Экстремум локальный и глобальный: 06.1. Точки локального и глобального экстремума

§ 8.3. Глобальные экстремумы функции

Рассмотрим функцию , которая задана на замкнутом множестве. Точканазывается точкойглобального максимума или наибольшим значением функции на множестве , если .

Если же , то точка называется точкойглобального минимума или наименьшим значением функции на множестве .

Точка называется точкойглобального экстремума функции на множестве, если точкаявляется глобальным минимумом или глобальным максимумом функциина множестве.

Если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве , то из теоремы Вейерштрасса следует, что во множественайдутся точки глобального максимума и минимума функции.

Точки глобального экстремума функции могут быть внутренними точками множества или принадлежать границе множества. Если точка глобального экстремума является внутренней, то она является локальным экстремумом функции.

Отсюда вытекает алгоритм отыскания глобальных экстремумов функции на множестве :

1. Во множестве найти все критические точки функции, а также точки, в которых функция не дифференцируема.

2. Найти все точки, в которых функция может принимать наибольшее и наименьшее значения на границе множества .

3. Вычислить значения функции в точках, найденных в пунктах 1 и 2.

4. Среди значений, найденных в пункте 3, выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Примеры

1. Найти глобальный экстремум функции на множестве.

Решение. Множество является ограниченным, таки. Из теоремы 4.9. вытекает, чтоявляется замкнутым множеством. Следовательно функцияна множествеимеет глобальный минимум и максимум. Множествопредставляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой(рис. 8.7).

Рис.8.7.

Найдем критические точки функции . Так как

, ,

то функция имеет единственную критическую точку, которая принадлежит множеству.

Исследуем функцию на отрезке ,. Подставляяв выражение для функции, получим. Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке. Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и.

Исследуем функцию на отрезке ,. Подставляяв выражение для функции, получим. Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке. Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и.

Исследуем функцию на отрезке ,. Подставляяв выражение для функции, получим

.

Функция принимает наименьшее и наибольшее значение на концах отрезка и в критической точке . Отсюда следует, что на отрезке,функция принимает наименьшее и наибольшее значение только в точках

, и.

В таблице 8.1 приведены значения функции во всех найденных точках.

Таблица 8.1

Из таблицы 8.1 следует, что и— точки соответственно глобального минимума и максимума функция, и

, . ●

Задачи

Найти глобальные экстремумы функции на множестве.

1. ,.

2. ,.

3. ,.

4. ,.

5. ,.

Ответы

1. ,.

2. ,.

3. ,.

4. ,.

5. ,. ▲

Точки экстремума функции, необходимые и достаточные условия экстремума

Содержание:

• Необходимое условие экстремума
• Первое достаточное условие экстремума
• Второе достаточное условие экстремума

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются

локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) \lt f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального минимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. {2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x) при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой окрестность (x₀ — V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого значения x x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать.

Это можно сделать следующим образом:

y’ = 4x³ — 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:

4x³ — 12x² + 12x — 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ — 3x² + 3x — 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:

(x³ — 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x — 1)(x² + x + 1) -3x(x — 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x — 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x — 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x — 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² — 4*1 = 1 — 4 +6 — 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)’ = (U’V — UV’)/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y’ = (-(x² + 484) — 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

D

В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в соседних точках.

Это означает, что в точке, при пересечении которой функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями» производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 — 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = — 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ‘ = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x

Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x — 3/x не может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f ‘(x) =(sin2x — 3x)’ = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = — 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Экстремум (локальный и абсолютный) | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Глобальные экстремумы
• Локальные экстремумы
• Дифференцируемые функции
• Смотрите также

Точка \(x\) есть абсолютный максимум или минимум функции \(f\) в интервале \([a, \, b]\), если \(f(x) \ge f(x’ )\) для всех \(x’ \in [a, \, b]\) или если \(f(x) \le f(x’)\) для всех \(x’ \in [a, \, б]\). Точка \(х\) это строгий (или уникальный) абсолютный максимум или минимум, если это единственная точка, удовлетворяющая таким ограничениям. Аналогичные определения справедливы для интервалов \([a, \, \infty)\), \((-\infty, \, b]\) и \((-\infty, \, \infty)\). обычно выбирается как домен \(f\).

Абсолютный максимум и абсолютный минимум функции

Может не существовать абсолютного максимума или минимума, если область неограничена ни в положительном, ни в отрицательном направлении, или если функция не является непрерывной. Если функция не непрерывна (но ограничена), все равно будет существовать супремум или инфимум, но не обязательно могут существовать абсолютные экстремумы. Если функция непрерывна и ограничена, а интервал замкнут, то должны существовать абсолютный максимум и абсолютный минимум.

Если функция не является непрерывной, то она может иметь абсолютные экстремумы в любых точках разрыва. Как правило, абсолютные экстремумы будут полезны только для функций с не более чем конечным числом точек разрыва. Абсолютные экстремумы можно найти, рассматривая эти точки вместе со следующим методом для непрерывных частей функции.

Если функция непрерывна, то абсолютные экстремумы могут быть определены следующим методом. Учитывая функцию \(f\) и интервал \([a, \, b]\),

1. Определить все критические точки \(f\) в интервале \([a, \, b]\).
2. Определите значение \(f\) в каждой из его критических точек.
3. Определите значение \(f\) в каждой из конечных точек.

Точки, соответствующие наибольшим значениям \(f\), являются абсолютным максимумом (максимумами), а точки, соответствующие наименьшим значениям \(f\), являются абсолютным минимумом (минимумами) . Остальные значения могут быть локальными экстремумами.

Определить абсолютные максимумы и минимумы следующей функции в интервале \(\left[-\tfrac{3}{2}, \tfrac{7}{2}\right]:\) 93 &\ x > 2. \end{case}\]

---

Функция имеет критические точки в точках \(x = -1\), \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 2\). Он имеет конечные точки в точках \(x = -\tfrac{3}{2}\) и \(x = \tfrac{7}{2}\).

Единственными возможными вариантами максимального значения являются \(x = -1\), \(x = 1\) и \(x = 2\). Поскольку \(f(-1) = 1\), \(f(1) = 2\) и \(f(2) = 3\), абсолютные максимумы расположены в точках \(\boxed{(2, \, 3)}\).

Единственными возможными вариантами минимального значения являются \(x = -\tfrac{3}{2}\), \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = \tfrac{7 {2}\). Поскольку \(f\left(-\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{3}{4}\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 2 \) и \(f\left(\tfrac{7}{2}\right) = -\tfrac{3}{8}\), абсолютные минимумы расположены в точках \(\boxed{\left(\tfrac {7}{2}, -\tfrac{3}{8}\right)}\). \(_\квадрат\)

Локальные максимумы функции Локальные минимумы функции

Точка \(x\) является локальным максимумом или минимумом функции, если она является абсолютным максимумом или минимумом значения функции в интервале \((x — c, \, x + в)\) для некоторого достаточно малого значения \(с\).

При определении абсолютного максимума или минимума функции можно найти множество локальных экстремумов.

Для заданной функции \(f\) и интервала \([a, \, b]\) локальные экстремумы могут быть точками разрыва, точками недифференцируемости или точками, в которых производная имеет значение \(0 \). Однако ни одна из этих точек не обязательно является локальным экстремумом, поэтому локальное поведение функции необходимо исследовать для каждой точки. То есть для заданной точки \(х\) значения функции в интервале \((х — с, \, х + с)\) должны быть проверены для достаточно малых \(с\).

До (\( a < x \))	После (\( a > x \))	Экстремум?
\(f(a) < f(x)\)	\(f(a) > f(x)\)	Нет
\(f(a) < f(x) \)	\(f(a) < f(x)\)	Максимум
\(f(a) > f(x)\)	\(f(a) < f(x) \)	Нет
\(f(a) > f(x)\)	\(f(a) > f(x)\)	Минимум

Если функция дважды дифференцируема в точке \(x\), то доступен несколько более простой метод.

\(f»(x)\)	Экстремум?
Positive	Minimum
Negative	Maximum
Zero	No

Классифицируйте локальные максимумы и минимумы следующей функции в интервале \(\left[-\tfrac{3}{2}, \tfrac{7}{2}\right]:\) 93 &\ x > 2. \end{case}\]

---

Из графика видно, что функция возрастает до \(x = -1\), убывает между \(x = -1\) и \(x = 0\), возрастает от \(x = 0\) до \(x = 2\) и уменьшается после \(x = 2\). Локальные максимумы расположены при \(x = -1\) и \(x = 2\). Локальные минимумы расположены в \(x = 0\), а конечная точка — в \(x = \frac{7}{2} .\) \(_\square\)

Чему равна сумма всех локальных экстремумов функции \(f(x)=\lvert x \rvert?\)

---

Заметим, что \(f(x)=-x\) для \(x<0,\) \(f(x)=0\) для \(x=0,\) и \(f(x) =x\) для \(x>0. \) Тогда \(f'(x)=-1<0\) для \(x<0\) и \(f'(x)=1>0\) для \(x>0,\), из чего следует, что функция убывает до \(x = 0\) и возрастает после \(x = 0\). Итак, \(f(x)\) имеет локальный минимум в точке \(x=0.\). Поскольку значение этого локального минимума равно \(f(0)=0,\), сумма всех локальных экстремумов равна \ (0.\) \( _\квадрат \)

Каков диапазон возможных значений действительного числа \(k\) таких, что функция 92-3\cdot(-4K)=4k(k+3)\le 0.\]

Следовательно, диапазон \(k\), для которого \(f(x)\) не имеет экстремумов, равен

\[-3\le k \le 0. \ _\квадрат\]

3 4 5 6 7 8 Бесконечно много

График справа изображает функцию \(\color{darkred}{f(x)} = |\cos x + 0,5|\) в интервале \(\color{darkred}0 \leq \color{darkred} x \leq \color{darkred}{10} \).

Сколько локальных экстремумов имеет функция \(f(x) \), если ее область определения ограничена \({\color{darkred}0 \leq \color{darkred}x \leq \color{darkred}{10 }}?\)

Предположим, что рассматриваемая функция непрерывна и дифференцируема на отрезке. Затем есть несколько способов определения экстремумов. Все локальные экстремумы — это точки, в которых производная равна нулю (хотя производная может быть равна нулю, а точка не быть локальным экстремумом). Хотя они все еще могут быть конечными точками (в зависимости от рассматриваемого интервала), абсолютные экстремумы также могут быть определены с помощью нескольких сокращений. Это производные тесты.

Первый тест производной
Предположим, что \(f\) — функция с действительным знаком, а \([a, \, b]\) — интервал, на котором \(f\) определено и дифференцируемо. Тогда, если \(c\) является критической точкой \(f\) в \([a, \, b]\),

1. , если \(f'(x) > 0\) для всех \( x < c\) и \(f'(x) < 0\) для всех \(x > c\), то \(f(c)\) есть максимальное значение \(f\) в интервале \ ([а, \, б];\)
2. , если \(f'(x) < 0\) для всех \(x 0\) для всех \(x > c\), то \(f(c )\) есть минимальное значение \(f\) в интервале \([a, \, b]. \)

Проще говоря, точка — это максимум функции, если функция возрастает до него и убывает после него. И наоборот, точка является минимумом, если функция убывает до и возрастает после нее.

Второй тест производной
Предположим, что \(f\) — функция с действительным знаком, а \([a, \, b]\) — интервал, на котором \(f\) определено и дважды дифференцируемо. Тогда, если \(c\) является критической точкой \(f\) в \([a, \, b]\),

1. , если \(f»(x) < 0\) для всех \ (x\) в \([a, \, b]\), то \(f(c)\) есть максимальное значение \(f\) в интервале \([a, \, b];\ )
2. , если \(f»(x) > 0\) для всех \(x\) в \([a, \, b]\), то \(f(c)\) является минимальным значением \( f\) в интервале \([a, \, b].\)

Проще говоря, точка — это максимум функции, если функция вогнута вниз, и точка — это минимум функции, если функция вогнута вверх.

Критерии производных можно применять и к локальным экстремумам, если интервал достаточно мал. Фактически, самого теста второй производной достаточно, чтобы определить, является ли потенциальный локальный экстремум (для дифференцируемой функции) максимумом, минимумом или ни тем, ни другим. 92.\) Пусть \(f'(x)=0,\) тогда \(x=1.\) Тогда проверка знака \(f'(x)\) вокруг \(x=1\) говорит нам что \(f'(x)>0\) для \(x<1\) и \(f'(x)>0\) для \(x>1.\). Отсюда следует, что \(f(x) \) не имеет локальных экстремумов, а наклон функции никогда не меняет знак.

Следовательно, количество локальных экстремумов равно 0. \( _\квадрат \)

Цитировать как: Экстремумы (локальные и абсолютные). Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/extrema/

Глобальный экстремум

Глобальный экстремум

---

На прошлой странице вы узнали, как находить локальные экстремумы; один часто больше интересует поиск глобальных экстремумов :

Мы говорим, что функция f ( x ) имеет глобальный максимум в х = х ₀ на интервале I , если для всех . Точно так же функция f ( x ) имеет глобальный минимум в х = х ₀ на интервале I , если для всех .

Если f ( x ) является непрерывной функцией на замкнутом ограниченном интервале [ a , b ], то f ( x ) будет иметь глобальный максимум и глобальный минимум на [ a , b ]! (Хотя доказать это непросто).

С другой стороны, если интервал не ограничен и не замкнут, то нет гарантии, что непрерывная функция f ( x ) будет иметь глобальные экстремумы. Примеры: f ( x )= x ² не имеет глобального максимум на интервале , функция не имеет глобального минимума на интервале (0,1).

Как найти глобальные экстремумы? К сожалению, не каждый глобальный экстремум также является локальным экстремумом:

Пример. Рассмотрим функцию f ( x ) = ( x -1) ² , для . Единственная критическая точка х = 1. И первый или второй проверка производной будет означать, что x = 1 является локальным минимумом. Смотрящий на графике (см. ниже) мы видим, что правая конечная точка интервала [0,3] является глобальным максимумом.

Это приводит нас к новой концепции конечной точки . экстремумы . Действительно, если c является конечной точкой домена f ( x ), затем f ( x ), как говорят, имеет максимум конечной точки при c iff для всех x в домене близко к c . Аналогично один может определить концепцию минимума конечной точки.

Впрочем, новости не так уж и плохи. Если f ( x ) дифференцируемо на интервал I , тогда:

Каждый глобальный экстремум является локальным экстремумом или конечной точкой экстремум.

Это предполагает следующую стратегию поиска глобальных экстремумов:

• Найдите критические точки.
• Список конечных точек рассматриваемого интервала.
• Глобальные экстремумы f ( x ) могут возникать только в этих точках! Оцените f ( x ) в этих точках чтобы проверить, где расположены глобальные максимумы и минимумы.

Пример. Найдем глобальные экстремумы функции f ( x ) = x e ^{— x} на интервале [0,1,3,5]. Функция f ( x ) везде дифференцируема, его производная F ‘( x ) = E ^{— x} — XE ^{— x} = (1- x ) . х = 1. Таким образом x = 1 — единственная критическая точка. Добавьте конечные точки интервал x = 0,1 и x = 3,5, и оцените f ( x ):

х	ф ( x )
0,1
1,0
3,5

Таким образом, глобальный минимум приходится на x = 0,1, глобальный максимум происходит при разрешении x = 1.