Фигуры в криволинейных координатах
Фигуры в криволинейных координатахФигуры в криволинейных координатах
Криволинейные координаты
Примеры для статьи — polar.zip
Кроме привычной нам прямоугольной декартовой системы координат, в математике используются и другие способы задания положения точки в пространстве или на плоскости. Чаще всего применяются полярные, цилиндрические и сферические координаты. Все эти системы родственны. В них присутствует центральная точка или полюс, от которого расходятся концентрические окружности (полярная система координат), цилиндры (цилиндрическая система) или сферы (сферические координаты). Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность, цилиндр или сферу. В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы. Перечисленные криволинейные системы координат идеально приспособлены для отображения форм, построенных вокруг единой центральной точки. Такая организация характерна для многих биологических объектов. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры, образуемые в криволинейных координатах достаточно простыми и лаконичными математическими выражениями. Это сходство указывает на то, что тела живых организмов, биологические структуры, образуются по принципам, сходным с принципами построения «полярных» объектов. Живой организм «начинается» из одной исходной точки, и затем развивается и растет во все стороны по определенному математическому закону. По крайней мере такое предположение совсем не противоречит наблюдаемому в природе обилию «математических», «полярных» форм. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, примитивных многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, построенные в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они плотно ассоциируются с формами цветов, бабочек, словом, всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в живой природе.
Полярная система координат
В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом theta, образуемым полярным радиусом с полярной осью. Если в декартовой системе координат предельно простое выражение y=kx определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в формеR=k*theta, уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. В цилиндрической системе к полярному радиусу и углу добавляется еще одна координата — z, которую можно интерпретировать как высоту точки над плоскостью, в которой вращается полярный радиус.Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы:
X=R* Cos (theta) Y=R* Sin(theta)
Соответственно, для перехода от декартовой системы к полярной применяют формулу:
R=Sqr(X*X+Y*Y)
и угол вычисляется как Atn(Y/X) (если X не равен 0)Фигуры в полярных координатах
Формулы кривых, записанных в полярной системе координат, вычисляются гораздо проще, чем в декартовой. Например, уравнение окружности с радиусом 0.9 вокруг точки отчета выглядит очень просто
R=0.9, что подразумевает следующие вычисления:
R*Cos(theta) R*Sin(theta)где угол theta изменяется от 0 до 2π радиан и определяет декартовы координаты X и Y окружности в полярной системе
Для объяснения вышесказанного приведем небольшой листинг программы, рисующей окружность:
Dim x As Single, y As Single Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single twoPi = Atn(1) * 8 Scale (-2, 2)-(2, -2) For I = 0 To twoPi Step 0.05 R = 0.9 x = R * Cos(I) y = R * Sin(I) PSet (x, y) Next I
Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. Например, можно нарисовать четырехлистный клевер. Его формула выглядит как R = Cos (2*theta), где угол theta меняется от 0 до 2π радиан (от 0 до 360 градусов)
Листинг для клевера
Dim x As Single, y As Single Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single twoPi = Atn(1) * 8 Scale (-2, 2)-(2, -2) For I = 0 To twoPi Step 0.01 R = Cos(2 * I) x = R * Cos(I) y = R * Sin(I) PSet (x, y) Next I
Для трехлистного цветка используйте формулу R = Cos (3*theta)
На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен.
Окружность
Итак, формула R=a определяет обычную окружность, а коэффициент a влияет на ее радиус
«Пируэты» окружности
Возьмем теперь одну окружность и поместим ее внутрь другой. Все кривые, которые будет вычерчивать точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, будут относиться к семейству гипоциклоид (от греч. гипо — под, внизу и киклоидес — кругообразный). Как вы думаете, какую траекторию опишет точка окружности, которая катится внутри другой окружности? Как это ни странно звучит, но она может быть даже прямой! Для этого радиус внутренней окружности должен быть в два раза меньше радиуса внешней.3
где коэффициент a влияет на вытянутость фигуры.
Эпициклоиды
Рассмотрим другой случай. Будем вращать окружность не внутри другой (опорной) окружности, а по ее внешней стороне. Теперь, все получаемые кривые будут относиться к семейству эпициклоиды (греч.эпи — на, над). К таким фигурам относятся кардиодида и улитка Паскаля
Реклама
Фигуры в полярных координатах — стр. 3
Фигуры в полярных координатах
Формулы кривых, записанных в полярной системе координат, вычисляются гораздо проще, чем в декартовой. Например, уравнение окружности с радиусом 0.9 вокруг точки отчета выглядит очень просто
R=0.9, что подразумевает следующие вычисления:
R*Cos(theta)
R*Sin(theta)
где угол theta изменяется от 0 до 2π радиан и определяет декартовы координаты X и Y окружности в полярной системе
Для объяснения вышесказанного приведем небольшой листинг программы, рисующей окружность:
Dim x As Single, y As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-2, 2)-(2, -2)
For I = 0 To twoPi Step 0.05
R = 0.9
x = R * Cos(I)
y = R * Sin(I)
PSet (x, y)
Next I
Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. Например, можно нарисовать четырехлистный клевер. Его формула выглядит как R = Cos (2*theta), где угол theta меняется от 0 до 2π радиан (от 0 до 360 градусов)
Листинг для клевера
Dim x As Single, y As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-2, 2)-(2, -2)
For I = 0 To twoPi Step 0.01
R = Cos(2 * I)
x = R * Cos(I)
y = R * Sin(I)
PSet (x, y)
Next I
Для трехлистного цветка используйте формулу R = Cos (3*theta)
На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен.
Дельтоида
Астроида
Кардиоида
Лимакона (Улитка Паскаля)
Спираль Архимеда
Логарифмическая спираль
Кохлеоида
Строфоида
Freeth’s Nephroid
Овалы Кассини
Лемниската Бернулли
Окружность
Итак, формула R=a определяет обычную окружность, а коэффициент a влияет на ее радиус
«;Пируэты»; окружности
Возьмем теперь одну окружность и поместим ее внутрь другой.3 рисует астроиду,
где коэффициент a влияет на вытянутость фигуры.
Эпициклоиды
Рассмотрим другой случай. Будем вращать окружность не внутри другой (опорной) окружности, а по ее внешней стороне. Теперь, все получаемые кривые будут относиться к семейству эпициклоиды (греч.эпи — на, над). К таким фигурам относятся кардиодида и улитка Паскаля
Кардиоида и улитка Паскаля
Кардиоида (Cardioid)
Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой, то получится кардиоида (греч.кардиа — сердце) — по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце
Формула r = 2a(1 + cos(theta)) рисует кардиоиду
Лимакона или Улитка Паскаля (Limacon of Pascal)
А как поведут себя кривые, если брать точку не самой катящейся окружности, а внутри ее, сместив в сторону от центра? Тогда мы получим кривую, получившуюся название Улитка Паскаля или лимакона.
Лимакона была открыта французским математиком Этьеном Паскалем (отцом знаменитого ученого Блеза Паскаля)
Формула r = b + 2a cos(theta) рисует лимакону (улитку Паскаля)
При b = 2a лимакона становится кардиодидом . (b * 1) * b * 60, b * 110)
Line (x, y)-Step(0, 0), col, BF
Next I
Next b
В нашем примере a — величина постоянная, а b меняется в цикле от b=0 до b=8. Вы видите, как меньшая петля вырождается в точку, а большая удваивает свой радиус, превращаясь в кардиоиду.
Доработаем рисунок. Изменим чуточку программу и получим красивый узор
Cls
pi = 4 * Atn(1)
scal = 15
a = 140
DrawWidth = 8
For l = 0 To 200 Step 13
For t = 0 To 360 Step 0.25
tt = t * pi / 180
x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)
y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)
red = 255 — 250 * Sin(0.31 * l)
green = 255 — 250 * Sin(0.3 * l)
blue = 255 — 250 * Sin(0.29 * l)
Col = RGB(red, green, blue)
If l Mod 2 = 0 Then
Col = RGB(0, 0, 0)
Else
Col = RGB(255, l, 255 — l)
End If
Line (x + 190, y + 250)-Step(ss, ss), Col, BF
PSet (x + 190, y + 250), Col
Next t
Next l
Конхоида
Представим Улитку Паскаля как конхоиду. Не углубляясь в теорию кривых, дадим такое нестрогое определение: конхоида — это геометрическое место точек, полученное перемещением каждой точки первоначальной кривой вдоль определенным образом заданных поверхностей. Для Улитки Паскаля первоначальной кривой служит самая обычная окружность, а переносятся точки вдоль линий, проходящих через точку, лежащую на этой окружности. Поясним графически. На рисунке мы выбираем на окружности неподвижную точку Р и переменную точку М, которую мы сдвигаем вдоль линии, соединяющей точки Р и М на какое-то фиксированное расстояние а.
Полученные семейства точек и есть конхоида окружности относительно фиксированной точки. Программа позволяет получить ожидаемые картинки. Сначала назначим а=0.25R. (Постепенно увеличивайте эту величину). Обратите внимание на необходимость сделать два оборота (центральный угол, он же переменная f от 0 до 720 градусов) — один сдвигает точки наружу, а второй оборот — внутрь окружности. Основная тонкость переход от центрального угла окружности, по которому мы проходим в цикле (переменные f в градусах или t в радианах), к углу линии, соединяющей постоянную точку с текущей на окружности c горизонтальной осью (переменная alfa)
Form1.ScaleMode = vbPixels
Cls
pi = 4 * Atn(1)
scal = 15
‘радиус окружности
R = 90
‘ точка на окружности
‘ в качестве разделителя используйте запятую для русской версии!
a = CSng(Text1.Text) * R
‘ a = 1.5 * r
‘ делаем оборот
For f = 1 To 720 Step 5
t = f * pi / 180
x = R * (1 + Cos(t))
y = R * Sin(t)
alfa = 0
If x > 0 Then alfa = Atn(y / x)
If f
X1 = x — a * Cos(alfa)
Y1 = y — a * Sin(alfa)
Else
X1 = x + a * Cos(alfa)
Y1 = y + a * Sin(alfa)
End If
DrawWidth = 2
Circle (X1 + 190, Y1 + 250), 2, vbBlue
Circle (x + 190, y + 250), 2, vbRed
Line (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), vbGreen
Next f
Педальная кривая
Определение педальной кривой для первоначальной давать не будем, сразу перейдем к делу. В текущей точке окружности (пробегаемой в цикле по всей окружности) проведем касательную линию, а потом из фиксированной точки (в нашем случае лежащей на окружности) проводим перпендикуляр к этой касательной. Совокупность этих перпендикуляров огибает, как вы уже догадались, кардиоиду. Это в частном случае расположения фиксированной точки на окружности, при смещении этой точки внутрь окружности или наружу ее получим все семейство Улитки Паскаля. В приведенной программе все также счетчик цикла f центральный угол в градусах, t он же в радианах, beta угол наклона касательной в соответствующей точке цикла, k тангенс этого угла. Уравнение лини, как известно, y=kx+b, для каждой касательной находим b=y-kx. Для взаимно перпендикулярных прямых k1=-1/k, а b1=0 так как все перпендикуляры проходят через точку у которой y= 0. Решая совместно уравнения касательной и перпендикуляра к ней, находим координаты точки пересечения и рисуем в них маленький красный кружок. Эти кружки и нарисуют нам педальную кривую к окружности относительно точки.
Cls
Form1.ScaleMode = vbPixels
pi = 4 * Atn(1)
scal = 15
r = 180
a = 0 * r
DrawWidth = 1
Circle (190 + r, 250), r, RGB(0, 0, 200)
For f = 1 To 720 Step 3
t = f * pi / 180
x = r * (1 + Cos(t))
y = r * Sin(t)
beta = pi / 2 + t
k = Tan(beta)
b = y — k * x
k1 = -1 / k
b1 = k1 * a
X1 = (b1 — b) / (k — k1)
Y1 = k1 * X1 + b1
red = 255
green = 0
blue = 0
col = RGB(red, green, blue)
Circle (X1 + 190, Y1 + 250), 3, col ‘ Точка пересечения красная
Circle (x + 190, y + 250), 3, RGB(0, 155, 150) ‘Точка на круге голубая
Line (190 — a, 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), RGB(0, 155, 0)
Line (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), RGB(0, 55, 150)
Next f
Создание шедевров
Будем брать точки все на той же нашей окружности, ставить в них иголку циркуля и рисовать новые окружности так, чтобы они все проходили через все ту же фиксированную точку на окружности. Общая огибающая (так называемая энвелопа) к полученным окружностям будет конечно, все уже догадались кардиоидой. А при смещении фиксированной точки получим всю гамму Улиток Паскаля. Этот процесс иллюстрирует картинка и программа, нарисовавшая ее. Маленькими черными кружками отмечены лежащие на исходной окружности точки центры проводимых окружностей. Здесь а смешение фиксированной точки для ваших экспериментов, пока равно нулю. Главное в этой программе посчитать радиус рисуемой в каждой точке цикла окружности, хотя для этого достаточно теоремы Пифагора, надо только уметь ее применить к месту. Как вы уже заметили, расцветка красивая, цвет окружностей меняется в течение цикла. Достаточно всего лишь уменьшить шаг цикла и мы получим красивую картину.
Form1.ScaleMode = vbPixels
Cls
pi = 4 * Atn(1)
scal = 15
r = 90
a = 0 * r
DrawWidth = 3
‘ попробуйте уменьшить шаг
For f = 1 To 360 Step 18
t = f * pi / 180 + pi
x = r * (1 + Cos(t))
y = r * Sin(t)
rr = Sqr((x — a) ^ 2 + y ^ 2)
red = 255 — 0. 2)
If f Mod 2 = 0 Then
col = RGB(255, 255, 10)
Else: col = RGB(0, 0, 0)
End If
Circle (190 + x, 260 + y), rr, col
Next f
Для текущей точки на окружности выделяем центральный угол с горизонтальной осью, под таким же углом проводим луч из фиксированной точки (все той же, на окружности), до пересечения с окружностью. Точку пересечения луча с окружностью соединяем с первоначальной точкой и находим середину полученной хорды. Вы будете смеяться, но эти середины хорд лежат на Улитке Паскаля.
Текущий центральный угол нам выделять не надо мы и так от него в цикле все и строим. Единственный технический момент нахождение точки пересечения окружности и линии, проходящей через фиксированную точку (параллельно радиусу, проведенному в текущую точку). Для нахождения координат точки пересечения линии, проходящей через фиксированную точку и окружности, надо совместно решить их уравнения. Уравнение линии y=kx+b, причем b=0 так как точка лежит на оси x, а k=tan(t), где t угол наклона линии в радианах. 2)
Y1 = k * X1
X2 = (X1 + x) / 2:
Y2 = (Y1 + y) / 2
DrawWidth = 2
Circle (X1 + 190, Y1 + 250), 4, RGB(0, 0, 250)
Circle (x + 190, y + 250), 4, RGB(0, 205, 0)
Circle (X2 + 190, Y2 + 250), 4, RGB(250, 0, 0)
Line (X2 + 190, Y2 + 250)-(x3 + 190, y3 + 250), RGB(250, 0, 0)
DrawWidth = 1
Line (190, 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), RGB(0, 0, 250)
Line (190 + R, 250)-(x + 190, y + 250), RGB(0, 205, 0)
x3 = X2:
y3 = Y2
Next f
Попробуем рассмотреть распространение волн и найти закономерности. Если мы заглянем в круглый зал и крикнем, то наверняка будут точки, в которые звук наш прилетит громче, чем в какие-то другие. Во всяком случае, мы можем построить модель распространения волн в такой комнате, или, что тоже самое, лучей в окружности, причем, будем рассматривать только первый отраженный луч. Вы, даже не читая дальше, поспорите, что отраженные лучи дадут кардиоиду. И будете совершенно правы! Из уважения к читателям программу не привожу после стольких тренировок не написать ее просто неприлично. Единственное, что нужно помнить, что угол падения равен углу отражения и что внутренний угол вдвое меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Паутина
Любителям математических картинок известна так называемая паутина. На окружности берутся точки с определенным шагом, и каждая из них соединяется с такой же точкой, но сдвинутой по фазе в какое-то число раз (n). Это число можно задавать или брать случайным образом. Точки пересечения хорд сливаются в муаровый узор самых замысловатых форм. Идея так притягательна, что настоятельно рекомендую всем попробовать реализовать ее самостоятельно, чтобы поиграть с параметрами и насладиться эффектами. При n= 1 не нарисуется ничего, так как начальные и конечные точки линий совпадают, зато при увеличении n будут появляться фигуры с узлами, причем количество узлов равно n-1. Нас же особенно интересует случай для n= 2, при этом нарисуется фигура, хорошо уже изученная нами кардиоида. При n= 3 так называемая нефроида с двумя узлами. Если n-1 делитель числа 360, то картинка проявляет некоторую упорядоченность. Приводим картинки для значений n= 2 (наша любимая кардиоида)
Form1.ScaleMode = vbPixels
n = 2
xx = 380
yy = 380
R = 240
P = 3.1415926
Cls
For I = 0 To 360 Step 1
T = I * P / 180
x = R * Cos(T)
y = R * Sin(T)
X2 = R * Cos(n * T)
Y2 = R * Sin(n * T)
c = 255 / 360
Line (x + xx, y + yy)-(X2 + xx, Y2 + yy), RGB(0, 0, 0)
Next I
Использование таймера
Чтобы не вводить каждый раз вручную значения n, а поручить эту работу компьютеру, то можно наблюдать интересный калейдоскоп узоров
Dim a As Double
Private Sub Form_Load()
Форма1.WindowState = 2
a = 0
End Sub
Private Sub Timer1_Timer()
xx = 380
yy = 380
R = 330
P = 3.1415926
a = a + 0.03
Cls
For i = 0 To 360 Step 2
T = i * P / 180
x = R * Cos(T)
y = R * Sin(T)
X2 = R * Cos(a * T)
Y2 = R * Sin(a * T)
c = 255 / 360
Line (x + xx, y + yy)-(X2 + xx, Y2 + yy), RGB(0, 0, 0)
Next i
End Sub
Спирали
Спираль Архимеда
Вы можете представить спираль Архимеда как траекторию муравья, перемещающегося по секундной стрелке часов.theta
Впервые эту спираль упоминает французский математик Рене Декарт в 1638 году. В природе ее можно увидеть в витках раковины. Логарифмической спираль обладает свойством, что любая прямая, выходящая из полюса спирали, пересекает любой виток под одним и тем же углом. Это свойство применяют в режущих машинах. Данная спираль так нравилась швейцарскому математику Якобу Бернулли, что он завещал высечь ее на его могиле.
Кохлеоида
Формула r = a*sin(theta)/theta рисует кохлеоиду
Строфоида
Формула r = a*(1/cos(theta) + tan(theta)) рисует строфоиду
Freeth’s Nephroid
Формула r = a*(1+2*sin(0.5*theta)) рисует Freeth’s Nephroid,
которая является частным случаем строфоиды.
Фрактал
Полярные координаты с примерами решения
Содержание:
- Пример с решением
- Спираль Архимеда
- Гиперболическая спираль
- Вычисление площадей. Полярные координаты
- Примеры с решением
- Пример 1:
- Пример 2:
До сих пор для определения положения точки на плоскости мы пользовались ее прямоугольными координатами. Теперь мы рассмотрим другую важную систему координат — полярную.
Эта система состоит из некоторой точки О (полюса) и проходящей через нее оси Ох (полярной оси). С помощью указанных Объектов можно определить положение любой точки М. Для этого соединим точку М с полюсом О и найдем угол 0, который луч ОМ образует с положительным направлением полярной оси Ох, и длину г этого луча **) ОМ (рис. 80).
Числа называются соответственно аргументом и радиусом-вектором точки М. Общее их название — полярные координаты этой точки.
Тот факт, что точка М имеет полярные координаты , обычно записывают в виде Эта запись мало удачна, так как неясно, что означает символ М (3, 2): точку, у которой абсцисса и ордината равны соответственно 3 и 2, или же точку, у которой эти числа являются радиусом-вектором и аргументом.
В дальнейших частях книги эта неясность будет устраняться сопровождающими пояснениями, а в данном параграфе мы введем обозначение М, хотя оно и не является общепринятым.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Полярная система координат имеет некоторые недостатки по сравнению с прямоугольной.
Прежде всего, аргументом полюса может считаться любое число. Так*), суть различные обозначения одной и той же точки — полюса. Далее, и у любой другой точки плоскости имеется бесконечное множество аргументов, потому что прибавление, к аргументу точки угла **) не меняет этой точки. Поэтому, представляют собой одну и ту же точку. Иногда рассматривают и отрицательные значения радиуса-вектора.
Например, под понимают точку (рис. 81),
которая получается в результате следующих построений: сначала поворачивают полярную ось на 60° (как всегда против часовой стрелки). После этого на оси (в ее новом положении!) откладывают в отрицательном направлении отрезок 2. Полученная точка и будет точкой . Нетрудно, однако, понять, что ту же точку М можно записать и так:
Иными словами, ту же точку можно задать, пользуясь положительным значением радиуса-вектора. Аналогичным образом, прибавив к аргументу 180°, мы всегда можем превратить отрицательный радиус-вектор в положительный. Имея это в виду, мы раз навсегда условимся считать радиус-вектор любой точки неотрицательным, п°2. Расстояние между двумя точками.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Пример с решением
Найти расстояние между точками и Решение:
По теореме косинусов из треугольника (рис. 82) находим (1)
Связь между полярными и прямоугольными координатами. Пусть на плоскости построены две системы координат: полярная и прямоугольная, причем полюс и полярная ось первой совпа-абсцисс второй. Возьмем на
плоскости любую точку М (рис. 83), и пусть ее полярные и прямоугольные координаты соответственно будут . Как видно из треугольника ОМА, справедливы формулы (2) выражающие прямоугольные координаты через полярные. Можно доказать, что формулы (2) верны не только для простейшего положения точки М, изображенного на рис. 83, но и при любом ее положении. Мы, однако, на этом не будем останавливаться.
Из формул (2) (или непосредственно из треугольника ОМА) следует, что (3) причем согласно сделанному выше замечанию перед радикалом мы всегда будем брать знак
Наконец, из (2) следует, что (4) Формула (4) не позволяет находить угол ибо по тангенсу угла нельзя однозначно определить угол. Но, зная мы знаем и четверть, в которой лежит угол что в соединении с формулой (4) уже позволяет найти в с точностью до 360°.
Спираль Архимеда
Мы знаем, что различные линии на плоскости определяются с помощью уравнений, которым должны удовлетворять прямоугольные координаты точек линии. Но совершенно то же будет справедливо, если говорить не о прямоугольных, а о полярных координатах точек. Прямую, эллипс, параболу, гиперболу удобнее изучать по их уравнениям в прямоугольных координатах. Однако для некоторых линий более удобным средством изучения служат их уравнения именно в полярных координатах. Такой линией является, например, спираль Архимеда.
Определение. Спиралью Архимеда называется линия, описываемая точкой, равномерно двигающейся по лучу, который сам равномерно вращается вокруг своего начала.
Мы будем предполагать, что в начальный момент точка М, описывающая спираль, находится в начале луча, упомянутого в определении.
Выведем уравнение спирали Архимеда. Для этого надо прежде всего выбрать определенную систему координат. Мы возьмем за полюс начало луча, по которому движется точка М, а за положительное направление полярной оси — начальное положение этого луча.
Обозначим соответственно через шит» скорость вращения луча и скорость ‘Движения точки М вдоль по лучу. Поскольку оба движения равномерны, [то есть угол, на который поворачивается луч за единицу времени, a — расстояние, которое за единицу времени точка М, описывающая спираль, проходит вдоль по лучу.
Положение точки М мы будем определять ее полярными координатами В начальный момент . В момент же (т. е. в момент, отделенный от начального промежутком времени*) в t единиц) Стало быть, для любого момента t
Обозначая (постоянное!) число через находим, что уравнение спирали Архимеда имеет вид Таким образом, при движении точки по спирали Архимеда ее радиус-вектор изменяется прямо пропорционально аргументу. Это позволяет построить спираль Архимеда. На рис. 84 отмечены точки А, В, С, D, Е, F, О, Н, I, К, L спирали, аргументы которых равны соответственно 45°, 90°, 135°, 495°. Ясно, что
Гиперболическая спираль
Определение. Гиперболическая спираль есть такая линия, что полярные координаты точки, движущейся по ней, изменяются обратно пропорционально друг другу. Иными словами, гиперболическая спираль есть линия, соответствующая уравнению Применяя построения, сходные с теми, какие мы употребляли для спирали Архимеда, нетрудно построить ряд точек гиперболической спирали. Она имеет вид, изображенный на рис. 85. Легко понять,
что с безграничным увеличением аргумента точки М радиус-вектор этой точки будет приближаться неограниченно к нулю. Это показывает, что гиперболическая спираль, совершая бесконечное множество оборотов вокруг полюса, неограниченно приближается к нему, хотя никогда его и не достигает. Указанное обстоятельство выражают, говоря, что полюс служит асимптотической точкой гиперболической спирали.
Чтобы установить еще одно свойство гиперболической спирали, введем также прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс с полярной осью. Как мы знаем, для любой точки будет
Значит, для точек, лежащих на спирали (5), окажется
В следующей главе будет доказано, что по мере приближения 0 к нулю отношение стремится к 1. Но если приближается
к нулю, то согласно (5) точка будет уходить по спирали в бесконечность (так как будет безгранично возрастать). Таким образом, из (6) следует, что ордината у точки М, уходящей в бесконечность по гиперболической спирали, стремится к числу . Стало быть, прямая служит асимптотой спирали (5).
Вычисление площадей. Полярные координаты
Пусть из центра круга радиуса под углом (радианов!) проведены два радиуса. Площадь полученного таким образом сектора (рис. 223), как известно *), равна Этот результат позволяет решить следующую задачу: найти площадь сектора (уже не кругового!), ограниченного лучами и кривой (рис. 224). Именно, вырежем из нашего
сектора элементарный сектор, образованный лучами, наклоненными к полярной оси под углами (рис. 224). Если этот элементарный сектор принять за круговой**) [вырезанный из круга радиуса то его площадь согласно (5) будет Отсюда При использовании формулы надо заменять функцией входящей в уравнение .
Примеры с решением
Пример 1:
Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда (рис. 225). Решение:
Здесь Значит, Этому результату можно дать наглядную формулировку. Именно, точка А пересечения спирали с полярной осью имеет радиус-вектор Стало быть, круг радиуса ОА имеет площадь Из сопоставления этого равенства с (7) получается открытое еще Архимедом предложение: площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна у площади круга с радиусом, равным наибольшему из радиусов-векторов точек витка.
Пример 2:
Найти площадь F фигуры, ограниченной лемнискатой Решение:
Еще в первой главе было показано, что в полярных координатах наша лемниската имеет уравнение Лемниската симметрична относительно обеих осей, и та часть ее, которая расположена в первом координатном угле, лежит между лучами и Значит, площадь фигуры, ограниченной этой частью лемнискаты и осью (она заштрихована на рис. 226), равна
Отсюда
Полярная система координат — Википедия
Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости однозначно определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой декартовой, или прямоугольной, системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым лучом, или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат, или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r{\displaystyle r}) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ{\displaystyle \varphi }, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.[1]
Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.
История
Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном Гиппарх (190—120 гг до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел.[2]Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.
В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку[3]. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы[4].
Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»[5]. Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.
В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат[6]. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.
Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком[7][8] Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему[5].
Графическое представление
Точка в полярной системе координат.Каждая точка в полярной системе координат может быть определена двумя полярными координатами, что обычно называются r{\displaystyle r} (радиальная координата, встречается вариант обозначения ρ{\displaystyle \rho }) и φ{\displaystyle \varphi } (угловая координата, полярный угол, фазовый угол, азимут, позиционный угол, иногда пишут θ{\displaystyle \theta } или t{\displaystyle t}). Координата r{\displaystyle r} соответствует расстоянию от точки до центра, или полюса системы координат, а координата φ{\displaystyle \varphi } равна углу, отсчитываемого в направлении против часовой стрелки от луча через 0° (иногда называемому полярной осью системы координат)[1].
Полярный радиус определен для любой точки плоскости и всегда принимает неотрицательные значения r⩾0{\displaystyle r\geqslant 0}. Полярный угол φ{\displaystyle \varphi } определен для любой точки плоскости, за исключением полюса O{\displaystyle O}, и принимает значения −π<φ⩽π{\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }. Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:
- в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;
- в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.
Например, точка с координатами (3,60∘){\displaystyle (3,\;60^{\circ })} будет выглядеть на графике как точка на луче, который лежит под углом 60° к полярной оси, на расстоянии 3 единиц от полюса.{2}} (по теореме Пифагора).
Для определения угловой координаты φ{\displaystyle \varphi } следует принять во внимание два следующих соображения:
Для вычисления φ{\displaystyle \varphi } в интервале [0,2π){\displaystyle [0,\;2\pi )}, можно воспользоваться такими уравнениями (arctg{\displaystyle \mathrm {arctg} } обозначает обратную функцию к тангенсу):
- θ={arctg(yx),x>0,y≥0arctg(yx)+2π,x>0,y<0arctg(yx)+π,x<0π2,x=0,y>03π2,x=0,y<0−x=0,y=0{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}}
Для вычисления φ{\displaystyle \varphi } в интервале (−π,π]{\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}, можно воспользоваться такими уравнениями:[13]
- θ={arctg(yx),x>0arctg(yx)+π,x<0,y≥0arctg(yx)−π,x<0,y<0π2,x=0,y>0−π2,x=0,y<0−x=0,y=0{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}}
Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение y{\displaystyle y} к x{\displaystyle x}, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций помимо функции atan, определяющей арктангенс числа, ещё и дополнительную функцию atan2, которая имеет отдельные аргументы для числителя и знаменателя.{2}.}
18. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии
Наиболее важной после прямоугольной системы является полярная система координат.
Возьмем на плоскости точку , которая называется полюсом. Проведем из полюса направленную полупрямую , называемую полярной осью (рис.18). Пусть — произвольная точка плоскости. Соединим точку С полюсом Отрезком . Длина отрезка , т. е. расстояние точки от полюса, называется Полярным радиусом точки , а угол , отсчитываемый от полярной оси к отрезку Против движения часовой стрелки, Полярным углом.Полярный радиус и полярный угол и Составляют Полярные координаты точки , и записывается следующим образом .
Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.
Пусть полюс полярной системы совпадает в началом прямоугольной системы координат , а полярная ось является положительной полуосью (рис.19). Тогда для произвольной точки имеем:Считая угол острым, из прямоугольного находим
Или
Полученные формулы справедливы для любого угла и выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.
Выразим полярные координаты точки через прямоугольные координаты из того же прямоугольника
Или
Пример 1. Найти полярное уравнение прямой
Решение. Так как , то или . Это и есть уравнение данной прямой в полярных координатах.
Пример 2. Написать уравнение линии в полярных координатах.
Решение. Так как , а Подставим эти выражения в данное уравнение линии
или
Это уравнение данной линии в полярных координатах.
Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии в прямоугольных координатах, рассматривать параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат и в виде функций от некоторой переменной величины (параметра).
Пример 1. Выведем параметрическое уравнение окружности.
Решение. Пусть — произвольная точка окружности радиуса с центром в начале координат (рис.20). В прямоугольном треугольнике обозначим угол через . Будем иметь равенства
Или
(1)Это и есть параметрическое уравнение окружности.
Пример 2. Параметрическое уравнение эллиса.
Решение. Эллипс с полуосями и можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса , где коэффициент сжатия . Пусть — точка эллипса и — соответствующая точка окружности (рис.21), где
. (1)За параметр Примем угол, образованный радиусом окружности с положительным направлением оси : Используя формулы (1) имеем
Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями и есть
. (2)
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Полярная система координат
В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом theta, образуемым полярным радиусом с полярной осью. Если в декартовой системе координат предельно простое выражение y=kx определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме R=k*theta, уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. В цилиндрической системе к полярному радиусу и углу добавляется еще одна координата — z, которую можно интерпретировать как высоту точки над плоскостью, в которой вращается полярный радиус. Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы:
X=R* Cos (theta)
Y=R* Sin(theta)
Соответственно, для перехода от декартовой системы к полярной применяют формулу:
R=Sqr(X*X+Y*Y)
и угол вычисляется как Atn(Y/X) (если X не равен 0)
Фигуры в полярных координатах
Формулы кривых, записанных в полярной системе координат, вычисляются гораздо проще, чем в декартовой. Например, уравнение окружности с радиусом 0.9 вокруг точки отчета выглядит очень просто
R=0.9, что подразумевает следующие вычисления:
R*Cos(theta)
R*Sin(theta)
где угол theta изменяется от 0 до 2π радиан и определяет декартовы координаты X и Y окружности в полярной системе
Для объяснения вышесказанного приведем небольшой листинг программы, рисующей окружность:
Dim x As Single, y As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-2, 2)-(2, -2)
For I = 0 To twoPi Step 0.05
R = 0.9
x = R * Cos(I)
y = R * Sin(I)
PSet (x, y)
Next I
Полярные координаты позволяют рисовать намного более сложные и красивые фигуры. Например, можно нарисовать четырехлистный клевер. Его формула выглядит как R = Cos (2*theta), где угол theta меняется от 0 до 2π радиан (от 0 до 360 градусов)
Листинг для клевера
Dim x As Single, y As Single
Dim twoPi As Single, I As Single, R As Single
twoPi = Atn(1) * 8
Scale (-2, 2)-(2, -2)
For I = 0 To twoPi Step 0.01
R = Cos(2 * I)
x = R * Cos(I)
y = R * Sin(I)
PSet (x, y)
Next I
Для трехлистного цветка используйте формулу R = Cos (3*theta)
На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен.
Дельтоида
Астроида
Кардиоида
Лимакона (Улитка Паскаля)
Спираль Архимеда
Логарифмическая спираль
Кохлеоида
Строфоида
Freeth’s Nephroid
Овалы Кассини
Лемниската Бернулли
Окружность
Итак, формула R=a определяет обычную окружность, а коэффициент a влияет на ее радиус
«Пируэты» окружности
Возьмем теперь одну окружность и поместим ее внутрь другой. Все кривые, которые будет вычерчивать точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, будут относиться к семейству гипоциклоид (от греч. гипо — под, внизу и киклоидес — кругообразный). Как вы думаете, какую траекторию опишет точка окружности, которая катится внутри другой окружности? Как это ни странно звучит, но она может быть даже прямой! Для этого радиус внутренней окружности должен быть в два раза меньше радиуса внешней. Первым это заметил и описал Николай Коперник. Если же радиус внутренней окружности меньше радиуса большой окружности в три раза, то точка опишет кривую Штейнера (дельтоиду).
Уменьшив радиус теперь в четыре раза, мы получим астроиду
полярных координат | Ресурсы Wyzant
Когда мы имеем дело с некоторыми функциями, система, к которой мы привыкли, становится неудобно и хлопотно. Обычно мы используем прямоугольные координаты, то есть координаты использование осей x и y для построения точек и описания функций, но некоторые функции будет очень сложно, если мы попытаемся использовать эти координаты на декартовом графике.
Прежде чем рассматривать полярные координаты, важно понять функции синус , косинус и тангенс и как они используются для нахождения заданного угол в прямоугольном треугольнике, потому что мы будем делать эти вычисления довольно часто.
В полярных координатах мы описываем точки, используя их расстояние (r) от начало координат и угол (θ) от положительной горизонтальной оси. Аналогичный к координате x и y расстояние и угол называются радиусом и угловая координата .
Полярные координаты тогда записываются как (r, θ) .Происхождение теперь называется полюс, а ось x называется полярной осью, потому что каждый угол зависит от нее.
Измерение угла θ может быть выражено в радиан или градус . Если мы напомним из кругов в геометрии, радиан — это мера радиуса по окружности круга, а 2Π радиан — это сколько радиан нужно, чтобы обойти круг. Так же, 360 — это сколько градусов нужно, чтобы сделать полный круг.
(1) Точка, описываемая полярной координатой (3, Π / 4) , будет выглядеть как
Прямоугольные (или декартовы) координаты определяются в полярных координатах как
И наоборот, мы можем определить полярные координаты через x и y
Один из них должен показаться знакомым.Имеет смысл определить радиус в терминах x и y таким образом, потому что это то же самое, что и теорема Пифагора. Каждый r может быть выражен как гипотеза прямоугольного треугольника, образованного прямоугольными координатами.
(2) Прямоугольная координата (3,5) будет преобразована
Квадрант угла, а также знаки x и y могут определить, положительный или отрицательный.
Мы должны помнить, что знак радиуса переворачивает квадрант угла. Например, точка (2, Π / 6) совпадает с точкой (-2,7Π / 6)
Преобразование градусов и радианов
Угловое значение полярной координаты может быть выражено в градусах или радианах. Преобразование любого из них — это одноэтапный процесс, связанный с пропорциями.
Поскольку 360 градусов — это то же самое, что и длина 2pi в радианах, мы можем установить их равными и есть одна заданная тэта, а также та, для которой мы решаем.
Вот таблица общих угловых измерений в радианах и градусах. Через некоторое время, может быть полезно запомнить, какие общие градусы и радианы соответствуют друг другу.
Мы должны помнить, что существует бесконечное количество способов описать угол, потому что мы всегда можем добавить или вычесть 2 из угла, чтобы получить такое же измерение. Например
Полярные уравнения
(3) Построим график уравнения
Из этого уравнения видно, что наш радиус зависит от нашего ввода, то есть угла.Мы можем сделать диаграмму, похожую на диаграмму xy, и посмотреть, какие результаты мы получим.
Мы видим, что изображение образует плавный круг.
(4) Давайте попробуем преобразовать следующее уравнение из прямоугольной формы в полярную форму.
Мы можем переписать уравнение как
Это позволяет нам использовать равенства, дающие соотношение между полярными и прямоугольные координаты и подставьте их вместо x и y.
(5) Мы также можем преобразовать уравнения в полярной форме в прямоугольную
Мы можем умножить обе части на r и использовать равенства для замены
Мы можем закончить квадрат и получить уравнение для круга
Полярные, цилиндрические и сферические координаты
На нашей странице декартовых координат представлен простейший тип системы координат, в которой опорные оси ортогональны (под прямым углом) друг к другу.В большинстве повседневных приложений, таких как рисование графика или чтение карты, вы должны использовать принципы декартовых систем координат. В этих ситуациях точное уникальное положение каждой точки данных или ссылки на карту определяется парой координат (x, y) (или (x, y, z) в трех измерениях). Координаты — это «адрес» точки, ее расположение относительно известного положения, называемого исходной точкой , в двух- или трехмерной сетке на плоской поверхности или в прямоугольном трехмерном пространстве.
Однако в некоторых приложениях задействовано изогнутых, линий, поверхностей и пространств.Здесь декартовы координаты трудно использовать, и возникает необходимость использовать систему, полученную из круговых форм, таких как полярные, сферические или цилиндрические системы координат.
Почему важны полярные, сферические и цилиндрические координаты?
В повседневных ситуациях гораздо более вероятно, что вы встретите декартовы системы координат, чем полярные, сферические или цилиндрические. Однако двумерные полярные координаты и их трехмерные родственники используются в широком спектре приложений, от инженерии и авиации до компьютерной анимации и архитектуры.
Вам может потребоваться использовать полярные координаты в любом контексте, где существует круговая, сферическая или цилиндрическая симметрия в форме физического объекта или какое-либо круговое или орбитальное (колебательное) движение.
Что это значит?
Физически изогнутые формы или конструкции включают диски, цилиндры, шары или купола. Это может быть что угодно, от сосудов под давлением, содержащих сжиженные газы, до множества примеров купольных конструкций в древних и современных архитектурных шедеврах.
Физики и инженеры используют полярные координаты, когда они работают с криволинейной траекторией движущегося объекта (динамика), и когда это движение повторяется назад и вперед (колебания) или по кругу (вращение). Примеры включают орбитальное движение, такое как движение планет и спутников, качающийся маятник или механическая вибрация. В электрическом контексте полярные координаты используются при разработке приложений, использующих переменный ток; аудиотехники используют их для описания «зоны приема микрофонов»; и они используются при анализе температуры и магнитных полей.
Акцент на разведку
Пожалуй, наиболее распространенное использование в повседневном контексте — это навигация. На протяжении всей истории исследователи полагались на понимание полярных координат.
Корабли и самолеты осуществляют навигацию с использованием компасов, которые указывают направление движения (известное как курс ) относительно известного направления, которым является магнитный север. Курс измеряется как угол относительно севера (0 °), по часовой стрелке вокруг компаса, поэтому на восток — 90 °, юг — 180 ° и запад — 270 °.
СпутникиGPS могут определять местоположение судна с большой точностью в современном мире, но даже сейчас морякам и авиаторам необходимо понимать принципы классической навигации.
Как определяются полярные, сферические и цилиндрические координаты?
В этих и многих других случаях более уместно использовать измерение расстояния вдоль линии, ориентированной в радиальном направлении (с началом в центре круга, сферы или дуги) в сочетании с углом поворота, чем использовать ортогональную (декартову) систему координат.
Затем можно использовать тригонометриюдля преобразования между двумя типами системы координат. Чтобы узнать больше об этом и теории, лежащей в основе этого, взгляните на наши страницы, посвященные изогнутым формам , , трехмерным формам , и тригонометрии , .
Полярные координаты
В математических приложениях, где необходимо использовать полярные координаты, любая точка на плоскости определяется ее радиальным расстоянием \ (r \) от начала координат (центр кривизны или известное положение) и углом theta \ (\ theta \) (измеряется в радианах).2 \ quad \ text {and} \ quad \ tan \ theta = \ frac {y} {x} $$
И обратно:
$$ x = r \ cos \ theta \ quad \ text {and} \ quad y = r \ sin \ theta $$
Сферические и цилиндрические системы координат
Эти системы являются трехмерными родственниками двумерной полярной системы координат.
Цилиндрические координаты более понятны, чем сферические, и похожи на трехмерную декартову систему (x, y, z).2, \ quad \ tan \ theta = \ frac {y} {x} \ quad \ text {и} \ quad z = z $$
$$ x = r \ cos \ theta, \ quad y = r \ sin \ theta \ quad \ text {and} \ quad z = z $$
Поверхностей в цилиндрической системе:
- Если вы сделаете \ (z \) константой, у вас будет плоская круговая плоскость.
- Если вы сделаете \ (\ theta \) константой, у вас будет вертикальная плоскость.
- Если вы сделаете \ (r \) постоянным, у вас будет цилиндрическая поверхность.
Сферическая система координат более сложна.Маловероятно, что вы столкнетесь с ним в повседневных ситуациях. Он в основном используется в сложных научных и инженерных приложениях. Например, электрическое и гравитационное поля демонстрируют сферическую симметрию.
Сферические координаты определяют положение точки тремя координатами rho ( \ (\ rho \) ), theta (\ (\ theta \)) и phi (\ (\ phi \)).
\ (\ rho \) — это расстояние от начала координат (аналогично \ (r \) в полярных координатах), \ (\ theta \) — это то же самое, что угол в полярных координатах, а \ (\ phi \) — это угол между осью \ (z \) и линией от начала координат до точки.2}} {z} $$
Поверхностей в сферической системе:
- Если вы сделаете \ (\ rho \) константой, у вас будет сфера.
- Если вы сделаете \ (\ theta \) константой, у вас будет вертикальная плоскость.
- Если вы сделаете \ (\ phi \) константой, у вас будет горизонтальная плоскость (или конус).
Широта и долгота, карты и навигация
Самым известным применением сферических координат является система широты и долготы, которая делит поверхность Земли на сетку для целей навигации.Расстояния между линиями сетки измеряются не в милях или километрах, а в градусах и минутах.
Линии широты — это горизонтальные срезы земного шара. Срез на экваторе находится на широте 0 °, а полюса — на ± 90 °. Эти линии называются параллелями.
Линии долготы похожи на клинья апельсина, измеренные радиально от вертикальной линии симметрии, соединяющей полюса. Эти линии называются меридианами. Базовая линия 0 ° долготы известна как Гринвичский меридиан, который проходит через Королевскую обсерваторию в Гринвиче, Лондон.
Однако, чтобы использовать эту трехмерную систему для навигации, изогнутая сетка должна быть перенесена на плоские «карты» (карты береговых линий и дна океана для моряков) с помощью проекции . Таким образом, диаграммы могут использоваться как обычные карты с системой ортогональной сетки, и могут применяться правила декартовых координат.
Сначала представьте, что лист бумаги оборачивается вокруг земного шара, образуя цилиндр. Изображение на схеме проецируется из трехмерной сферы на двухмерный лист бумаги.Это особый метод, используемый картографами под названием Mercator Projection .
Линии сетки на морской карте по-прежнему указываются в градусах и минутах, а расстояния измеряются в морских милях. Одна морская миля равна одной минуте широты.
Заключение
Маловероятно, что вам понадобится использовать полярные или сферические координаты, если вы не работаете в роли, которая специально этого требует, но полезно знать, что это такое и как они используются.
Также интересно понять, как карту трехмерной формы, такой как земной шар, можно преобразовать в плоские карты, которые позволяли морякам путешествовать по миру на протяжении сотен лет.
10,3 Районы в полярных координатах
Мы можем использовать уравнение кривой в полярных координатах для вычисления некоторые области, ограниченные такими кривыми. Базовый подход такой же, как и в любом приложении интеграции: найти приближение, которое приближается к истинному значению.2 \ theta-4 \; d \ theta = {4 \ over3} \ pi + 2 \ sqrt {3}. $$
Рисунок 10.3.2. Область между кривыми.
Этот пример делает процесс более простым, чем он является. Поскольку точки имеют много разных представлений в полярном координаты, не всегда так просто определить точки пересечение.
Пример 10.3.3 Находим заштрихованную область на первом графике рисунок 10.3.3 как разница двух других затененных областей. Кардиоида равна $ r = 1 + \ sin \ theta $ и круг равен $ r = 3 \ sin \ theta $.Пытаемся найти точки пересечения: $$ \ eqalign { 1+ \ грех \ тета & = 3 \ грех \ тета \ cr 1 & = 2 \ грех \ тета \ cr 1/2 & = \ sin \ theta. \ Cr} $$ У этого есть решения $ \ theta = \ pi / 6 $ и $ 5 \ pi / 6 $; $ \ pi / 6 $ соответствует пересечение в первом квадранте, которое нам нужно. Обратите внимание, что нет решение этого уравнения соответствует точке пересечения на происхождение, но, к счастью, это очевидно. Кардиоида проходит происхождение, когда $ \ theta = — \ pi / 2 $; круг проходит через начало координат в кратные $ \ pi $, начиная с $ 0 $.2 \; d \ theta = {3 \ pi \ over8} — {9 \ over16} \ sqrt {3} $$ поэтому область, которую мы ищем, равна $ \ pi / 8 $.
Рисунок 10.3.3. Область между кривыми.
Упражнения 10.3
Найдите площадь, ограниченную кривой.
Пример 10.3.1 $ \ ds r = \ sqrt {\ sin \ theta} $ (ответ)
Пр. 10.3.2 $ \ ds r = 2 + \ cos \ theta $ (ответ)
Пример 10.3.3 $ \ ds r = \ sec \ theta, \ pi / 6 \ le \ theta \ le \ pi / 3 $ (ответ)
Пример 10.3.4 $ \ ds r = \ cos \ theta, 0 \ le \ theta \ le \ pi / 3 $ (ответ)
Пр. 10.2 = \ cos (2 \ theta) $. (ответ)
Пример 10.3.13 Найдите область, заключенную в $ r = \ tan \ theta $ и $ \ ds r = {\ csc \ theta \ over \ sqrt2} $. (ответ)
Пр. 10.3.14 Найдите область внутри $ r = 2 \ cos \ theta $ и снаружи $ г = 1 $. (ответ)
Пр. 10.3.15 Найдите область внутри $ r = 2 \ sin \ theta $ и выше линия $ r = (3/2) \ csc \ theta $. (ответ)
Пример 10.3.16 Найдите область внутри $ r = \ theta $, $ 0 \ le \ theta \ le2 \ pi $. (ответ)
Пр. 10.3,17 Найдите область внутри $ \ ds r = \ sqrt {\ theta} $, $ 0 \ le \ theta \ le2 \ pi $. (ответ)
Пр. 10.3.18 Найдите площадь внутри $ \ ds r = \ sqrt3 \ cos \ theta $ и $ r = \ sin \ theta $. (ответ)
Пр. 10.3.19 Найдите площадь внутри обоих $ r = 1- \ cos \ theta $ и $ r = \ cos \ theta $. (ответ)
Пример 10.3.20 Центр круга радиуса 1 находится на окружность круга радиуса 2. Найдите площадь области внутри обоих кругов. (ответ)
Пр. 10.3,21 Найдите заштрихованную область на рисунке 10.3.4. Кривая — это $ r = \ theta $, $ 0 \ le \ theta \ le3 \ pi $. (ответ)
Рисунок 10.3.4. Область, ограниченная спиралью Архимеда.
[из прямоугольного в полярный, из полярного в прямоугольный]
Вот как выглядит калькулятор полярных координат G-Wizard:
Бесплатный калькулятор полярных координат G-Wizard…
Как видите, калькулятор от полярной до прямоугольной — это лишь один из ряда полезных калькуляторов, включенных в программное обеспечение и бесплатных для вас.
Загрузите наш калькулятор G-Wizard, чтобы получить бесплатный калькулятор полярных координат. Вы можете использовать этот калькулятор (и многие другие) в G-Wizard на всю жизнь, просто подписавшись на нашу 30-дневную пробную версию. Совершенно верно — большинство калькуляторов можно будет использовать после истечения пробного периода.
Чтобы зарегистрироваться, просто посетите страницу G-Wizard или нажмите эту кнопку:
Получите бесплатную пробную версию G-Wizard!
Математика преобразования полярных координат в прямоугольные
Преобразовать полярные координаты в прямоугольные (также называемые декартовыми) очень просто.См. Эту схему:
Переменные, используемые при преобразовании полярных координат в прямоугольные…
Переменные, используемые при преобразовании полярных координат в прямоугольные:
x : координата оси X
y : координата оси Y
r : радиус или расстояние на полярном векторе
Theta (греческий символ): угол от оси X против часовой стрелки
Уравнение для преобразования полярных координат в прямоугольные
Учитывая r и Theta, мы можем найти x и y для преобразования из полярных в прямоугольные координаты следующим образом:
x = r Cos (тета)
y = r Sin (тета)
Уравнение для преобразования прямоугольных координат в полярные
Если мы знаем x и y, мы можем найти r и Theta для преобразования из прямоугольных координат в полярные следующим образом:
г = КОРЕНЬ (х * х + у * у)
Тета = arctan (y / x)
Видео о преобразовании с помощью ручного калькулятора
Применение полярных координат к ЧПУ и окружности болтов
Программирование станка с ЧПУ в полярных координатах может упростить множество проблем.Возьмем, к примеру, болтовые круги. Это очень просто сделать в полярных координатах. Радиус круга — это полярный радиус. А угол между отверстиями составляет всего 360 градусов, разделенных на количество отверстий.
Если вы хотите запрограммировать окружность болта непосредственно в полярных координатах или использовать калькулятор полярных координат, подобный этому, чтобы получить нормальные декартовы (прямоугольные) координаты, окружность болта намного проще, когда это делается таким образом.
Подробнее о программировании g-кода в полярных координатах читайте в нашей статье:
Прочие ресурсы
— Более подробная информация, примеры и тест по преобразованию прямоугольного изображения в полярное
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||