Разное

Эллипс в аксонометрии: Как построить эллипс в изометрии

Содержание

Как построить эллипс в изометрии

Эллипс – это изометрическая проекция окружности. Овал строят по точкам и обводят по лекалам или фигурным линейкам. Проще всего построить эллипс в изометрии, вписав фигуру в ромб, иначе изометрическую проекцию квадрата.Вам понадобится

Рассмотрим, как построить эллипс в , лежащий в горизонтальной плоскости. Постройте перпендикулярные оси X и Y. Точку пересечения обозначьте O.

От точки O отложите на осях отрезки, равные радиусу окружности. Обозначенные точки обозначьте цифрами 1, 2, 3, 4. Через эти точки проведите параллельные осям прямые.

От точки O отложите на осях отрезки, равные радиусу окружности. Обозначенные точки обозначьте цифрами 1, 2, 3, 4. Через эти точки проведите параллельные осям прямые.

Проведите дугу из вершины тупого угла, соединив точки 1 и 4. Аналогично соедините точки 2 и 3, проведя дугу из вершины D. Соедините точки 1,2 и 3,4 из центров малых дуг. Таким образом построен эллипс в изометрии, вписанный в ромб.

Второй способ построить эллипс в изометрии заключается в отображении окружности с коэффициентом искажения. Начертите оси X и Y, из точки O проведите две вспомогательные окружности. Диаметр внутренней окружности равен малой оси эллипса, внешней – большой оси.

В одной четверти постройте вспомогательные лучи, исходящие из центра эллипса. Количество лучей произвольное, чем больше, тем точнее чертеж. В нашем случае достаточно будет трех вспомогательных лучей.

Получите дополнительные точки эллипса. Из точки пересечения луча с малой окружностью проведите горизонтальную линию параллельную оси X в сторону внешней окружности. Из верхней точки, лежащей на пересечении луча и большой окружности, опустите перпендикуляр.

Полученную точку обозначьте цифрой 2. Повторите операции по нахождению 3 и 4 точек эллипса. Точка 1 находится на пересечении оси Y и малой окружности, точка 5 на оси X в месте прохождения внешней окружности.

Проведите кривую через полученные 5 точек эллипса. В точках 1 и 5 кривая строго пропорциональна осям. Проведите аналогичные построения эллипса в изометрии на оставшихся ¾ чертежа.

11.3. Окружность в аксонометрии

Построение аксонометрических проекций предметов, форма которых имеет поверхность вращения, невозможно без изображения аксонометрической проекции окружности. Аксонометрическая проекция окружности представляет собой замкнутую кривую линию, для удобства построения которой иногда применяют способ сетки. В этом случае окружность делят на определенное количество частей, строят сетку и вписывают эллипс (рис. 147).

Рис. 147. Аксонометрическая проекция окружности

Данный способ используется для всех видов аксонометрических проекций, где окружность проецируется с искажением. Однако там, где это возможно, в аксонометрических проекциях эллипс заменяют овалом. Овалом называется кривая линия, по начертанию похожая на эллипс, но выстроенная с помощью циркуля.

Рассмотрим построение окружности в прямоугольной изометрии. Основное требование к построению аксонометрических проекций окружностей следующее: направление большой оси эллипсов определяется как перпендикуляр к той оси координат, которой нет в плоскости окружности.

Так, в координатной плоскости П1 большая ось эллипса перпендикулярна оси z’, в плоскости П2 перпендикулярна оси y’, в плоскости П3 перпендикулярна оси x’ (рис. 148).

Рис. 148. Аксонометрические проекции окружности

В целях упрощения построений эллипсы могут быть заменены овалами, состоящими из дуг окружностей. В прямоугольной изометрии форма овалов будет одинакова для всех трех координатных плоскостей

проекций. При выполнении прямоугольной изометрии без искажения по осям x, y и z, согласно ГОСТ 2.317—69 большая ось эллипсов равна 1,22, малая ось эллипсов — 0,71 диаметра заданной окружности.

Приведем пример построения овала без вычисления размеров большой и малой осей. Направление большой оси определяется исходя из вышеназванного требования, в нашем примере — перпендикулярно координатной оси z’. Очерчивается окружность заданного радиуса. Через центр окружности проводятся прямые, параллельные координатным осям x’ и y’. Пересечением этих прямых с очерком окружности являются точки сопряжения дуг овала.

Из построений определяются: центры большой (01) и малой ( 01′ ) дуг овала, радиус большой R и малой r дуг

овала (рис. 149).

Рис. 149. Построение овала в прямоугольной изометрии

11.4. Аксонометрические проекции геометрических тел

Построение аксонометрических проекций геометрических тел рекомендуется начинать с построения аксонометрических проекций их оснований, к которым выстраивают изображение других элементов геометрических тел (ребер, граней, оснований, образующих). На рис. 150 показано построение в прямоугольной изометрии аксонометрического изображения правильной прямой шестигранной призмы согласно предложенному чертежу в двух проекциях.

Оси аксонометрии проводят по нижнему основанию призмы. Строят вторичную проекцию основания. Затем на вертикальных прямых от каждой вершины откладывают высоту призмы, получая вершины верхнего основания. Соединяют полученные точки и получают верхнее основание призмы.

На рис. 151 дано построение в прямоугольной изометрии аксонометрического изображения правильной прямой шестигранной пирамиды. Вначале строят вторичную проекцию ее основания. Затем от центра основания, через которое проходят оси аксонометрии, проводят вертикальную прямую и на ней откладывают высоту пирамиды согласно предложенному чертежу в двух проекциях.

Рис. 150. Аксонометрическая проекция призмы

Рис. 151. Аксонометрическая проекция пирамиды

На рис. 152 дано построение в прямоугольной изометрии аксонометрического изображения прямого кругового конуса. Вначале строят вторичную проекцию основания конуса в виде эллипса (овал). Затем от

169

центра основания, через которое проходят оси аксонометрии, проводят вертикальную прямую и на ней откладывают высоту конуса согласно предложенному чертежу в двух проекциях.

Рис. 152. Аксонометрическая проекция конуса

На рис. 153 показано построение в прямоугольной изометрии аксонометрического изображения прямого кругового цилиндра с вырезами.

Рис. 153. Аксонометрическая проекция цилиндра с вырезами

ПОСТРОЕНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ ОКРУЖНОСТЕЙ

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана


Номер: 3-3

Год: 2017

Страницы: 41-45

Журнал: Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук
Ключевые слова

окружность, аксонометрическая проекция, эллипс, плоскость общего положения, ортогональная система координат, ось, circle, perspective view, ellipse, generic plane orthogonal coordinate system, axis

Аннотация к статье

В статье изложен способ построения аксонометрической проекции окружности, расположенной в плоскости общего положения по отношению к плоскостям, образованным аксонометрическими осями. Приведен пример построения эллипса — проекции окружности для проецирующей плоскости, который без принципиальных изменений может быть распространен и для условий плоскости общего положения. Предлагаемая статья может быть рекомендована для студентов, углубленно изучающих курсы начертательной геометрии и инженерной графики, а также может быть полезна для слушателей факультета повышения квалификации и начинающих молодых преподавателей в качестве вспомогательного материала в работе со студентами.

Текст научной статьи

Введение В теоретическом аспекте вопрос построения аксонометрической проекции окружности рассмотрен в полном объеме в учебной литературе [1, 234-258; 2, 203-216; 3, 190-200; 4, 300-315; 5, 132-147; 6, 46-48]. В настоящей работе приведены практические приемы построения аксонометрических проекций окружностей, расположенных в плоскостях общего положения. В общем случае окружность проецируется на аксонометрическую плоскость в эллипс, большая ось которого есть проекция диаметра, параллельного аксонометрической плоскости. Аксонометрия любой окружности может быть выполнена как эллипс, проведенный через несколько аксонометрических проекций точек, заданной окружности, каждая из которых найдена по координатной ломанной, соответствующей этой точке.

Применение этого универсального способа ограничено большим объемом построений и весьма низким итоговым сходством. Если окружность параллельна аксонометрической плоскости, то ее аксонометрическая проекция — конгруэнтная ей окружность. Этот частный случай применяют в косоугольных диметрических аксонометриях, в которых одну из плоскостей ортогональной системы координат располагают параллельно аксонометрической плоскости. Если плоскость, проходящая через окружность, перпендикулярна аксонометрической плоскости, то проекция окружности — это отрезок прямой, равный по величине диаметру. Таких случаев надо избегать, так как это снижает наглядность изображения [6, 46-48]. Построение аксонометрических проекций окружностей, расположенных в плоскостях ортогональной системы координат или параллельных им, для прямоугольных и косоугольных аксонометрических проекций приведено в ГОСТ 2.317-69 «Аксонометрические проекции». Для окружности, размещенной в плоскости общего положения [1, 234-258], построение эллипса начинают с определения направления малой оси, которое совпадает с проекцией перпендикуляра к плоскости окружности, проходящего через центр окружности, на аксонометрическую плоскость.
Длину малой полуоси получают как проекцию радиуса, выходящего из центра окружности по тому же перпендикуляру. Большая ось эллипса перпендикулярна малой оси и равна диаметру окружности. Рассмотрим другой способ построения аксонометрической проекции окружности, когда она расположена в плоскости, непараллельной плоскостям ортогональной системы координат. Аксонометрию окружности будем строить, предварительно вписав ее в квадрат. Пример построения приведен на рис. 1, 2 для условий прямоугольной изометрической проекции (направление проецирования перпендикулярно аксонометрической плоскости и коэффициенты искажения по осям X, Y, Z равны между собой и равны единице). Рис. 1. Построение аксонометрии окружности, лежащей в плоскости, непараллельной плоскостям ортогональной системы координат (исходный комплексный чертеж) Рис. 2. Построение аксонометрии окружности, лежащей в плоскости, непараллельной плоскостям ортогональной системы координат (аксонометрическая проекция) Совместим оси ортогональной системы координат с осями проекций комплексного чертежа, окружность n разместим во фронтально-проецирующей плоскости.
Вокруг окружности опишем квадрат 1-2-3-4 (рис. 1). Построения на рис. 2 выполнены по исходным данным из рис. 1. Аксонометрическая проекция квадрата — параллелограмм 11-21-31-41 (рис. 2). Изображение параллелограмма выполнено через равенство координат для точек комплексного чертежа и их аксонометрий (kx=ky=kz=1). Разделив стороны параллелограмма пополам, получаем четыре точки эллипса, и, в первом приближении, он может быть проведен через эти точки, а также условию касания со сторонами параллелограмма в этих точках и известному виду этой кривой второго порядка. Для построения промежуточных точек может быть применена схема (рис. 3), когда за исходные данные принимают сопряженные диаметры. При проецировании окружности в эллипс (при сжатии окружности) два перпендикулярных в планиметрии диаметра отображаются в два диаметра эллипса, которые называют сопряженными. Рис. 3. Построение эллипса по заданным сопряженным диаметрам Полустороны параллелограмма 21А1; А111 в указанной последовательности делим точками 1′; 2′; 3′; 1»; 2»; 3» на равные отрезки.
Также равные отрезки Е13»’; 3»’2»’; 2»’1»’; 1»’D1 создаем на половине сопряженного диаметра. Точки эллипса расположены в пересечении лучей, выходящих из B1; D1, и проведенных через точки деления с одинаковыми номерами, как это показано на рис. 3. В аксонометрических проекциях, при «ручном» построении эллипса, лекальную кривую заменяют четырехцентровым овалом, состоящим из четырех последовательно сопряженных дуг окружностей. Для нашего случая по известным аксонометрическим проекциям сопряженных диаметров А1С1 и B1D1 определяют направление и длины большой, и малой осей эллипса [4, 300-315]. Эти данные исходные и достаточные для построения овала. Для окружностей, расположенных в плоскостях общего положения по отношению к плоскостям определяемых аксонометрическими осями, без каких-либо существенных изменений, применим вышеизложенный способ построения аксонометрических проекций окружности, принадлежащей проецирующей плоскости. Далее рассмотрим способ построения эллипса — аксонометрической проекции окружности по восьми точкам.
Этот способ целесообразно применять, когда диаметр окружности менее 15-20 мм. В комплексном чертеже заключаем окружность в квадрат (рис. 1) и строим его аксонометрическую проекцию — ромб или параллелограмм (рис. 4). Рис. 4. Построение эллипса по восьми точкам В пересечении диагоналей находим центр эллипса и через эту точку проводим прямые, параллельные сторонам четырехугольника, на которых расположены точки эллипса А1B1C1D1. Любую половину стороны четырехугольника принимаем за гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника KMN. Катет треугольника KM откладываем как показано на рис. 3 по стороне четырехугольника. От полученных засечек проводим прямые, параллельные A1C1 и в пересечении с диагоналями находим еще четыре точки эллипса E1F1G1h2. Через эти точки, дополнительно используя условия касания, «от руки» дорисовываем эллипс. Дополнительные касательные, проходящие через точки E1, F1, G1, h2, параллельны диагоналям. Эллипс — плавная монотонная кривая (нет точек излома и скачков изменения радиуса кривизны) с центром симметрии и двумя осями симметрии. Правомерность таких построений может быть доказана из условий параллельного проецирования [5, 132-147]. Если в заданной детали четыре и более одинаковых окружностей малого диаметра, то оправдано изготовление шаблона, который затем с помощью двух булавок фиксируют в нужных местах чертежа и обводят. В качестве материала шаблона подходит картон. Для прямоугольной изометрической проекции при выполнении малых эллипсов допускается применение готовых промышленных трафаретов с отверстиями в форме эллипсов. Выводы Предложенный способ построения аксонометрической проекции окружности, принадлежащей плоскости общего положения, прост и универсален, не требует знания дополнительных специфических приемов, обеспечивает необходимую точность, кроме того, во всех случаях возможна замена эллипса на четырехцентровой овал.

Начертательная геометрия

13.4.1. Построение эллипсов по восьми точкам

Построение эллипса как аксонометрической проекции окружности начинается с определения положения центра и направления большой и малой осей эллипса. Размеры большой и малой осей рассчитывают или определяют графически и откладывают на чертеже A’B’ большая ось, C’D’ – малая. Затем через центр эллипса проводят вспомогательные прямые в направлении аксонометрических осей. В изометрии в направлении осей откладывается натуральный диаметр окружности 1-2 и 3-4. Полученные восемь точек соединяют плавной лекальной кривой. Построение изометрического эллипса по восьми точкам показано на рис. 171.

А’В’=1,22d – большая ось эллипса; С’D’=0,7d – малая ось эллипса; 1′-2′ – размер по оси x, равный диаметру окружности d; 3′-4′ – размер по оси y, равный диаметру окружности d

При построении диметрических эллипсов учитывается коэффициент искажения 0,5 направлении оси y. Построение диметрических эллипсов по восьми точкам показано на рис. 172.

а – для окружностей в плоскостях П1(xOy) и П3(zOy): БОЭ= 1,06d –большая ось эллипса; МОЭ= 0,35d –малая ось эллипса; 1′-2’=d –размер по оси x; 3′-4’=0,5d –размер по оси у; б – для окружностей в плоскости П2(xOz): БОЭ=1,06d –большая ось эллипса; МОЭ=0,94d –малая ось эллипса; 1′-2’=d –размер по оси x; 3′-4’=d –размер по оси z

Если восьми точек недостаточно, эллипс можно построить по двум осям (рис. 173). Этот способ можно применять и для построения эллипсов с произвольными размерами осей, например, для построения проекций окружности, лежащей в проецирующей плоскости.

Рис. 173. Построение эллипса по двум осям: A’B’– большая ось эллипса; С’D’ – малая ось эллипса

Строят две окружности с диаметрами, равными большой и малой оси эллипса, и делят их радиальными отрезками на n частей. Затем из каждой точки пересечения большой окружности проводят вертикальные отрезки в сторону большой оси, а из точек пересечения с малой окружностью – горизонтальные отрезки в сторону от малой оси. Точки пересечения отрезков и являются точками эллипса. Полученные точки соединяют плавной лекальной кривой.

Аксонометрические проекции окружности

Аксонометрические проекции окружностей

Конспект урока

по черчению

8 класс

Окружность в аксонометрии

Фронтальная диметрическая проекция

Z

V

W

НЕТ

X

H

НЕТ

Y

Слайд 1

Построение фронтальной диметрической проекции детали

с цилиндрическим отверстием по чертежу.

Даны два вида детали:

Слайд 2

Пользуясь осями x, y, z, строят тонкими линиями очертания внешней формы детали.

Находят центр отверстия на передней грани. Через него параллельно оси y проводят ось отверстия и откладывают на ней половину толщины детали.

Получают центр отверстия, расположенный на задней грани.

Слайд 3

Из полученных точек как из центров проводят окружности, диаметр которых равен диаметру отверстия.

Слайд 4

Удаляют лишние линии и обводят видимый контур детали.

Слайд 5

Изометрические проекции окружностей

Изометрической проекцией окружности является эллипс. В практике черчения вместо него строят овал.

Овал – замкнутая кривая, очерченная дугами окружностей.

Овал удобно строить, вписывая в ромб, который является изометрической проекцией квадрата.

Изометрическая проекция

Z

X

y

Окружность:

Окружности в изометрии изображаются в виде эллипсов.

Для упрощения работы эллипсы заменяют овалами, вписанными в ромб со стороной, равной диаметру заданной окружности. Для этого на осях (например x и y) откладывают от точки О в четырех направлениях отрезки, равные радиусу изображаемой окружности.

Через полученные точки a, b, c, d проводят прямые, образующие ромб. Из точек А и В проводят дуги радиусом R между точками a и b, c и d.

Точки C и D являются центрами малых дуг, сопрягающих большие. Малые дуги описывают радиусом R1.

Аналогично строят овалы на осях z и x, z и y.

Содержание

Слайд 6

Изображение в изометрической проекции окружностей, вписанных в куб.

Задание: 1. Начертите оси изометрии (оси проходят под углом 30* к линии горизонта)

2.Начертите квадрат в изометрии (сторона квадрата 80 мм) 3. Найдите точки сопряжения дуг (точки пересечения осей и сторон квадрата- а,b,c,d) 4. Найдите центры больших дуг (А,В)

5.Из вершин А и В проводят дуги радиусом R=Ас=Аd=Ва=Вb

6 Соедините точки B и b, В и а, 7. Найдите центры D и С малых дуг

8. Радиусом r =Db=Dc=Ca=Cd проведите дуги. 9. У вас получился овал — замкнутая кривая, очерченная дугами окружностей.

10.Начертите куб в изометрической проекции и впишите в каждый ромб овал

11. Начертите геометрическое тело — цилиндр

Проверь себя.

  • Как называется окружность выполненная в осях изометрии?
  • Как называется геометрическая фигура при вычерчивании квадрата в осях изометрии?
  • Сколько центров надо найти при вычерчивании овала?
  • Чем на чертеже являются точки a, b, с, d?

Слайд 7

Построение овала, вписанного в ромб

ас = bd = диаметру окружности

Вначале строят ромб со стороной, равной диаметру изображаемой окружности. Для этого через точку О проводят изометрические оси x и y .

На них от точки О откладывают отрезки, равные радиусу изображаемой окружности. Через точки а, b, с, d проводят прямые параллельные осям; получают ромб.

Большая ось овала располагается на большой диагонали ромба.

Слайд 8

Построение овала, вписанного в ромб

R = Вb = Аd

После этого вписывают в ромб овал. Для этого из вершин тупых углов ( точек А и В ) описывают дуги.

Их радиус R равен расстоянию от вершины тупого угла ( точек А и В ) до  точек а, b или с,d соответственно.

Слайд 9

Построение овала, вписанного в ромб

R = Сa = Db

Через точки B и a , B и b проводят прямые. В пересечении прямых Ba и Вb с большей диагональю ромба находятся точки C и D . Эти точки будут центрами малых дуг. Их радиус R , равен Сa (или Db ).

Дугами этого радиуса плавно соединяют большие дуги овала.

Слайд 10

Задание на дом .

  • Повторить последовательность построения овала.
  • Построить овалы во фронтальной и профильной плоскостях.

Мы рассмотрели построение овала лежащего в плоскости перпендикулярной оси z (овал 1).

Овалы, находящиеся в плоскостях, перпендикулярных оси y (овал 2) и оси x (овал 3), строят также.

Как начертить круг в изометрии? | Рутвет

  1. Изображение изометрической проекции
  2. Как чертить круг в изометрии?
  3. Круг в изометрии: построение

В первую очередь, необходимо на достаточном для понимания сути уровне разобраться в том, как строить саму изометрию – то есть метрическое плоское пространство. Начинать нужно с самых основ, связанных с работой с изометрическими проекциями и плоскостями. Они включают в себя построение простейших и обычных плоских линий, лишь после освоения которых можно переходить к изучению форм. Вполне естественно, что без знания азов ни у кого не выйдет перескочить сразу к различным цилиндрическим формам, ведь проблема возникнет сразу же на этапе построения таких более сложных по сравнению с линиями фигур, как квадрат, а затем и круг в изометрии. Многие выдвигают такую точку зрения, что именно окружность является одной из наиболее проблематичных для изображения в проекции среди всех плоских фигур.

Изображение изометрической проекции

Сама суть проекции состоит в том, что какой-либо существующий трехмерный объект или фигура отображается на изометрической плоскости, при этом сохраняется отношение длины спроектированных отрезков к действительной длине. Другими словами, коэффициент искажения остается неизменным по всем трем осям. Этим и отличается изометрическая проекция, так как только при ней все имеющиеся масштабы остаются одинаковыми.

Изометрическая проекция возможна при соблюдении условия, чтобы углы между осями проекции были одинаковыми и равны 120 градусам. У подобной проекции есть достоинство, благодаря чему ее так часто используют в различных чертежах и проектах. Причина кроется в том, что при изменении расстояния сами отражаемые объекты при этом не кажутся меньше или больше, чем они есть на самом деле.

Однако у изометрических проекций существуют и свои недостатки. Так, например, если на рисунке отсутствуют обозначающие тени на разных сторонах, то будет крайне сложно определить, какая из сторон фигуры на данный момент находится к нам ближе и, собственно, наблюдается. Кроме того, будет проблематично понять, где у объекта располагаются верхняя и нижняя грань, из-за наличия двух крайне схожих проекций, равных по площади и размерам.

Смотрите видео об окружности в изометрии.