескоп, вы сможете лучше понять, как аннулируется середина серии телескопов.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Чтобы определить, является ли ряд телескопическим, нам нужно вычислить хотя бы несколько первых членов, чтобы увидеть, начинают ли средние члены сокращаться друг с другом.
Сходимость телескопического ряда
Чтобы увидеть, сходится или расходится телескопический ряд, нам нужно посмотреть на его ряд частичных сумм ???s_n???, который является просто суммой серия через первый ???n??? условия.
94 а_и=а_1+а_2+а_3+а_4???
???s_4=a_1+a_2+a_3+a_4???
Мы хотим выяснить, получим ли мы ответ в виде вещественного числа, когда возьмем сумму всего ряда, потому что если мы возьмем сумму всего ряда и получим ответ в виде вещественного числа, это означает, что ряд сходится. В противном случае, если сумма всего ряда окажется бесконечной, значит, ряд расходится. Другими словами, мы хотим получить ответ в виде вещественного числа ???s???, когда мы используем бесконечное количество терминов ???n??? в ряд частичных сумм ???s_n???. ???с??? сумма ряда, где 9\infty a_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n???
Итак, если мы посчитаем предел как ???n\to\infty??? из ???s_n??? и мы получаем вещественный ответ ???s???, то мы можем сказать, что ряд частичных сумм ???s_n??? сходится, что также позволяет заключить, что ряд ???a_n??? сходится. Если мы не можем найти вещественный ответ для ???s???, то ???s_n??? расходится, и поэтому ???a_n??? также расходится.
Чтобы найти ???s_n???, мы расширим ряд телескопирования, вычислив несколько первых членов, убедившись, что он также включает последний член ряда, а затем упростим сумму, сократив все члены в ряду.
середина. Оставшийся ряд будет рядом частичных сумм ???s_n???.
Как определить сходимость или расхождение телескопического ряда
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Учить больше
Скажите, сходится или расходится телескопический ряд
Пример
Покажите, что этот ряд является телескопическим рядом, затем скажите, сходится или расходится этот ряд. 9{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}???
???=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{ 1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1} {5}\right)+…+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]???
Ряд становится телескопическим, если мы можем отменить все члены в середине (каждый член, кроме первого и последнего).
Когда мы смотрим на наш расширенный ряд, мы видим, что вторая половина первого члена будет сокращаться с первой половиной второго члена, что вторая половина второго члена будет сокращаться с первой половиной третьего члена, и, таким образом, вкл., поэтому можно сказать, что серия телескопическая.
Ряд становится телескопическим, если мы можем отменить все члены в середине (каждый член, кроме первого и последнего).
Сокращение всего, кроме первой половины первого члена и второй половины последнего члена, дает выражение для ряда частичных сумм.
???s=\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{n+1}???
Если этот ряд частичных сумм ???s_n??? сходится как ???n\to\infty??? (если мы получим вещественное значение для ???s???), то мы можем сказать, что ряд частичных сумм сходится, что позволяет нам заключить, что телескопический ряд ???a_n??? также сходится.
???s=\lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{n+1}???
???s=\lim_{n\to\infty}1-\frac{\frac{1}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}? ??
???s=\lim_{n\to\infty}1-\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}???
???s=1-\frac{0}{1+0}???
???s=1-0???
???s=1???
С ???s??? существует как действительное число, сумма ряда равна ???s=1???, и мы можем заключить, что ряд частичных сумм ???s_n??? сходится, а значит, и ряд ???a_n??? также сходится.
Получить доступ к полному курсу Calculus 2
Начать
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление ii, исчисление 2, исчисление ii, последовательности, ряды, последовательности и ряды, бесконечные ряды, телескопические ряды, сходимость телескопический ряд, сходимость или дивергенция, тесты сходимости
0 лайковКалькулятор интервала сходимости | Лучшие шаги полного решения
Связанный контент
сообщить об этом объявлении
сообщить об этом объявлении
f(x) =
∞
n
Решение:
Интервал сходимости Урок
Содержание урока
Что такое интервал сходимости?
Для степенного ряда интервал сходимости — это интервал, на котором ряд имеет абсолютную сходимость.
9n}}$$
Где c n — коэффициент, который зависит от n , а ряд — функция от x , члены которой меняются в зависимости от n th членов ряда.
Давайте подробнее рассмотрим значение сходимости в контексте степенного ряда. Степенной ряд добавляет бесконечное число последовательных членов. Сумма этих членов может быть как конечной, так и бесконечной.
Ряд сходится, если сумма этих членов является конечным числом. Ряд расходится, если сумма этих членов бесконечна. Находя интервал сходимости, находим диапазон значений x in |x – a| < R такое, что ряд сходится .
Зачем мы изучаем интервал сходимости?
По сравнению с людьми компьютеры действительно хороши в определенных типах вычислений, но с трудом выполняют другие типы вычислений. Например, кажущаяся простой кнопка e x , обычно встречающаяся на ручных калькуляторах, — это кнопка, которую компьютер калькулятора не может легко и точно вычислить напрямую.
Узнав, как находить интервал сходимости, мы можем запрограммировать неспособный иначе компьютер косвенно найти значение e x с помощью степенного ряда.
Если мы вычисляем e x с большим показателем степени, компьютеру калькулятора приходится много раз умножать большие беспорядочные числа на большие беспорядочные числа. Из-за того, как компьютеры хранят числа с плавающей запятой и создают ошибку округления, этот процесс может занять у компьютера очень много времени и может дать неточный ответ.
К счастью, степенной ряд f(x) = x n ⁄ n! представляет собой выражение e x при переносе на множество терминов. Если мы проверим интервал сходимости этого степенного ряда, то обнаружим, что он равен ∞ < x < ∞. Это отличная новость, потому что это означает, что степенной ряд будет сходиться к 90 129 везде 90 130 и может использоваться для 90 129 e 90 148 x 90 149 со всеми возможными входными значениями 90 129 x 90 130 .
Запрограммировав эту процедуру на компьютер, мы даем ему возможность быстро и точно вычислять значение e x с любым значением x. Это всего лишь один пример использования интервала сходимости, и существует множество других приложений, которые работают за кулисами внутри компьютерного программного обеспечения и помогают нам каждый день!
Расчет интервала сходимости степенного ряда
При поиске сходимости степенного ряда у нас есть несколько вариантов проверки на выбор. К ним относятся очень распространенный тест соотношения и тест корня. Поскольку тест отношения удобен для пользователя и используется калькулятором на этой странице, мы узнаем, как его использовать здесь.
В тесте отношения мы используем отношение степенного ряда и его модифицированную версию n + 1 для определения значений x, которые удовлетворяют критериям сходимости. Формула для проверки соотношения:
$$\text{Сходимость при} \; Л < 1, \; L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\rvert$$
Где a n — степенной ряд а a n + 1 — степенной ряд со всеми членами n заменен на n + 1 .
Первым этапом теста отношения является вставка исходной и модифицированной версий ряда мощности в соответствующие места в формуле. Полученную дробь можно упростить.
Затем оцените предел, когда n приближается к бесконечности. Если вместо n подставить бесконечность, выражение может стать неразрешимым. Затем мы начинаем отбрасывать члены, которые незначительны по сравнению с бесконечностью, и исключаем из выражения действительные члены бесконечности.
После вычисления предела и упрощения результирующего выражения составим его таким образом, чтобы L < 1. Теперь у нас есть неравенство, напоминающее форму 1 ⁄ c ×|x – a| < 1. Константа c может быть дробной или не дробной.
Найдите левую и правую конечные точки, удовлетворяющие последнему неравенству. Это интервал границ сходимости. Мы должны определить, является ли каждая граница инклюзивной или исключающей. Для этого мы проверяем сходимость/расхождение рядов в этих точках.
Подставьте значение левой конечной точки x = a 1 вместо x в исходном степенном ряду. Затем возьмите предел, когда n приближается к бесконечности. Если результат отличен от нуля или не определен, ряд расходится в этой точке. Дивергенция указывает на исключительную конечную точку, а конвергенция указывает на включающую конечную точку. Повторите процесс для правой конечной точки x = a 2 , чтобы завершить интервал сходимости.
Как работает калькулятор
Этот калькулятор интервала сходимости в основном написан на JavaScript (JS). Поскольку подпрограмма вычислений — это JS, она полностью выполняется в вашем браузере в режиме реального времени. Это позволяет получать почти мгновенные решения и избегать обычных перезагрузок страниц, наблюдаемых на других сайтах-калькуляторах.
Процедура вычислений также использует систему компьютерной алгебры (CAS) на основе JS. CAS выполняет различные символьные операции на протяжении всей процедуры, такие как полиномиальное деление и оценка предела.