График xy: Mathway | Популярные задачи

2

Построение и решение графиков Функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

• Графический способ — наглядно.

• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

• Словесный способ.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть

y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Запоминаем!

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 

1. Найти область определения функции.

2. Найти область допустимых значений функции.

3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.

4. Проверить не является ли функция периодической.

5. Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).

6. Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.

7. Промежутки знакопостоянства.

8. Асимптоты.

9. На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Задача 3. Построить графики функций:

а) y = 3x — 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x — 1

x	y
0	-1
1	2

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

x	y
0	2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

x	y
0	0
0	2

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax² + bx + c.

 

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

   Координата вершины

2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

   Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

   Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

   Координата вершины , т. к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x — 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.

Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

• y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;

• y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;

• y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;

• y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.

Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

• Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.

• Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

в) y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

О диаграммах XY (точечных)

О диаграммах XY (точечных)

---

Диаграммы XY (Scatter) отображают две группы чисел как одну серию координат XY. Диаграммы XY показывают взаимосвязь двух наборов данных. Если точки данных сгруппированы или сгруппированы в определенной конфигурации — например, если они имеют тенденцию образовывать форму линии — это указывает на то, что два набора данных каким-то образом коррелируют.

Каждый маркер представляет точку данных. Каждая точка данных должна иметь две части данных, связанных с ней: ее координата X и ее координата Y.

Диаграммы XY могут иметь более одной серии. Все точки данных в одной серии имеют одинаковый стиль маркера. По умолчанию Formula One для Java соединяет маркеры в серию линией.

Диаграммы XY следует использовать, когда вы хотите сравнить два набора значений для каждого ряда. Если один из двух наборов данных попадает в категории, в которых у вас есть одна запись для каждой категории (например, статистика, которая происходит каждый год или для каждой возрастной группы), эти данные лучше отображать в виде категорий на диаграмме другого типа. .

Поскольку данные для диаграмм XY могут располагаться в различных конфигурациях, Formula One для Java не может автоматически создавать диаграммы XY. Требуется пользовательский ввод, чтобы определить, как следует использовать данные. Чтобы создать диаграмму XY, вы сначала создаете «фиктивную» диаграмму, используя примерный диапазон данных. Затем вы открываете вкладку Данные диаграммы, чтобы переопределить, как данные должны использоваться в диаграмме.

Чтобы создать диаграмму XY:

1. Настройте рабочий лист таким образом, чтобы для каждой точки данных было два набора значений (значение по оси X и значение по оси Y). Вы можете настроить диапазон данных в любом порядке, даже с несмежными ячейками. Вот как был настроен рабочий лист для примера диаграммы.

   
   

2. Чтобы создать диаграмму, выберите ячейки в диапазоне данных диаграммы. (Поскольку позже вы определите, какие ячейки должны представлять какие области, не имеет значения, какие ячейки вы выберете. ) Нажмите кнопку «Диаграмма» и нарисуйте диаграмму на рабочем листе. Дополнительные сведения см. в разделе Создание диаграммы.
3. Измените тип диаграммы на XY (точечная), как описано в разделе Изменение типа диаграммы.

   Появившаяся диаграмма, вероятно, будет выглядеть странно, но вы исправите ее на следующих шагах.

4. CTRL + щелкните диаграмму, чтобы выбрать ее, затем выберите «Формат» > «Объект». Появится вкладка Chart Data диалогового окна Format Object.
5. Для диаграммы XY, подобной показанной в примере, которая имеет только один ряд, удалите все ряды, кроме одного, выбрав ненужные ряды и нажав кнопку Удалить.
6. Выберите серию. Заполните текстовое поле «Имя» именем, которое должно отображаться для этой серии в легенде диаграммы. Вы можете ввести текст имени или ссылку на ячейку, указывающую на ячейку, содержащую имя.

   Заполните текстовые поля X Values ​​и Y Values ​​ссылками на диапазоны, которые относятся к соответствующим диапазонам на рабочем листе. (Эти ссылки на диапазоны должны включать только числовые данные, а не заголовки или другие текстовые ячейки.)

   Дополнительные сведения о параметрах заполнения вкладки «Данные диаграммы» см. в разделе Изменение источника данных диаграммы.

   Вот как была заполнена вкладка Данные диаграммы для примера диаграммы.

   
   

7. Для диаграммы XY с несколькими сериями повторите шаг 6 для каждой серии на диаграмме.
8. Нажмите «Применить», чтобы просмотреть изменения, или «ОК», чтобы принять их.
9. Завершите форматирование диаграммы с помощью параметров контекстного меню.

Линия, соединяющая маркеры. По умолчанию диаграммы XY рисуются линией, соединяющей все маркеры в серии. Вы можете удалить линию, выбрав серию точек данных, выбрав «Формат серии» в контекстном меню и нажав «Прозрачный» на вкладке «Стиль линии». Дополнительные сведения см. в разделе Изменение стилей и цветов линий.

Маркировка точек данных. Вы можете пометить одну или все точки данных в ряду автоматическими метками данных, которые отображают значения X или Y, или пользовательскими метками данных, которые вы вводите сами. Чтобы пометить точки данных значениями X, выберите «Категория» на вкладке «Метки данных». Строго говоря, ось X в данном случае является осью значений, а не осью категорий, но вкладка Метки данных не отражает этого различия. Дополнительные сведения см. в разделе О метках данных.

точечных диаграмм | Полное руководство по точечным диаграммам

Что такое точечная диаграмма?

Точечная диаграмма (также известная как точечная диаграмма, точечная диаграмма) использует точки для представления значений двух различных числовых переменных. Положение каждой точки на горизонтальной и вертикальной осях указывает значения для отдельной точки данных. Диаграммы рассеяния используются для наблюдения взаимосвязей между переменными.

На приведенном выше примере точечной диаграммы показаны диаметры и высоты выборки вымышленных деревьев. Каждая точка представляет собой одно дерево; горизонтальное положение каждой точки указывает на диаметр этого дерева (в сантиметрах), а вертикальное положение указывает на высоту этого дерева (в метрах). На графике мы видим в целом тесную положительную корреляцию между диаметром дерева и его высотой. Мы также можем наблюдать точку выброса, дерево, которое имеет гораздо больший диаметр, чем другие. Это дерево кажется довольно коротким для своего обхвата, что может потребовать дальнейшего изучения.

Когда следует использовать точечную диаграмму

Точечная диаграмма в основном используется для наблюдения и демонстрации взаимосвязей между двумя числовыми переменными. Точки на точечной диаграмме сообщают не только значения отдельных точек данных, но и закономерности, когда данные взяты в целом.

Идентификация корреляционных взаимосвязей распространена на диаграммах рассеяния. В этих случаях мы хотим знать, если бы нам дали конкретное значение по горизонтали, каким был бы хороший прогноз для значения по вертикали. Вы часто будете видеть, что переменная на горизонтальной оси обозначается как независимая переменная, а переменная на вертикальной оси — как зависимая переменная. Отношения между переменными можно описать разными способами: положительными или отрицательными, сильными или слабыми, линейными или нелинейными.

Диаграмма рассеивания также может быть полезна для выявления других закономерностей в данных. Мы можем разделить точки данных на группы в зависимости от того, насколько близко наборы точек группируются вместе. Диаграммы рассеяния также могут показать, есть ли какие-либо неожиданные пробелы в данных и есть ли какие-либо точки-выбросы. Это может быть полезно, если мы хотим разделить данные на разные части, например, при разработке персонажей пользователей.

Пример структуры данных

диаметр	высота
4,20	3,14
5,55	3,87
3,33	2,84
6,91	4,34
…	…

Чтобы создать точечный график, нам нужно выбрать два столбца из таблицы данных, по одному для каждого измерения графика. Каждая строка таблицы станет одной точкой на графике с положением в соответствии со значениями столбца.

Распространенные проблемы при использовании точечных диаграмм

Перерисовка

Когда у нас много точек данных для построения, это может привести к перерисовке. Перерисовка — это случай, когда точки данных перекрываются до такой степени, что нам трудно увидеть взаимосвязь между точками и переменными. Может быть трудно сказать, насколько плотно расположены точки данных, когда многие из них находятся в небольшой области.

Существует несколько распространенных способов решения этой проблемы. Одной из альтернатив является выборка только подмножества точек данных: случайный выбор точек все же должен давать общее представление о закономерностях в полных данных. Мы также можем изменить форму точек, добавив прозрачность, чтобы были видны перекрытия, или уменьшив размер точек, чтобы было меньше перекрытий. В качестве третьего варианта мы могли бы даже выбрать другой тип диаграммы, такой как тепловая карта, где цвет указывает количество точек в каждой ячейке. Тепловые карты в этом случае также известны как двумерные гистограммы.

Интерпретация корреляции как причинно-следственной связи

Проблема не столько в построении точечной диаграммы, сколько в ее интерпретации. Тот факт, что мы наблюдаем взаимосвязь между двумя переменными на точечной диаграмме, не означает, что изменения в одной переменной ответственны за изменения в другой. Это порождает распространенную в статистике фразу о том, что корреляция не подразумевает причинно-следственной связи. Возможно, что наблюдаемая взаимосвязь обусловлена ​​какой-то третьей переменной, влияющей на обе указанные на графике переменные, что причинно-следственная связь обратная или модель просто случайна.

Например, было бы неправильно смотреть на городскую статистику количества зеленых насаждений и количества совершенных преступлений и делать вывод, что одно вызывает другое, это может игнорировать тот факт, что более крупные города с большим количеством людей, как правило, имеют больше обоих, и что они просто коррелируют через этот и другие факторы. Если необходимо установить причинно-следственную связь, то необходимо провести дальнейший анализ для контроля или учета других возможных эффектов переменных, чтобы исключить другие возможные объяснения.

Общие параметры точечной диаграммы

Добавление линии тренда

Когда точечная диаграмма используется для просмотра прогностической или корреляционной связи между переменными, обычно к графику добавляется линия тренда, показывающая математически наилучшее соответствие данным. . Это может дать дополнительный сигнал о том, насколько сильна взаимосвязь между двумя переменными и есть ли какие-либо необычные точки, влияющие на вычисление линии тренда.

Категориальная третья переменная

Распространенной модификацией базовой диаграммы рассеяния является добавление третьей переменной. Значения третьей переменной можно закодировать, изменив способ построения точек. Для третьей переменной, которая указывает категориальные значения (например, географический регион или пол), наиболее распространенным кодированием является точечный цвет. Присвоение каждой точке определенного оттенка позволяет легко показать принадлежность каждой точки к соответствующей группе.

Окраска точек по типам деревьев показывает, что Ферсоны (желтые) обычно шире, чем Милтоны (синие), но также короче при том же диаметре.

Еще один вариант, который иногда встречается при кодировании третьей переменной, — это форма. Одна потенциальная проблема с формой заключается в том, что разные формы могут иметь разные размеры и площади поверхности, что может влиять на то, как воспринимаются группы. Однако в некоторых случаях, когда нельзя использовать цвет (например, в печати), форма может быть лучшим вариантом для различения групп.

Фигуры выше были масштабированы для использования того же количества чернил.

Числовая третья переменная

Для третьих переменных, которые имеют числовые значения, общее кодирование возникает из-за изменения размера точек. Точечная диаграмма с размером точек, основанным на третьей переменной, на самом деле имеет другое название — пузырьковая диаграмма. Большие точки указывают на более высокие значения. Более подробное обсуждение того, как должны строиться пузырьковые диаграммы, можно прочитать в отдельной статье.

Оттенок также можно использовать для отображения числовых значений в качестве еще одной альтернативы. Вместо использования отдельных цветов для точек, как в категориальном случае, мы хотим использовать непрерывную последовательность цветов, чтобы, например, более темные цвета указывали на более высокое значение. Обратите внимание, что как для размера, так и для цвета легенда важна для интерпретации третьей переменной, поскольку наши глаза гораздо менее способны различать размер и цвет так же легко, как положение.

Выделение с помощью аннотаций и цвета

Если вы хотите использовать точечную диаграмму для представления идей, может быть полезно выделить определенные точки интереса с помощью аннотаций и цвета. Обесцвечивание неважных точек делает оставшиеся точки более заметными и обеспечивает эталон для сравнения оставшихся точек.

Точечная карта

Когда двумя переменными на точечной диаграмме являются географические координаты — широта и долгота — мы можем наложить точки на карту, чтобы получить точечную карту (также известную как точечная карта). Это может быть удобно, когда географический контекст полезен для получения конкретных сведений и может сочетаться с другими кодировками третьих переменных, такими как размер точки и цвет.

Известным примером карты рассеяния является карта вспышек холеры 1854 года Джона Сноу, показывающая, что случаи холеры (черные столбцы) были сосредоточены вокруг определенного водяного насоса на Брод-стрит (центральная точка). Оригинал: Wikimedia Commons

Тепловая карта

Как отмечалось выше, тепловая карта может быть хорошей альтернативой точечной диаграмме, когда необходимо нанести на график много точек данных, а их плотность вызывает проблемы перерисовки. Однако тепловую карту также можно использовать аналогичным образом для отображения отношений между переменными, когда одна или обе переменные не являются непрерывными и числовыми. Если мы попытаемся изобразить дискретные значения с помощью точечной диаграммы, все точки одного уровня будут лежать на одной прямой. Тепловые карты могут преодолеть это чрезмерное построение благодаря объединению значений в блоки подсчетов.

Связанная точечная диаграмма

Если третья переменная, которую мы хотим добавить к точечной диаграмме, указывает временные метки, то один тип диаграммы, который мы можем выбрать, — это связанная точечная диаграмма. Вместо того, чтобы изменять форму точек для указания даты, мы используем отрезки линий, чтобы соединить наблюдения по порядку. Это может облегчить понимание того, как две основные переменные не только соотносятся друг с другом, но и как эти отношения меняются с течением времени. Если горизонтальная ось также соответствует времени, то все линейные сегменты будут последовательно соединять точки слева направо, и мы получим базовую линейную диаграмму.

Инструменты визуализации

Точечная диаграмма — это базовый тип диаграммы, который должен создаваться любым инструментом или решением визуализации.