Разное

Функция макдональда: Функция Макдональда | это… Что такое Функция Макдональда?

Содержание

Функция Макдональда | это… Что такое Функция Макдональда?

ТолкованиеПеревод

Функция Макдональда

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравненни Бесселя

заменить на , оно примет вид

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя

Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения , однако чаще используют функции

и

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода . Если — вещественное число, а — положительно эти функции принимают вещественные значения.

называется порядком функции.

Функция

также является решением уравнения . Её называют

модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . очевидно, что

и принимает вещественные значения, если — вещественное число, а — положительно.

График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками

График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками

Содержание

  • 1 Функции целого порядка
  • 2 Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
    • 2.1 Модифицированные функции Бесселя первого рода
    • 2.2 Модифицированные функции Бесселя второго рода
    • 2.3 Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя
  • 3 Интегральные представления
    • 3.1 Модифицированные функции Бесселя первого рода
    • 3.2 Модифицированные функции Бесселя второго рода
  • 4 Асимптотическое поведение
  • 5 См. также
  • 6 Литература
  • 7 Внешние ссылки

Функции целого порядка

Так как при целом в качестве фундаментальной системы решений уравнения выбирают и где

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Модифицированные функции Бесселя первого рода

Модифицированные функции Бесселя второго рода

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя

Интегральные представления

Модифицированные функции Бесселя первого рода

— гамма-функция.

Модифицированные функции Бесселя второго рода

Асимптотическое поведение

См.

также
  • Цилиндрические функции

Литература

  • Ватсон Г., Теория бесселевых функций т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, отогональные многочлены Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.

Внешние ссылки

  • MathWorld description of Modified Bessel Function of the First Kind
  • MathWorld description of Modified Bessel Function of the Second Kind

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

  • Функция Мебиуса
  • Функция Светимости

Полезное


Функция Макдональда | это… Что такое Функция Макдональда?

ТолкованиеПеревод

Функция Макдональда

Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от мнимого аргумента.

Если в дифференциальном уравненни Бесселя

заменить на , оно примет вид

Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя

Если не является целым числом, то функции Бесселя и являются двумя линейно независимыми решениями уравнения , однако чаще используют функции

и

Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода . Если — вещественное число, а — положительно эти функции принимают вещественные значения.

называется порядком функции.

Функция

также является решением уравнения . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . очевидно, что

и принимает вещественные значения, если — вещественное число, а — положительно.

График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками

График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками

Содержание

  • 1 Функции целого порядка
  • 2 Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
    • 2. 1 Модифицированные функции Бесселя первого рода
    • 2.2 Модифицированные функции Бесселя второго рода
    • 2.3 Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя
  • 3 Интегральные представления
    • 3.1 Модифицированные функции Бесселя первого рода
    • 3.2 Модифицированные функции Бесселя второго рода
  • 4 Асимптотическое поведение
  • 5 См. также
  • 6 Литература
  • 7 Внешние ссылки

Функции целого порядка

Так как при целом в качестве фундаментальной системы решений уравнения выбирают и где

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования

Модифицированные функции Бесселя первого рода

Модифицированные функции Бесселя второго рода

Вронскиан системы модифицированных функций Бесселя

Интегральные представления

Модифицированные функции Бесселя первого рода

— гамма-функция.

Модифицированные функции Бесселя второго рода

Асимптотическое поведение

См. также

  • Цилиндрические функции

Литература

  • Ватсон Г., Теория бесселевых функций т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, отогональные многочлены Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.

Внешние ссылки

  • MathWorld description of Modified Bessel Function of the First Kind
  • MathWorld description of Modified Bessel Function of the Second Kind

Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем сделать НИР

  • Функция Мебиуса
  • Функция Светимости

Полезное


{2} ) у = 0 $$

экспоненциально стремится к нулю при $ z \rightarrow \infty $ и принимает положительные значения. Функции $I_\nu(z)$ и $K_\nu(z)$ образуют фундаментальную систему решений (*).

Для $\nu\geq 0 $, $ К _ \ню ( г) $ имеет корни только при $ \mathop{\rm Re} z < 0 $. Если $\pi/2 < | \mathop{\rm аргумент} z | < \пи $, то количество корней в этих двух секторах равно ближайшему к $\nu - 1/2$ четному числу, при условии, что $\nu - 1/2$ не является целым числом; в последнем случае число корней равно $\nu - 1/2$. Для $ \mathop{\rm arg} z = \pm \pi $ корней нет, если $\nu - 1/2$ не является целым числом. 9{2} } + \точки \справа ] , $$

для больших $ z $ и $ | \mathop{\rm аргумент} z | <\пи/2 $.

Рекуррентные формулы:

$$ K _ {\ nu — 1 } ( z ) — K _ {\ nu + 1 } ( z ) = — \frac{2 \nu} {z} К _ \ну (г) , $$

$$ K _ {\ nu — 1 } ( z ) + K _ {\ nu + 1 } ( z ) = — 2 \ frac {d K _ \ nu ( z) }{d z } . $$

Каталожные номера
[1] H.M. Макдональд, «Нули функций Бесселя» Proc. Лондонская математика. соц. , 30 (1899) с. 165–179
[2] Г.Н. Уотсон, «Трактат по теории функций Бесселя», 1–2 , Cambridge Univ. Press (1952)

Как процитировать эту запись:
Функция Макдональда. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Macdonald_function&oldid=47744

Эта статья адаптирована из оригинальной статьи В.И. Пагурова (создатель), появившейся в Математической энциклопедии — ISBN 140200609.8. См. исходную статью

Основные свойства неполной функции Макдональда с приложениями

На этой странице

РезюмеВведениеВыводыДоступность данныхКонфликты интересовБлагодарностиСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

Неполная версия функции Макдональда имеет различные названия в литературе и заслужила заслуженную репутацию. вычислительная задача. Эта статья связывает воедино ранее непересекающуюся литературу и представляет основные свойства неполной функции Макдональда, такие как рекуррентные и дифференциальные соотношения, ряды и асимптотические разложения. В этой статье также показано, что неполная функция Макдональда, как простое выражение в замкнутой форме, является частным решением параболического уравнения в частных производных, которое естественным образом возникает в самых разных нестационарных и связанных с диффузией явлениях.

1. Введение

В качестве частного решения модифицированного уравнения Бесселя [1] функция Макдональда [2] (также известная как модифицированная функция Бесселя второго рода, функция Бассе или модифицированная функция Ханкеля) имеет использовались в самых разных областях для получения аналитических решений многих физических явлений. Функция Макдональда может быть выражена в виде интегралов. Новый класс неполных специальных функций, называемый неполной функцией Макдональда, определяется наличием переменной конечной точки интегрирования и возникает в широком диапазоне контекстов, таких как вязкое течение [3], теплопроводность [4], гидрология подземных вод [5], электромагнетизм [6], галактика [7], ядерный реактор [8] и двойная специальная теория относительности [9]. ].

Возможны несколько различных неполных версий функции Макдональда, поскольку различные интегральные представления функции Макдональда часто кажутся несвязанными при переменной конечной точке интегрирования. В литературе конкретное определение, выбранное среди различных форм неполной функции Макдональда, определяется конкретным приложением. Эти различные формы и взаимосвязи неполной функции Макдональда суммированы в таблице 1.

Следует отметить разницу в названиях, присвоенных различным формам неполной функции Макдональда (как указано в таблице 1). Это функция Шу вязкого течения, обобщенная неполная гамма-функция теплопроводности, функция негерметичного водоносного горизонта гидрологии подземных вод и неполная модифицированная функция Бесселя электромагнетизма. Совершенно очевидно, что между различными исследовательскими сообществами отсутствует коммуникация. Функция Шу была впервые использована Шу и Чвангом [3] в выражении гидродинамической силы, действующей на жесткий круговой цилиндр, движущийся в зависящем от времени вращающемся поле течения. Мотивом изучения обобщенной неполной гамма-функции [4] послужила ее роль в закрытом решении ряда задач теплопроводности. Гидрологи подземных вод обычно называют интеграл негерметичного водоносного горизонта функцией негерметичного водоносного горизонта [5], которая полезна для определения гидравлических свойств негерметичных водоносных горизонтов. Неполная модифицированная функция Бесселя [6] была введена для выражения решения электромагнитных задач в усеченных цилиндрических конструкциях. В связи с этим стоит упомянуть, что эти функция Шу, обобщенная неполная гамма-функция, функция протекающего водоносного горизонта и неполная модифицированная функция Бесселя имеют заслуженную репутацию сложных вычислительных задач из-за их интегрального представления. Растущее число приложений требует тщательного анализа различных форм неполной функции Макдональда. Чтобы избежать избыточности, специальная функция, анализируемая в этой статье, в основном упоминается как функция Шу, которая является представителем большого класса задач, зависящих от времени.

В этой статье выводятся ключевые свойства функции Шу, такие как рекуррентные и дифференциальные соотношения, ряды и асимптотические разложения. Показано также, что функция Шу является частным решением параболического дифференциального уравнения в частных производных (УЧП), которое возникает в различных нестационарных задачах, например, нестационарном течении в пористой среде [10], электромагнитных волнах в цилиндрическом волноводе [11, 12] и явления, связанные с диффузией [8].

2. Определение

Интегральная форма функции Макдональда дается [13] через интеграл в (1) к , в котором обозначает действительную часть комплексного числа, символы , и соответственно называются порядком, аргументом и конечной точкой функции Шу и обычно считаются комплексными величинами. В дальнейшем символы и аннотируются соответственно для обозначения целочисленного порядка и вещественного аргумента. Поведение функции Шу целочисленного порядка, вещественного аргумента и вещественной конечной точки изображено на рисунках 1 и 2. Ввиду того, что функция Шу имеет бесконечность при , мы ограничимся рассмотрением комплексного аргумента и комплексной конечной точки .

Используя (1), функцию Шу можно записать как

Подставляя в (2), мы получаем [14]

Используя подстановку: в (2), мы получаем альтернативную форму

Это может быть выражается в виде обобщенной неполной гамма-функции [4] (табл. 1) как

Кроме того, функция Шу может быть связана с функцией негерметичного водоносного горизонта [5] (табл. 1) как

Используя это соотношение, алгоритм [ 15], предложенное для вычисления числового значения , можно использовать для вычисления .

3. Рекуррентные соотношения

В этом разделе выводятся два рекуррентных соотношения функции Шу.

3.1. Первое рекуррентное соотношение

Интегрируя (2) по частям, получаем

Здесь заметим, что

Отсюда получаем

Упрощая это выражение, получаем первое рекуррентное соотношение

3.2.
Второе рекуррентное соотношение

Продифференцируем (2) по ,

Здесь

Отсюда получаем

При упрощении получаем второе рекуррентное соотношение,

4. Дифференциальные соотношения

В этом разделе выводятся два дифференциальных соотношения функции Шу.

4.1. Первое дифференциальное соотношение

Складывая два рекуррентных соотношения (11) и (15), получаем

Предварительно умножая на , получаем

Это дифференциальное соотношение можно расширить как

4.2. Второе дифференциальное соотношение

Вычтем второе рекуррентное соотношение (15) из (11),

Предварительное умножение на ,или

5. Уравнение в частных производных

Заменив на в (16), получим

Продифференцировав (19) по , получим

Из (19), (22) и ( 23), это простое упражнение для получения следующего УЧП:

УЧП также может быть записано как где представляет собой модифицированный оператор Бесселя:

Это элегантное параболическое УЧП (25) возникает естественным образом в самых разнообразных переходных и связанных с диффузией явления.

6. Разложения в ряды

В этом разделе получены два разложения как и , соответственно, в которых обозначается модуль комплексного числа.

6.1. Разложение в ряд как

Подставим разложение, как в (5), чтобы получить

Асимптотическое разложение неполной гамма-функции для больших дано [4] где – полином Похгаммера и – гамма-функция. Подставим разложение (28) и получим

. Приближение главного члена дается выражением

Аппроксимация главного члена фактического значения функции Шу целого порядка и вещественного аргумента для малой конечной точки показана на рис. 3. Как видно, согласие лучше для более высокого целочисленного порядка.

6.2. Разложение ряда как

Подставим разложение, как в (3), чтобы получить

Это разложение можно выразить в более компактной форме, используя неполную гамма-функцию:

Используя аппроксимацию [4] для малых , в которой сигнум функция

Приведена аппроксимация главного члена, которая согласуется с известным результатом Шу и Чванга [3] для случая . Аппроксимация главного члена фактического значения функции Шу целого порядка и действительной конечной точки для малого аргумента показана на рисунке 4. Как можно заметить, согласие лучше для меньшего целочисленного порядка.

7. Асимптотические разложения

В этом разделе выводятся два асимптотических разложения как для больших с фиксированным, так и для больших с фиксированным , соответственно.

7.1. Асимптотическое разложение как

Мы используем разложения (29) и (33), чтобы получить

Аппроксимация главного члена дается как

Аппроксимация главного члена фактического значения функции Шу целого порядка и вещественного аргумента для большой конечной точки показано на рисунке 5. Как можно заметить, совпадение превосходно для всех целочисленных порядков.

7.2. Асимптотическое разложение как

Рассмотрим интеграл вида . Если , , и , , то по обобщению метода Лапласа [16] комплексного интегрирования, где первые два коэффициента и равны

Мы используем (4) для получения асимптотического разложения для больших и отметим, что и . Функция достигает минимума при . Отсюда и . Следуя (39), можно легко получить асимптотическое разложение, как и при фиксированном: [6], но их выражение чрезвычайно сложно. Аппроксимация главного члена фактического значения функции Шу целочисленного порядка и действительной конечной точки для большого аргумента показана на рисунке 6. Как можно заметить, согласие лучше для меньшего целочисленного порядка.

8. Выводы

Был получен ряд ключевых свойств неполной функции Макдональда, включая рекуррентные и дифференциальные соотношения, ряды и асимптотические разложения. Как можно наблюдать графически, соответствие между фактическим значением и соответствующей аппроксимацией главного члена найдено для всех предельных случаев. Также показано, что неполная функция Макдональда является частным решением параболического УЧП, связанного с широким спектром нестационарных природных явлений. Функцию Шу и другие различные неполные версии функции Макдональда можно использовать для нахождения простых выражений в замкнутой форме для различных природных явлений.

Доступность данных

Данные не использовались для поддержки этого исследования.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении публикации данной статьи.

Благодарности

Эта работа была поддержана Фондом академических исследований Министерства образования Сингапура уровня 1 (04MNP002133C160).

Ссылки
  1. F. W. Bessel, «Analytische auflösung der keplerschen aufgabe», Abhandlungen der Mathematischen Klasse der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , vol. 25, стр. 49–55, 1819.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

  2. Х. М. Макдональд, «Нули функций Бесселя», Proceedings London Mathematical Society , vol. с1-30, вып. 1, стр. 165–179, 1898.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  3. Ж. -Ж. Шу и А. Т. Чванг, «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений», Physical Review E , vol. 63, нет. 5, статья 051201, 2001.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  4. М. А. Чаудри и С. М. Зубаир, «Обобщенные неполные гамма-функции с приложениями», Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 55, нет. 1, стр. 99–123, 1994.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  5. Ф. Э. Харрис, «О формуле Крячко для функции негерметичного водоносного горизонта», Международный журнал квантовой химии , том. 81, нет. 5, стр. 332–334, 2001.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  6. Р. Чиккетти и А. Фараоне, «Неполные функции Ганкеля и модифицированные функции Бесселя: класс специальных функций для электромагнетизма», IEEE Transactions on Antennas and Propagation , vol. 52, нет. 12, стр. 3373–3389, 2004.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Академия Google

  7. Д. Н. Спергель, «Аналитические профили галактик для фотометрического и линзового анализа», Astrophysical Journal Supplement Series , vol. 191, нет. 1, стр. 58–65, 2010 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  8. М. М. Агрест, М. С. Максимов, Теория неполных цилиндрических функций и их приложения , Springer, 2011.

  9. Н. Чандра и С. Чаттерджи,

    Physical Review D , vol. 85, нет. 4, статья 045012, 2012.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  10. М. С. Хантуш, «Анализ данных испытаний откачки в негерметичных водоносных горизонтах», Труды Американского геофизического союза , том. 37, нет. 6, стр. 702–714, 1956.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  11. R. Cicchetti, A. Faraone, G. Orlandi, and D. Caratelli, «Неполные функции Ганкеля с действительным аргументом: точные и вычислительно эффективные интегральные представления и их асимптотические аппроксимации», IEEE Transactions on Antennas and Propagation , vol. 63, нет. 6, стр. 2751–2756, 2015.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  12. R. Cicchetti, V. Cicchetti, A. Faraone и O. Testa, «Анализ рассеивателей в виде тонких усеченных цилиндров с использованием неполных функций Ханкеля и граничных условий поверхностного импеданса», IEEE Access , vol. 8, стр. 72997–73004, 2020.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Академия Google

  13. Г. Н. Уотсон, Трактат по теории функций Бесселя , Nabu Press, 2014.

  14. Ж.-Дж. Шу и Дж. С. Ли, «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей», Journal of Engineering Mathematics , vol. 61, нет. 1, стр. 69–79, 2008 г.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  15. Р. М. Слевинский и Х. Сафуи, «Рекурсивный алгоритм преобразования G и точного вычисления неполных функций Бесселя», Прикладная вычислительная математика , том. 60, нет. 12, стр. 1411–1417, 2010.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

  16. P. S. Laplace, Mémoire sur la probabilité des Causes Sur les évènements , Mémoires de Mathématique et dehiqu Шастри. Эта статья находится в открытом доступе и распространяется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *