Теория рядов
Теория рядов
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮГЛАВА 1.  ПРОГРЕССИИ§ 2. Геометрические прогрессии § 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость § 4. Элементарные преобразования прогрессий § 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость § 6. Почленное интегрирование прогрессий § 7. Почленное дифференцирование прогрессий § 8. Прогрессии с комплексными членами ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ § 2. Определение числового ряда и его сходимости § 3. Остаток ряда § 4. Принцип сходимости Коши § 5. Критерий Коши сходимости рядов § 6. Необходимый признак сходимости ряда § 7. Желательность систематической теории § 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм § 9. Дальнейшие свойства рядов ГЛАВА 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Признаки сходимости рядов § 2. Признаки сравнения § 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши § 4. Применения интегрального признака сходимости § 5.  Сравнительная оценка различных признаков сходимости§ 6. Признак сходимости Даламбера § 7. Признак сходимости Коши § 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши ГЛАВА 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ § 2. Абсолютная сходимость и расходимость § 3. Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах § 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды § 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов § 6. Признак сходимости Лейбница § 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница ГЛАВА 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 2. Область сходимости функционального ряда § 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения § 4. Предел последовательности непрерывных функций § 5. Переход к пределу под знаком интеграла § 6. Переход к пределу под знаком производной § 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами § 9.  Почленное интегрирование функциональных рядов§ 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ § 2. Теорема Абеля § 3. Круг сходимости ряда § 4. Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости § 5. Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости § 6. Вещественные ряды § 7. Комплексные ряды § 8. Разложение функций в степенные ряды § 9. Формула Тейлора § 10. Ряды Тейлора и Маклорена ГЛАВА 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ § 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций ch x и sh x § 3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций cos x и sin x § 4. Показательная функция с комплексным значением показателя § 5. Формулы Эйлера § 6. Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента § 7. Гиперболические функции от комплексного значения аргумента § 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена § 9. Биномиальный ряд § 10.  Приложения биномиального ряда§ 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции § 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов § 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов ГЛАВА 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ § 2. Векторы и функции § 3. Нормированные и ортогональные функции § 4. Нормированные и ортогональные системы функций § 5. Нормировка систем функций § 6. Разложение по системам функций ГЛАВА 9. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье § 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье § 4. Физическое истолкование разложения функции в тригонометрический ряд Фурье § 5. Разложение функции f(x) = x § 6. Сдвиг сегмента разложения § 7. Изменение длины сегмента разложения § 8. Четные и нечетные функции § 9. Разложение четной функции в ряд Фурье § 10.  Разложение нечетной функции в ряд Фурье§ 11. Разложение ряд Фурье функций на сегменте от 0 до пи § 12. Комплексная форма записи ряда Фурье § 13. Разложение в комплексный ряд Фурье § 14. Характер сходимости рядов Фурье ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ § 2. Начальные и граничные условия § 3. Метод разделения переменных § 4. Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения § 5. Использование начальных условий ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1. Представление функций интегралом Фурье § 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье § 3. Интеграл Фурье для четных функций § 4. Интеграл Фурье для нечетных функций § 5. Комплексная форма интеграла Фурье § 6. Понятие о преобразовании Фурье § 7. Косинус-преобразование Фурье § 8. Синус-преобразование Фурье § 9. Спектральная функция Часть II § 1. Признак сходимости Куммера § 2.  Признак сходимости Раабе§ 3. Признак сходимости Бертрана § 4. Признак сходимости Гаусса § 5. Сходимость знакопеременных рядов § 6. Признак сходимости Дирихле ГЛАВА 13. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ § 1. Определение двойного ряда § 2. Сходимость двойных рядов § 3. Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова § 5. Абсолютная сходимость двойных рядов § 6. Двойные функциональные ряды § 7. Двойные степенные ряды § 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена § 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных § 10. Двойные ряды Фурье ГЛАВА 14. СУММИРОВАНИЕ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 2. Линейные преобразования рядов § 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов § 4. Последовательности разностей § 5. Преобразование рядов по Эйлеру § 6. Преобразование рядов по Куммеру ГЛАВА 15. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 1.  Расходящиеся геометрические прогрессии§ 2. Суммирующие функции § 3. Суммирование по Пуассону — Абелю § 4. Линейность и регулярность суммирования по Пуассону — Абелю § 5. Суммируемость рядов по Пуассону — Абелю и их абсолютная сходимость § 6. Теорема Таубера § 7. Суммирование по Чезаро § 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону — Абелю § 9. Суммирование по Эйлеру ГЛАВА 16. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ § 2. Исследование двух интегралов § 3. Исследование одного класса интегралов § 4. Доказательство теоремы Дирихле § 5. Теорема Фурье § 6. Коэффициенты Фурье разрывных функций § 7. Скорость сходимости рядов Фурье § 8. Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей § 9. О равномерной сходимости рядов Фурье § 10. Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций § 11. Поведение рядов Фурье функций в точках их разрыва. Явление Гиббса § 12. Экстремальное свойство сумм Фурье § 13.  Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера§ 14. Равенство Парсеваля § 15. Теорема Вейерштрасса ГЛАВА 17. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОК § 3. Свободно опертая балка § 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием § 5. Случай сосредоточенной нагрузки § 6. Прогиб балки от распределенной нагрузки § 7. Прогиб от сосредоточенного момента § 8. Статически неопределимая балка § 9. Сложный изгиб балки § 10. Балка на упругом основании § 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки § 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок § 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными § 14. Свободно опертая нагруженная балка § 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки § 16. Общий случай изгиба балки § 17. Общий случай изгиба свободно опертой балки § 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жестко заделанной по концам § 19.  Функция прогиба симметрично загруженной балки с жестко заделанными концами |
М.Л. Гриднев. Сходимость тригонометрических рядов Фурье функций с ограничением на фрактальность их графиков … C. 104-109
Том 24, номер 4, 2018
УДК 517.518.45
MSC: 42A20
DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-104-109
Полный текст статьи (Full text)
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).
Для непрерывной на отрезке функции $f$ вводится понятие модуля фрактальности $\nu(f,\varepsilon)$ как функции, которая каждому $\varepsilon>0$ сопоставляет минимальное число квадратов размера $\varepsilon$, которыми можно покрыть график функции $f$. В терминах модуля фрактальности и модуля непрерывности $\omega(f,\delta)$ получено условие равномерной сходимости ряда Фурье функции $f$: если
$$
\omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 ~~~ \text{при}~ n\longrightarrow +\infty,
$$
то ряд Фурье функции $f$ сходится равномерно.
Это условие уточняет известный признак сходимости Дини-Липшица. Кроме того, получена равномерная по $x\in[0,2\pi]$ оценка порядка роста сумм Фурье $S_n(f,x)$ непрерывной функции $f$:
$$
S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg).
$$
Показано, что эта оценка является неулучшаемой.
Ключевые слова: тригонометрический ряд Фурье, равномерная сходимость, фрактальная размерность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гриднев М.Л. О классах функций с ограничением на фрактальность их графика // Proc. of the 48th Internat. Youth School-Conf. “Modern Problems in Mathematics and its Applications”. Yekaterinburg, 2017. Vol. 1894. С. 167–173. URL: http://ceur-ws.org/Vol-1894/appr5.pdf
2. Gridnev M.L. Divergence of Fourier series of continuous functions with restriction on the fractality of their graphs // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 2. P 46–50. doi: 10.15826/umj.2017.2.007
3. Бари Н.К. Тригонометрические ряды.
М.: ГИМФЛ, 1961. 937 с.
Поступила 31.08.2018
После доработки 28.10.2018
Принята к публикации 05.11.2018
Гриднев Максим Леонидович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: [email protected]
English
M.L. Gridnev. Convergence of trigonometric Fourier series of functions with a constraint on the fractality of their graphs
For a function $f$ continuous on a closed interval, its modulus of fractality $\nu(f,\varepsilon)$ is defined as the function that maps any $\varepsilon>0$ to the smallest number of squares of size $\varepsilon$ that cover the graph of $f$. The following condition for the uniform convergence of the Fourier series of $f$ is obtained in terms of the modulus of fractality and the modulus of continuity $\omega(f,\delta)$: if
$$
\omega (f,\pi/n) \ln\bigg(\frac{\nu(f,\pi/n)}{n}\bigg) \longrightarrow 0 \ \mbox{ as } n\longrightarrow +\infty,
$$
then the Fourier series of $f$ converges uniformly.
This condition refines the known Dini-Lipschitz test. In addition, for the growth order of the partial sums $S_n(f,x)$ of a continuous function~$f$, we derive an estimate that is uniform in $x\in[0,2\pi]$:
$$
S_n(f,x) = o\bigg( \ln \bigg(\frac{\nu (f,\pi / n)}{n}\bigg)\bigg).
$$
The optimality of this estimate is shown.
Keywords: trigonometric Fourier series, uniform convergence, fractal dimension
Received August 31, 2018
Revised October 28, 2018
Accepted November 05, 2018
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 14-11-00702).
Maksim Leonidovich Gridnev, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: [email protected]
[References -> on the «English» button bottom right]
учебных модулей — CONVERGE | Центр стихийных бедствий
Доступные модули
Учебные модули CONVERGE включают в себя подход, учитывающий все опасности, основанный на передовых исследованиях в области социальных наук, общественного здравоохранения, инженерии и других дисциплин.
В каждом учебном модуле представлены цели обучения, планы уроков, письменные материалы и виньетки, посвященные стихийным бедствиям, из США и других стран мира. Модули также включают список публикаций для дальнейшего чтения, а также доступ к соответствующим стандартизированным шкалам и показателям, онлайн-ресурсам, наборам данных и другой информации. Каждый модуль сопровождается короткой викториной с несколькими вариантами ответов. Те, кто наберет 80% или выше, получат сертификат об окончании учебного модуля CONVERGE и один контактный час общего управленческого обучения в рамках программы сертификации Международной ассоциации менеджеров по чрезвычайным ситуациям (IAEM).
Учебный модуль
Зарегистрированные лица
Успешно
Завершенные модули
Более широкие этические соображения для исследователей опасностей и бедствий
Этот модуль фокусируется на более широких этических соображениях для исследований. В нем описывается, как исследователи могут ориентироваться в этических наземных минах, разрабатывая гибкий и надежный набор этических инструментов для исследования опасностей и бедствий.
Дата выпуска: Январь 2021
Авторов: Рэйчел М. Адамс, Кэндис М. Эванс и Лори Пик
Финансовая поддержка: Центры по контролю и профилактике заболеваний и Национальный научный фонд
регистр
Сбор и обмен скоропортящимися данными
Этот модуль определяет скоропортящиеся данные и предоставляет рекомендации по решению этических и логистических проблем при сборе и обмене данными этого типа после стихийных бедствий.
Дата выпуска: Май 2021
Авторы: Кэндес М. Эванс, Рэйчел М. Адамс и Лори Пик
Финансовая поддержка: Центры по контролю и профилактике заболеваний и Национальный научный фонд
регистр
Проведение эмоционально сложных исследований
В этом модуле дается определение эмоционально сложных исследований и освещаются способы, с помощью которых распознавание эмоций исследователей может привести к более этичным и методологически обоснованным исследовательским методам в контексте экстремальных явлений.
Дата выпуска: август 2020 г.
Авторы: Трейси Фер, Скай Найлс, Берта Алисия Бермудес Тапиа, Кэндис М. Эванс, Рэйчел М. Адамс и Лори Пик
9 Финансовая поддержка Национального научного фонда:0
регистр
Культурная компетентность в исследованиях опасностей и бедствий
Этот модуль фокусируется на культурно компетентных исследованиях и предлагает рекомендации о том, как исследователи опасностей и бедствий могут повышать культурную осведомленность, знания, чувствительность и компетентность в виде многоступенчатого и непрерывного процесса.
Дата выпуска: июнь 2019 г.
Авторы: Хаоруи Ву, Рэйчел М. Адамс, Кэндис М. Эванс, Мелисса Вильяреал, Лори Пик и Ирена Пападопулос
20 Национальный научный фонд 900 регистр
Психическое здоровье при стихийных бедствиях
В этом модуле рассматриваются последствия для психического здоровья, связанные со стихийными бедствиями, с особым акцентом на факторы риска, которые со временем делают определенные группы населения уязвимыми к неблагоприятным последствиям для психического здоровья в результате стихийных бедствий.
Дата выпуска: сентябрь 2019 г.
Авторы: Рэйчел М. Адамс, Кэндис М. Эванс и Лори Пик
Финансовая поддержка: Центры по контролю и профилактике заболеваний и Национальный научный фонд
5
5 регистр
Процедуры Институционального наблюдательного совета (IRB) и исследование экстремальных явлений
Этот модуль знакомит пользователей с процедурами IRB и дает рекомендации относительно того, как работать с IRB для обеспечения этического подхода к исследованию экстремальных явлений.
Дата выпуска: апрель 2020 г.
Авторы: Хаоруи Ву, Мелисса Вильярреал, Рэйчел М. Адамс, Кэндис М. Эванс и Лори Пик
Финансовая поддержка: Национальный научный фонд
4 регистр
Позиционность в исследованиях и практике опасностей и бедствий
В этом модуле описывается концепция позиционности в контексте исследований и практики опасностей и бедствий.
В нем подчеркивается, как понимание вашей собственной позиции — или того, как разные личности формируют ваше восприятие, взаимодействие и опыт — может привести к более этичной и методологически обоснованной работе со стихийными бедствиями.
Дата выпуска: Март 2023
Авторы: Кэндис М. Эванс, Рэйчел М. Адамс и Лори Пик с Райли Бэнс, Домиником Комо, Лин Фрейзер, Молли МакКаун, Беллой Рунза и Кристин Гибб
44
4
4
4 Финансовая поддержка: Национальный научный фонд
регистр
Последствия опасностей и исследований бедствий для общественного здравоохранения
Этот модуль разработан, чтобы помочь пользователям определить и объяснить другим, как опасности и исследования бедствий могут помочь улучшить здоровье населения, пострадавшего от бедствий.
Дата выпуска: Февраль 2022
Авторы: Алекса Хансен, Кортни Велтон-Митчелл, Рэйчел М.
Адамс, Кэндис М. Эванс и Лори Пик Национальный научный фонд
регистр
Взаимность в исследованиях опасностей и бедствий
Этот модуль фокусируется на взаимных отношениях между исследователями и пострадавшими от стихийных бедствий людьми и сообществами с акцентом на обеспечение того, чтобы исследования приносили пользу как участникам, так и исследовательскому сообществу.
Дата выпуска: ноябрь 2021 г.
Авторы: Джоселин Уэст, Хизер Шампо, Джессика Остин, Кэндис М. Эванс, Рэйчел М. Адамс и Лори Пик Фундамент
регистр
Социальная уязвимость и стихийные бедствия
В этом модуле основное внимание уделяется уязвимости перед опасностями и стихийными бедствиями с упором на группы населения, которые в литературе определены как особо подверженные риску неблагоприятных последствий экстремальных явлений.
Дата выпуска: июнь 2019 г.
Авторы: Рэйчел М.
Адамс, Кэндис М. Эванс и Лори Пик
Финансовая поддержка: Центры по контролю и профилактике заболеваний и Национальный научный фонд
5
5
регистрПонимание и прекращение гендерного насилия в полевых работах
В этом модуле изучается гендерное насилие в полевых исследованиях и проводится углубленное исследование неправильных представлений, реальных жизненных сценариев и стратегий для более безопасных и гендерно-справедливых полевых практик.
Дата выпуска: июль 2021
Авторы: Джерика Хайнце, Рэйчел М. Адамс, Кэндис М. Эванс и Лори Пик
Финансовая поддержка: Национальный научный фонд
5
45
45 регистр Банк заданий
Если вы рассматриваете необходимость или рекомендацию учебных модулей CONVERGE, ниже приведены примеры того, как преподаватели интегрировали эти модули в свою учебную программу из ряда курсов.
Аннотированные библиографии
Если вы ищете дополнительную литературу, предназначенную для дополнения учебных модулей CONVERGE, посетите нашу страницу Аннотированные библиографии для получения дополнительных ресурсов.
Кредиты непрерывного образования
Каждый пройденный модуль обучения CONVERGE стоит одного часа общего обучения управлению в рамках программы сертификации Международной ассоциации менеджеров по чрезвычайным ситуациям (IAEM).
Публикации
Пожалуйста, посетите эту страницу, чтобы получить доступ к последним научным публикациям, подготовленным исследовательской группой CONVERGE и нашими сотрудниками, в том числе связанными с учебными модулями CONVERGE.
Модули появятся в ближайшее время
В течение следующих двух лет будут разработаны и выпущены дополнительные учебные модули CONVERGE как часть онлайновой системы сертификации.
- Методы и подходы социальных наук к исследованию опасностей и бедствий
- Междисциплинарные методы и подходы к исследованию опасностей и бедствий
- Наука коллективной науки: формирование междисциплинарных групп для исследования опасностей и бедствий
- Публикация данных о стихийных бедствиях, протоколов сбора данных, и исследовательские инструменты
- Общественная наука о стихийных бедствиях: передовые методы обмена информацией об опасностях и исследованиях бедствий
- Координация этических норм с партнерами, пострадавшими на местном уровне, в зонах бедствий
Подпишитесь на
Новости CONVERGE Присоединяйтесь к нашему списку рассылки, чтобы получать
последние обновления и новости!
Определение сходимости (или расхождения) последовательности — Криста Кинг Математика
Конвергенция означает, что существует бесконечный предел
Если мы говорим, что последовательность сходится, это означает, что предел последовательности существует как ???n\to\infty???. Если предел последовательности как ???n\to\infty??? не существует, говорят, что последовательность расходится.
Последовательность всегда либо сходится, либо расходится, другого варианта нет. Это не означает, что мы всегда сможем сказать, сходится последовательность или расходится, иногда нам может быть очень трудно определить сходимость или расхождение.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Есть много способов проверить последовательность, чтобы увидеть, сходится она или нет.
Иногда все, что нам нужно сделать, это оценить предел последовательности в ???n\to\infty???. Если предел существует, то последовательность сходится, и найденный ответ есть значение предела.
Иногда для определения сходимости удобно использовать теорему сжатия, потому что она покажет, имеет ли последовательность предел и, следовательно, сходится она или нет. Затем мы возьмем предел нашей последовательности, чтобы получить реальное значение предела.
последние обновления и новости!
Если предел последовательности как ???n\to\infty??? не существует, говорят, что последовательность расходится.