Интерполяция лагранжа: Недопустимое название | Математика | Fandom

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)

Этот калькулятор может пригодиться при решении задач на интерполяцию полиномом Лагранжа. В таких задачах обычно требуется интерполировать значение неизвестной функции, соответствующее некоторому значению x, использую формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, полученную из известного набора точек со значениями неизвестной функции (x, f(x)).

Калькулятор ниже обладает следующими функциями:

1. Он находит формулу полинома Лагранжа для заданного набора точек.
2. Он отображает пошаговый вывод формулы.
3. Он вычисляет значения интерполяционного многочлена Лагранжа для заданных точек (интерполирует функцию полиномом Лагранжа в заданных точках интерполяции)
4. Он отображает набор точек, значения в точках интерполяции, полином Лагранжа и все базисные полиномы на графике.

Как пользоваться

Сначала вводите набор точек — одна точка на строку в форме x f(x), значения разделены пробелом. Если вы хотите получить интерполяцию, вводите значения точек интерполяции в следующее поле в виде значений x, разделенных пробелом.

По умолчанию, калькулятор отображает формулу многочлена и его значения в точках интерполяции. Если нужно пошаговое решение, включите опцию «Показать пошаговое решение». Также можно отключить отображение базисных полиномов.

Теория и формулы, как обычно, описаны под калькулятором.

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином Лагранжа)

0 -1 1 1 4 1

Набор точек, одна точка на строку, значения разделяются пробелом

Точки для интерполяции

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Полином Лагранжа

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Показать базисные полиномы

Полином Лагранжа

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Предположим, что у нас есть набор значений, соответствующих неизвестной функции, при этом все x различны:

Сконструируем следующий многочлен (называемые многочленом Лагранжа):

где — базисный полином Лагранда

Если посмотреть на формулу базисного полинома для любого j, то видно что для всех точек i не равных j, значение этого полинома обращается в ноль, а в самой точке j значение этого полинома j равно единице. Таким образом,

и

что означает, что полином Лагранжа точно интерполирует значение функции в заданных точках.

Стоит заметить, что формула интерполяционного многочлена Лагранжа подвержена воздействию так называемого феномена Рунге. Феномен Рунге связан к увеличением колебаний полинома на краях интервала при использовании полиномов высоких степеней на равноудаленных друг от друга точках. Таким образом, наличие большого количества точек далеко не всегда приводит к улучшению точности интерполяции.

Однако также стоит заметить, что в отличие от некоторых других формул интерполяции, формула Лагранжа не требует того, чтобы точки в наборе были равноудалены друг от друга. Это используется в некоторых способах борьбы с феноменом Рунге, например, при использовании в качестве точек интерполяции узлов Чебышева.

 #Лагранж #математика интерполяционный многочлен Лагранжа интерполяция Математика математический анализ Многочлены полином полином Лагранжа

Интерполяция Лагранжа | Brilliant Math & Science Wiki

Тревор Араширо, Скрытень Зер, Патрик Корн, и

способствовал

Содержимое

• Теорема
• Доказательство
• Примеры проблем
• Смотрите также

Учитывая \( n \) различные действительные значения \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) и \( n \) действительные значения \( y_1, y_2, \ldots, y_n\) (не обязательно различные), существует единственный многочлен \(P\) с действительными коэффициентами, удовлетворяющими \( P(x_i)=y_i\) для \( i \in \{ 1,2, \ldots, n \} \), такой, что \( \text{deg }(P) < п. \) \(_\квадрат\)

Эту теорему можно рассматривать как обобщение известного факта, что две точки однозначно определяют прямую, три точки однозначно определяют график квадратичного многочлена, четыре точки однозначно определяют график кубического многочлена, и, следовательно, на. (Два предостережения: (1) точки должны иметь разные \(х\)-координаты, и (2) «квадратичный полином» может быть на самом деле линейным или постоянным полиномом, «кубический полином» может быть на самом деле квадратичным , линейный или постоянный полином и т. д.)

Во-первых, доказательство того, что многочлен \(P\) уникален: предположим, что \(Q\) и \(R\) — многочлены с указанными выше свойствами. Тогда \(Q-R\) обращается в нуль на \(x_1,x_2,\ldots,x_n,\), но его степень меньше \(n.\) Ненулевой многочлен степени \(

Теперь, чтобы показать, что \(P\) существует, пусть \[ P_1(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3)(\cdots)(x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(\cdots)(x_1-x_n)}. \] Тогда \( P_1(x_1)=1 \) и \( P_1(x_2)=P_1(x_3)=\cdots=P_1(x_n)=0.\)

Аналогично построить многочлены \( P_2,P_3,\ldots,P_n\) такие, что \( P_j (x_j)=1\) и \( P_j (x_i)=0\) для всех \( i \neq j\). (Один из способов написать \(P_j(x)\) это \[ P_j(x) = \frac{f(x)}{(x-x_j)f'(x_j)}, \] где \( f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(\cdots)(x-x_n).)\)

Тогда \( P(x) = \sum y_i P_i(x) \) является полиномом с вещественными коэффициентами, удовлетворяющим \( P(x_i)=y_i\) для всех \( i \in \{ 1,2, \ ldots n \} \). Это сумма многочленов степени \( n-1,\), поэтому его степень равна \(

Также обратите внимание, что теорема остается верной с тем же доказательством, что и выше, если любое поле заменить действительными числами (например, рациональными числами, комплексными числами, целыми числами по модулю \(p,\) и т. д.).

Если \(p(x)\) кубический многочлен с

\[\begin{array} &p(1)= 1, &p(2)=2, &p(3)=3, &p(4) =5,\end{массив}\]

найти \(p(6). \)

Использование интерполяции Лагранжа для нахождения полинома \(P\) степени \(<4\), удовлетворяющего

\[\begin{массив} &P(1)=1, &P(2)=4, &P(3)=1, &P(4)=5,\end{массив}\]

что такое многочлены \( P_1(x), P_2(x), P_3(x), P_4(x), P(x)\)?

---

Пусть \( f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)\). Затем \[ f(1) = (-1)(-2)(-3)=-6 \text{, поэтому } P_1(x) = -\frac {1}{6}(x-2)(x- 3)(х-4).\]

Пусть \( f(x) = (x-1)(x-3)(x-4)\). Затем \[ f(2) = (1)(-1)(-2) = 2 \text{, поэтому } P_2 (x) = \frac {1}{2} (x-1)(x-3)( х-4).\]

Пусть \( f(x) = (x-1)(x-2)(x-4)\). Затем \[ f(3) = (2)(1)(-1) = -2 \text{, поэтому } P_3 (x) = -\frac {1}{2} (x-1)(x-2) (х-4). \] 92+\frac{215}6 x -21.\) \(_\квадрат\)

Недостаточно данных 12 8 13

Пусть \(f(x)\) — многочлен пятой степени такой, что

\[ \begin{array} { r l } f(1) & = 1 \\ f(2) & = 1 \\ f(3) & = 2 \\ f(4) & = 3 \\ f(5) & = 5 \\ f(6) & = 8. \\ \end{array} \]

Определить \( f(7)\).

\(\)
Примечание: Многие люди дают неправильный ответ, потому что думают, что это последовательность Фибоначчи, но эта задача касается полинома пятой степени , который проходит через эти точки. Это не обязательно означает, что следующий член ведет себя как последовательность Фибоначчи.

Интерполяция Лагранжа связана с методом разностей, который также может быть использован для решения некоторых из вышеперечисленных задач.

• Метод разностей \(LaTeX\)

Процитировать как: Интерполяция Лагранжа. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/lagrange-interpolation/

Формула интерполяции Лагранжа — GeeksforGeeks

Формула интерполяции Лагранжа находит полином, называемый полиномом Лагранжа, который принимает определенные значения в произвольной точке. Это полиномиальное выражение n ^{-й степени} для функции f(x). Метод интерполяции используется для поиска новых точек данных в диапазоне дискретного набора известных точек данных.

LAGRANGE Interpolation Formula

Учитывает несколько реальных значений x ₁ , x ₂ , x ₃ ,…, x _n и y ₁ , y ₂ , y _{3 9099, … y 2 , y 3 ,……, y 2 , y 9009 3} , … …. y _n и будет полином P с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условиям P(x _i ) = y _i , ∀i = {1, 2, 3, …, n} и степень полинома P должна быть меньше количества действительных значений, т. е. степень (P) < n. Формула интерполяции Лагранжа для разных порядков, т.е. n ^TH Заказ приведен по адресу,

LAGRANGE INTERPOLATION FROMULA для N ^TH Заказ-

, если _{Степень Полинома- 1,}

3 Legrange 1,

3 3 Lagrange 1. полином порядка is-

Аналогично для 2 ^nd полином порядка , интерполяционная формула Лагранжа —

1

Доказательство теоремы Лагранжа

Давайте рассмотрим полином N -й степени данной формы

Заменитель наблюдения x _I , чтобы получить _I

Поставки x = x 9099 9. 9. 0

F (x ₀ ) = Y ₀ = A ₀ (x ₀ — x ₁ ) (x ₀ — x ₂ ) (x ₀ – x – x x ₃ )…(х ₀ – х _n )

A ₀ = Y ₀ /(x ₀ — x ₁ ) (x ₀ — x ₂ ) (x ₀ — x ₃ )… (x ₀ — x ₃ ) – x _n )

By substituting x = x ₁ we get A ₁

f(x ₁ ) = y ₁ = A ₁ (x ₁ – x ₀ )(х ₁ – х ₂ )(х ₁ – х ₃ )…(х ₁ – х _n )

A ₁ = Y ₁ /(x ₁ — x ₀ ) (x ₁ — x ₂ ) (x ₁ — x ₃ )… (x ₁ — x ₃ ). x _N )

аналогичным образом, заменив x = x _N Мы получаем _N

F (x _N ) = Y _N = _N (x _N – = _N (x _N – – – x _N (x _{N 0 )(х н – х 1 )(х н – х 2 )…(х н – х н-1 )}

0019 A _N = Y _N /(x _N — x ₀ ) (x _N — x ₁ ) (x _N — x ₂ )… (x _N — x ₂ )… (x _N — x ₂ )… (x _N — x ₂ ). – x _n-1 )

Если мы подставим все значения A _i в функцию f(x), где i = 1, 2, 3, …n, то получим интерполяционную формулу Лагранжа.

Давайте рассмотрим несколько примеров вопросов по интерполяционной формуле Лагранжа.

Примеры задач

Вопрос 1. Найдите значение y в точке x = 2 для заданного набора точек (1, 2), (3, 4)

Решение:

,

(x ₀ , Y ₀ ) = (1, 2)

(x ₁ , Y ₁ ) = (3, 4) = (3, 4) = (3, 4) = (3, 4)

x = 2

Согласно порядку 1 ^st Интерполяционная формула Лагранжа,

= (-2/-2) + (4/2)

= 1 + 30 2 90 3

Вопрос 2: Найдите значение y в точке x = 5 для заданного набора точек (9, 2), (3, 10)

Решение:

,

(x ₀ , Y ₀ ) = (9, 2)

(x ₁ , Y ₁ ) = (3, 10) = (3, 10) = (3, 10) = (3, 10) = (3, 10)

x = 5

По порядку 1 Интерполяционная формула Лагранжа,

= (4/6) + (-40/-6)

= (2/3) + (20/3) )

= 22/3

y = 7,33

Вопрос 3: Найти значение y при x = 1 для заданного набора точек (1, 6), (3, 4), (2 , 5)

Решение:

,

(x ₀ , Y ₀ ) = (1, 6)

(x ₁ , Y ₁ ) = (3, 4) = (3, 4) = (3, 4) = (3, 4)

(x ₂ , y ₂ ) = (2, 5)

x = 1

Согласно порядкам 2 ^и Интерполяционная формула Лагранжа

+ 19000 0

y = 6

Вопрос 4: Найдите значение y при x = 10 для данного набора точек (9, 6), (3, 5), (1, 12)

Решение:

Дано,

(x ₀ , y ₀ ) = (00 3) 9 ₁ , Y ₁ ) = (3, 5)

(x ₂ , Y ₂ ) = (1, 12)

x = 10

Согласно 2 ^ND Формула интерполяции,

= (63/8) + (-15/4) + (21/4)

= (63-30 + 42)/8

= 75/8

y = 9.