Дифференцирование неявно заданной функции: Дифференцирование функции, заданной неявно

{3}}$

Больше примеров решений Решение производных онлайн

Читать дальше: производная функции, заданной параметрически.

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с. Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой. Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы. Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.). Для студентов высших технических учебных заведений. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11. n при n целом и положительном § 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23. x, sin x, cos x Упражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента § 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2. Геометрическое изображение функции двух переменных § 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов § 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6. Интегрирование по частям § 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9. Формула Чебышева § 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII

Неявное дифференцирование

Нахождение производной, когда вы не можете найти у

Вы можете сначала прочитать Введение в производные и производные правила.

Неявное против явного

Функция может быть явной или неявной:

Явный : «y = некоторая функция x». Когда мы знаем x, мы можем вычислить y напрямую.

Неявный : «некоторая функция y и x равна чему-то еще». Знание x не ведет непосредственно к y.

Пример: Круг

Явная форма		Неявная форма
y = ± √ (r 2 − x 2 )		x 2 + у 2 = г 2
В этой форме y выражается как функция x.		В этой форме функция выражается через y и x.

График x ² + y ² = 3 ²

Как выполнить неявное дифференцирование

• Дифференцировать по x
• Собрать все dy dx с одной стороны
• Решить для dy dx

Пример: x

² + Y ² = R ²

Дифференциация с уважением к X:

D DX (x ² ) + D0919191919191 (x ² ) + D9

09999999199 (x ² ) + D

099 (x ² ). 2 ) = D DX (R ² )

Давайте решаем каждый термин:

Используйте правило мощности: D DX (x ² ) = 2X

9002 Использование. (поясняется ниже): д DX (Y ² ) = 2Y DY DX

R ² — постоянная, поэтому его производное равно 0: D DX (R ^{2 D DX (R 2) = 0}

0 DX (r 2) = 0 DX (R 2) = 0 DX (R 2) = 0 DX (R 2). Which gives us:

2x + 2y dy dx = 0

Collect all the dy dx on one side

y dy dx = −x

Solve for dy дх :

dy dx = −x y

The Chain Rule Using

dy dx

Let’s look more closely at how d dx (y ² ) becomes 2y dy dx

The Chain Rule says:

du dx = du dy dy dx

Замена в u = y ² :

d dx (y ² ) = d dy (y ² ) dy dx

And then:

d dx (y ² ) = 2y dy dx

По сути, все, что мы сделали, это продифференцировали по y и умножили на

dy dx

Еще одно распространенное обозначение — использование ’ для обозначения d dx

Цепное правило с использованием ‘

Цепное правило также может быть записано с использованием обозначения:

f(g(x))’ = f'(g(x))g'(x)

g(x) is наша функция «y», поэтому:

f(y)’ = f'(y)y’

f(y) = y ² , поэтому f'(y) = 2y:

f(y) ‘ = 2yy’

или альтернативно: f(y)’ = 2y dy dx

Опять же, все, что мы сделали, это продифференцировали по y и умножили на

dy dx

Явный

Давайте также найдем производную, используя явную форму уравнения.

• Чтобы решить это явно, мы можем решить уравнение для y
• Затем дифференцировать
• Затем снова подставьте уравнение для y

Пример: x

² + y ² = R ²

Вычтение x ² С обеих сторон: Y ² = R ² — x ²

999 .0002 Квадратный корень:y = ±√(r ² − x ² )

Возьмем только положительное : y = √(r ² − x ² 0 y степень) 90 a степень = (r ² − x ² ) ^½

Derivative (Chain Rule) :y’ =½(r ² − x ² ) ^−½ (−2x)

Упростить:y’ = -x(r ² — x ² ) ^-½

Упростить еще: y’ = -x (r ² — x ² ) ^½

Теперь, потому что Y = (R ² — x ² ) ^½ : y ‘= −x/y

. результат таким образом!

Вы можете сами попробовать взять производную от отрицательного члена.

Снова цепное правило!

Да, мы снова использовали Цепное правило. Вот так (обратите внимание на другие буквы, но то же правило):

dy dx = dy df DF DX

Заменитель в F = (R ² — x ² ):

D DX (F ^½ ) = DX (F ^½ ) = . 9. . 9009. ) D DX (R ² — x ² )

Производители:

D DX (F ^½ ) = ½ ( (F ^½ ) = ½ (F ^{5 456 (F 9006).}

И подставить обратно f = (r ² − x ² ):

D DX (R ² — x ² ) ^½ = ½ ((R ² — x ² ) ^{— ½} ) (2 x ^{и Simpled}

)

и Simpled

)

)

)

)

)

)

)

)

)

) ) ) ). оттуда.

Использование производной

Итак, зачем находить производную y’ = −x/y ?

Ну, например, мы можем найти наклон касательной.

Пример: каков наклон окружности с центром в начале координат и радиусом 5 в точке (3, 4)?

Нет проблем, просто подставьте это в наше уравнение:

dy dx = -x/y

dy dx = -3/4

6 строка:

у = -3/4 х + 25/4

Другой пример

Иногда неявный способ работает там, где явный способ сложен или невозможен.

Пример: 10x

⁴ − 18xy ² + 10y ³ = 48

Как найти у? Мы не должны!

• Сначала продифференцируем по x (используйте Правило произведения для термина xy ² ).
• Затем переместите все элементы dy/dx в левую часть.
• Решить для dy/dx

Например:

Start с: 10x ⁴ — 18xy ² + 10y ³ = 48

Производный : 10 (4x ³ ) — 18 (x (2 9999999999999999999999999999 3 ) — 18 (2 9008: 10 (4x ³ ) — 18 (2 : 10 (4x ³ ) — 18 (2 : 10 (4x ³ ) — 18 (2 : 10 (4x ³ ) — 18 (2 : 10 (4x ³ ). ) + Y ² ) + 10 (3Y ² DY DX ) = 0

(средний термин объясняется
в «Правило продукта» ниже)

Упрощение: 40x ³ — 36xy DY DX — 18y ² + 30y ² DY DX = 0

DY DX В левом дх = -40х ³ + 18у ²

Упрощение: (30y ² −36xy) DY DX = 18y ² — 40x ³

Упрощенность: 3 (5y ² –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6 –6xy)

. = 9y ² − 20x ³

And we get:

dy dx = 9y ² − 20x ³ 3(5y ² − 6xy)

 

Правило продукта

Для среднего члена мы использовали правило произведения: (fg)’ = f g’ + f’ g

(xy ² )’ = x(y ² )’ + (x)’y ²

= x (2y DY DX ) + Y ²

Потому что (Y ² ) ‘= 2y DY DX (мы работали в предыдущем примере)

OH, DX (мы работали в предыдущем примере)

OH, DX (мы работали в предыдущем примере) и dx dx = 1, другими словами, x’ = 1

Обратные функции

Неявное дифференцирование может помочь нам решить обратные функции.

Общий шаблон:

• Начните с обратного уравнения в явном виде. Пример: y = sin ⁻¹ (x)
• Перепишите его в неинверсном режиме: Пример: x = sin(y)
• Продифференцируйте эту функцию по x с обеих сторон.
• Решить для dy/dx

В качестве последнего шага мы можем попытаться еще упростить, заменив исходное уравнение.

Пример поможет:

Пример: функция обратного синуса y = sin

⁻¹ (x)

Начните с: y = sin ⁻¹ (x)

В неинверсном режиме: x = sin(y)

Производная : d (1 x 90 d ) = d dx sin(y)

 1 = cos(y) dy dx

Put dy dx on left: dy dx = 1 cos (y)

Мы также можем сделать еще один шаг, используя тождество Пифагора:

sin ² y + cos ² y = 1

cos y = √(1 − sin ² y )

И, поскольку sin(y) = x (сверху!), мы получаем:

cos y = √ (1 — x ² )

, что приводит к:

DY DX = 1 √ (1 — x ² ) √ (1 — x ² ) √ (1 — x ² ) √ (1 — x ² )

Пример: производная квадратного корня √x

Начните с:y = √x

Итак:y ² = x

Производная : 2y DY DX = 1

Упрощайте: DY DX = 1 2Y

Потому что Y = √x: DY

, потому что Y = √x: DY

, потому что Y = √x: DY 91918 918 18 18 8 8 .

Примечание: это тот же ответ, который мы получаем, используя Правило Степени:

Начните с:y = √x

В виде степени:y = x ^½

Правило Степени d 1 x dx n = nx ⁿ⁻¹ : dy dx = (½)x ^−½

Упростить: dy dx = 1 2√x

Резюме

• Для неявного получения функции (полезно, когда функция не может быть легко решена для y)
  • Дифференцировать по x
  • Собрать все dy/dx с одной стороны
  • Решить для dy/dx
• Чтобы вывести обратную функцию, переформулируйте ее без обратной, а затем используйте неявное дифференцирование

 

11312, 11313, 11314, 11315, 11316, 11317, 11318, 11319, 11320, 11321

3.9: Неявное дифференцирование — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

110999

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Найти производную сложной функции с помощью неявного дифференцирования.
• Используйте неявное дифференцирование для определения уравнения касательной.

Мы уже изучали, как находить уравнения касательных к функциям и скорость изменения функции в конкретной точке. Во всех этих случаях мы имели явное уравнение для функции и явно дифференцировали эти функции. Предположим вместо этого, что мы хотим определить уравнение касательной к произвольной кривой или скорость изменения произвольной кривой в точке. В этом разделе мы решаем эти проблемы, находя производные функций, которые неявно определяют \(y\) через \(x\). 92+1\) неявно.

Неявное дифференцирование позволяет нам находить наклоны касательных к кривым, которые явно не являются функциями (они не проходят проверку вертикальной прямой). Мы используем идею о том, что части \(у\) являются функциями, которые удовлетворяют данному уравнению, но на самом деле у не является функцией \(х\).

В общем, уравнение неявно определяет функцию, если функция удовлетворяет этому уравнению. Уравнение может неявно определять множество различных функций. Например, функции 92}\). Однако не всегда легко решить функцию, неявно заданную уравнением. К счастью, техника неявного дифференцирования позволяет нам найти производную неявно определенной функции без явного решения этой функции. Процесс нахождения \(\dfrac{dy}{dx}\) с использованием неявного дифференцирования описан в следующей стратегии решения задач.

Стратегия решения проблем: неявное дифференцирование

Для выполнения неявное дифференцирование в уравнении, которое неявно определяет функцию \(y\) через переменную \(x\), выполните следующие шаги:

1. Возьмите производную обеих частей уравнения. Имейте в виду, что \(y\) является функцией \(x\). Следовательно, тогда как \[\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\nonumber\] и \[\dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\cdot\dfrac {dy}{dx}\nonumber\], потому что мы должны использовать цепное правило, чтобы дифференцировать \(\sin y\) относительно \(x\).
2. Перепишите уравнение так, чтобы все члены, содержащие \(dy/dx\), находились слева, а все члены, не содержащие \(dy/dx\), — справа. 92)=2y\dfrac{dy}{dx}\). \(2y\dfrac{dy}{dx}=-2x\) Шаг 2. Оставьте члены с \(\dfrac{dy}{dx}\) слева. Переместите оставшиеся члены вправо. \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\) Шаг 4. Разделите обе части уравнения на \(2y\). (Шаг 3 в этом случае не применяется.)

   Анализ

   Обратите внимание, что результирующее выражение для \(\dfrac{dy}{dx}\) выражено как независимой переменной \(x\), так и зависимой переменной \(y\). Хотя в некоторых случаях можно выразить \(\dfrac{dy}{dx}\) только через \(x\), обычно это невозможно. 92=25\) в точке \((3,−4)\).

   Решение

   Хотя мы могли бы найти это уравнение без использования неявного дифференцирования, использование этого метода значительно упрощает задачу. В примере \(\PageIndex{1}\) мы нашли \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\).

   Наклон касательной определяется подстановкой \((3,−4)\) в это выражение. Следовательно, наклон касательной равен \(\dfrac{dy}{dx}\Big|_{(3,−4)}=−\dfrac{3}{−4}=\dfrac{3}{4 }\).

   Используя точку \((3,−4)\) и наклон \(\dfrac{3}{4}\) в уравнении точка-наклон линии, мы получаем уравнение \(y=\dfrac {3}{4}x−\dfrac{25}{4}\) (рисунок). 92=100\) в точке \(\left(3,\frac{8}{3}\right)\) пересекает ось \(x\). Начните с неявного нахождения \(\dfrac{dy}{dx}\).

   Дифференцируя, имеем

   \(8x+50y\dfrac{dy}{dx}=0.\)

   Решая для \(\dfrac{dy}{dx}\),

   имеем

   \ (\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4x}{25y}\).

   Наклон касательной равен \(\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{\left(3,\frac{8}{3}\right)}=-\dfrac{9}{50 }\). Уравнение касательной имеет вид \(y=−\dfrac{9}{50}x+\dfrac{183}{200}\). Чтобы определить, где линия пересекает ось \(x\), решите \(0=-\dfrac{92=16\) в точке \((5,3)\).

   Подсказка

   \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}\)

   Ответить

   \(y=\dfrac{5}{3}x−\dfrac{16}{3}\)

   Основные понятия

   • Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
   • Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

   Глоссарий

   неявное дифференцирование

   — это метод вычисления \(\dfrac{dy}{dx}\) для функции, определяемой уравнением, выполненный путем дифференцирования обеих частей уравнения (не забывая рассматривать переменную \(y\) как функцию) и решение для \(\dfrac{dy}{dx}\)

   Авторы и авторство

   ---

   Эта страница под названием 3.9: Неявная дифференциация распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

   1. Наверх
   • Была ли эта статья полезной?

   1. Тип изделия

      Раздел или страница

      Автор

      ОпенСтакс

      Лицензия

      CC BY-NC-SA

      Версия лицензии

      4,0

      Программа OER или Publisher

      ОпенСтакс

      Показать страницу Содержание

      нет

      Включено

      да

   2. Теги

      1. неявное дифференцирование
      2. источник@https://openstax.