Дифференциальные уравнения math24 – Дифференциальные уравнения онлайн. Математика онлайн

Дифференциальные уравнения онлайн. Математика онлайн

Решение дифференциальных уравнений онлайн на Math34.biz для закреплеения студентами пройденного материала.                                                     И тренировки своих практических навыков. Дифференциальные уравнения онлайн. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д. Пошаговое решение дифференциальных уравнений на сайте Math34.biz. Множество перечисляемых чисел исследовать можно. Лучший ответ на поставленную задачу. Как найти в первом приближении исходящий вектор к области сходимости про Дифференциальные уравнения без выяснения найденного верхнего предела. Выбор очевиден для возрастания математических функций. Есть прогрессивный метод над уровнем исследования. Выровнять по начальному условию задачи решение дифференциальных поможет найти однозначное выбранное значение. Может быть так, что сможет неизвестную определить сразу. Как в предыдущем примере на указание решения для математической задачи, линейные дифференциальные уравнения есть ответ на поставленную конкретно задачу в указанные сроки. Локально не определено поддержание процедуры исследования. Будет так, что пример найдется для каждого студента и решение дифференциальных уравнений определит назначенный на ответственного исполнителя как минимум из двух значений. Взять на некотором отрезке функцию общего значения и предупредить по которой оси будет разрыв. Изучив дифференциальные уравнения онлайн, возможно однозначно показать на сколько важен результат, если таковой предусмотрен из начальных условий. Вырезать область из определения функции — это невозможно, так как локально нет определения по задаче. Будучи найденным из системы уравнений, ответ содержит в себе переменную, исчисляемую в общем смысле, но решить дифференциальное уравнение онлайн естественно получится без этого действия по определению сказанного условия. Рядом с промежутком отрезка видно как решение дифференциальных уравнений онлайн способно продвинуть результат исследований в положительную сторону на момент среза знаний у студентов. Лучшее не всегда получается путем общего принятого подхода к делу. На уровне двукратного увеличения можно с пользой просмотреть все необходимые линейные дифференциальные уравнения в естественном представлении, но возможность подсчитать числовое значение приведет к улучшению знаний. По любой методике в математике есть дифференциальные уравнения, которые представлены в различных по своей сути выражениях, такие как однородные или сложные. Проведя общий анализ исследования функции, станет ясно, что решение дифференциальных как множество возможностей представляет собой явную погрешность в значениях. Истинна в ней заключается в пространстве над линий абсцисс. Где-то в области определения сложной функции в некоторой точке её определения линейные дифференциальные уравнения смогут представить ответ в аналитическом виде. то есть в общем виде как суть. Не поменяется ничего при замене переменной. Однако нужно с особым интересом вглядываться в ответ. Меняет по сути калькулятор отношение в итоге, то есть как решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению обозначается в пределах искомого решения. В ряде случаев предупреждение о массовой ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общее представление о задаче, но в итоге нужно как можно скорее предусмотреть положительные стороны векторного произведения. В математике не редки случаи заблуждения в теории чисел. Однозначно нужна будет проверка. Естественно лучше предоставить это право профессионалам в своем деле и решить дифференциальное уравнение онлайн помогут именно они, так как их опыт колоссальный и положительный. Разница на поверхностях фигур и площадь такова, что не решение дифференциальных уравнений онлайн позволит видеть, а множество не пересекаемых объектов таково, что линия параллельна оси. В итоге можно получить в два раза больше значений. Будучи не в явном виде, наше представление о правильности формально записи предусматривает линейные дифференциальные уравнения как в области просмотра, так и в отношении преднамеренного завышения качества результата. Несколько раз выходит в обзор решаемое на коллегии обсуждение на тему, интересную всем студентам. На протяжении всего изучения полного курса лекций, мы заострим наше пристальное внимание на дифференциальные уравнения и связные с ними области изучения науки, если тем самым не противоречить истине. Многих этапов можно избежать в начале пути. Если решение дифференциальных по-прежнему является принципиально чем-то новым для студентов, то старое вовсе не забывается, а прогрессирует в будущее с высокой скоростью развития. Изначально условия по задаче в математике расходятся, но это обозначено в абзаце справа. По истечению времени заданного по определению не исключены возможности пропорционального зависимого исхода на различных плоскостях движения вектора. Исправляется такой простой случай также как описываются линейные дифференциальные уравнения на калькуляторе в общем виде, так будет быстрее и взаимозачет расчетов не приведет к ошибочному мнению. Лишь пять названных по теории случаев могут раздвигать грани происходящего. Вручную рассчитать значение в цифрах поможет наше решение дифференциальных уравнений уже на первых этапах разложения функционального пространства. В нужных местах необходимо точку соприкосновения четырех линий представить в общем значении. Но если придется задачу вытеснить, то приравнять сложность будет просто. Исходных данных достаточно для оформления прилежащего катета и дифференциальные уравнения онлайн выглядят выровненными по левому краю и поверхность односторонняя направлена к ротору вектора. Выше верхнего предела возможны числовые значения сверх обозначенного условия. Принимать во внимание математическую формулу и решить дифференциальное уравнение онлайн за счет трех неизвестных в общем значении пропорции возможно. Локальный метод расчета признан действительным. Система координат прямоугольная в относительном движении плоскости. Общее решение дифференциальных уравнений онлайн позволяет однозначно сделать вывод в пользу расчетной прогонки сквозь матричные определения на всей прямой, расположенной выше графика заданной в явном виде функции. Решение насквозь проглядывается, если приложить вектор движения к точке соприкосновения трех полушарий. Цилиндр получается путем вращения прямоугольника вокруг стороны и линейные дифференциальные уравнения смогут показать направление движения точки по заданным выражениям её закона движения. Исходные данные верные и задача в математике взаимозаменяема при одном несложном условии. Однако в силу обстоятельств, в виду сложности постановочной подзадачи, дифференциальные уравнения упрощают процесс калькулировано числовых пространств на уровне трехмерного пространства. Легко доказать обратное, но этого возможно избежать, как в приведенном примере. В высшей математике предусмотрены следующие моменты: когда задача приводится к упрощенному виду, на неё следует распространить как можно большее усилие со стороны студентов. Взачет попадают наложенные друг на друга линии. Про решение дифференциальных по-прежнему возобновляет преимущество сказанного метода на кривой линии. Если распознать вначале не то, что нужно, то математическая формула составит новое значение выражения. Цель — оптимальный подход к решению поставленных профессором задания. Не стоит полагать, что линейные дифференциальные уравнения в упрощенном виде превзойдут ожидаемый результат. На конечно составленной поверхности разместим три вектора. ортогональные друг другу. Вычислим произведение. Проведем сложение большего числа символов и распишем из полученного выражения все переменные функции. Есть пропорция. Несколько действий, предшествующих окончанию вычисления, однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений дадут не сразу, а только по истечению отведенного времени по оси ординат. Слева от точки разрыва, заданной в неявном виде от функции, проведем ось, ортогональную лучшему возрастающему вектору и дифференциальные уравнения онлайн расположим вдоль наименьшего граничного значения нижней грани математического объекта. Лишний аргумент присоединим в области разрыва функции. Правее от точек расположения кривой линии решить дифференциальное уравнение онлайн помогут написанные нами формулы приведения к общему знаменателю. Единственно верным подходом примем тот, что прольет свет на нерешенные задачи из теории в практику, в общем случае однозначно. Линии по направлению координат заданных точек ни разу не сомкнули крайнее положение квадрата, однако решение дифференциальных уравнений онлайн поможет в изучении математики и студентам, и нам, и просто начинающим людям в этой области. Речь идет о возможности подстановки аргумента значения во все значимые под линии одного поля. В принципе, как и следовало ожидать, наши линейные дифференциальные уравнения есть нечто обособленное в единое понятие приведенного смысла. В помощь студентам один из лучших среди аналогичных сервисов калькулятор. Пройдите все курсы и выберите оптимальный правильный для себя.

math24.biz

Дифференциальные уравнения

Одной из дисциплин, входящих в курс Высшей математики, является курс дифференциальных уравнений, решение которых у студентов традиционно вызывают трудности. В данной статье постараюсь показать примеры решения некоторых видов таких уравнений.

Итак, дифференциальным уравнением (иногда, студенты называют их любя – “дифуры”) называют уравнение, которое содержит неизвестные функции, их аргументы и производные от неизвестных функций по этим аргументам (или дифференциалы неизвестных функций). 

Подавляющее большинство задач в прикладных науках, если формулируют их на языке математики, приводят именно к различным дифференциальным уравнениям. Мы рассматриваем лишь обычные дифференциальные уравнения, одной из характерных особенностей которых есть то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят лишь от одной переменной.

Общий вид обычного дифференциального уравнения n — го порядка такой: F(x, y, y’,…, y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0, где x — независимая переменная, y — неизвестная функция переменной x, а y, y’,…,y⁽ⁿ⁾ — производные неизвестной функции по переменной x.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.

Решением дифференциального уравнения называют функцию y = φ(x), которая при подстановке в уравнение на место неизвестной функции превращает это уравнение в тождество. Решение дифференциального уравнения, заданное неявным соотношением, Ф(x,y) = 0 называют интегралом этого уравнения.

В этой статье будем употреблять термин проинтегрировать дифференциальное уравнение, которое означает найти все его решения. 

§1. Дифференциальное уравнение I-го порядка 

Общий вид дифференциального уравнения I-го порядка выглядит следующим образом:

F(x, y, y’) = 0 (1.1)

Если соотношение (1.1) решить относительно производной, как вариант дифференциала, то получим уравнение такого вида:

y’ = f(x, y) (1.2)

Такое уравнение называют дифференциальным уравнением, решенным относительно производной. Дифференциальное уравнение I-го порядка имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечное множество число решений. Чтобы из этого множества решений выделить определенное решение, задают значение неизвестной функции y = y₀  при некотором значении аргумента x = x₀.

Условие, что при x = x₀ функция упринимает заранее заданное значение y₀, называют начальным условием. Мы это условие запишем в виде 

y|_x=x0 = y_{0или y(x0) = y0 (1.3)}

Проблему нахождения решения дифференциального y’ = f(x,y) уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(x₀) = y₀, называют задачей Коши.

Теорема 1.1. Если в уравнении y’ = f(x,y)  функция f(x,y)  и ее частная производная f’_y(x,y)  непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, которая содержит точку (x₀,y₀), то существует и при этом единственное решение y=φ(x) такого уравнения, которое удовлетворяет условию y(x₀) = y₀.

Введем теперь еще несколько основных определений.

Определение 1.1. Общим решением (в дальнейшем, для краткости ОР) дифференциального уравнения I-го порядка называется функция

y = φ(x, C) (1.4)

которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет таким условиям:

1) она удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении постоянной С;

2) каким бы не было начальное условие y(x₀) = y₀, всегда можно найти такое значение С = С₀, так что функция y= φ(x, C₀) будет удовлетворять этому начальному условию.

Замечание. При построении общего решения «дифура» очень часто приходят к соотношению вида

Ф(x, y, c) = 0 (1.5)

не решаемому относительно y.

Равенство Ф(x, y, c) = 0, которое неявно задает общее решение (в дальнейшем, для краткости ОР), называют общим интегралом (в дальнейшем, для краткости ОИ) дифференциального уравнения.

Определение 1.2. Частным решением дифференциального уравнения I-го порядка называется функцияy= φ(x, C₀), которую получаем из его общего решения y= φ(x, C) при определенном значении C = C₀.

Соотношение Ф(x, y, C₀) = 0называют частным интегралом дифференциального уравнения I-го порядка. 

§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка с разделяющимися переменными

Определение 2.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка вида

φ(y)dy = f(x)dx (2.1)

называется уравнением с переменными, которые можно разделить.

Непосредственно (дифференцированием) устанавливается, что ОИ уравнения (2.1) является соотношение

∫ φ(y)dy = ∫ f(x)dx (2.2)

где — C=const.

Пример 2.1. Решить “дифур” 2y²dy = 3xdx.

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Легко увидеть, что это решение, при желании, можно записать в явной форме , но обычно его оставляют в той форме, в которой получили, кое-что упростив получим 4y³ = 9x² + C.

Пример 2.2. Решить “дифур”  

Решение. Найдем неопределенные интегралы от правой и, конечно же, левой части

Поскольку C=const, то зачастую в такой форме решения для удобства записи, вместо C пишут ln |C|, а дальше выражение потенцируют

ln|y — 1| = ln|x| + ln C

ln|y — 1| = ln|Cx|

y – 1 = Cx

y = Cx + 1. 

Определение 2.2. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется уравнением с переменными, которые можно разделить, если его правая часть является произведением двух функций, одна из которых зависит лишь от аргумента х, а вторая от неизвестной функции у:

 

Здесь мы считаем, что функция φ(x) определена и непрерывна для всех x ϵ (a,b) а функция ѱ(y) определена и непрерывна и не равна нулю для всех y ϵ (c,d).

Если переписать уравнение (2.2) в виде  , то левая часть зависит только от переменной у, а правая часть зависит только от переменной х, то есть переменные отделены. Тогда общий интеграл запишется в виде

,

где С=const.

Пример 2.3. Решить “дифур”

Решение. Перед нами уравнение с переменными, которые можно разделить,. Запишем производную в виде соотношения дифференциалов: y’ = dy/dx, умножим обе части уравнения на dx  и разделим на y lny. В результате проделанной замены и “перемещения” переменных получим уравнение, в котором разделены переменные

После вычисления интегралов, имеем

y= e^Cx  ОР искомого уравнения.

Пример 2.4. Эффективность рекламы.

Пусть фирма продает продукцию B, про которую на момент времени tиз числа возможных клиентов знает лишь xклиентов. Далее, для увеличения продажи продукции, были сделаны рекламные объявления на радио и телевидении. Далее информация о товаре распространяется между клиентами через общение. После рекламы скорость изменения числа клиентов, которые знают о продукции B, пропорциональная не только числу клиентов, которые знают о товаре, но и числу клиентов, которые еще не знают.

Если допустить, что счет времени начинается после рекламных объявлений, когда о продукции узнало N/ɣ  человек, то получаем дифференциальное уравнением с переменными, которые можно разделить

При таких начальных условиях: x = N/ɣ , если t = 0. Здесь k— положительной коэффициент пропорциональности.

Интегрируя уравнение, имеем:

В экономической литературе это выражение называют уравнением логистической кривой.

С учетом начальных условий, получим

Замечание. Уравнение с переменными, которые можно разделить, можно также задать в симметричной относительно x и y дифференциальной форме

M(x) · N(y)dx+ P(x) · Q(y)dy=0 (2.4)

где функции M(x), P(x), N(y), Q(y) непрерывны соответственно в интервалах x ϵ (a,b), y ϵ (c,d).

Для нахождения решений необходимо разделить правую, (желательно, конечно) и левую части на произведение: N(y) · P(x).

и интегрируют полученное так соотношение

Если для x ϵ (a,b), y ϵ (c,d) функции P(x) и N(y) отличающиеся от нуля, то соотношение (2.6) является ОИ уравнения (2.4).

Пример 2.5. Решить “дифур” x(1 + y²)dx– y(1 + x²)dy = 0

Решение. Поступим также, как и в серии предыдущих примеров (разделим обе части уравнения на (1 + y²) · (1 + x²)

Интегрируя каждое из слагаемых (для этого не обязательно один из них переносить в правую часть), приравниваем сумму первообразных постоянной, которую обозначаем через ½ ln C, имеем:

Пример 2.6. Решить “дифур” y’ + 2x²y’ + 2xy– 2x = 0.

Решения. Представим производные в виде соотношения dy/dxи далее все члены уравнения домножим на dx:

Сгруппируем члены с разными дифференциалами и вынесем за скобки дифференциалы.

(1 + 2x²)dx +2x(y– 1)dx = 0

В результате деления на (1 + 2x²) (y– 1). Получим:

Интегрируем каждое из слагаемых:

Сумму первообразных приравниваем постоянной:

тогда

– ОИ уравнения.

В следующей своей статье я расскажу Вам об Однородных дифференциальных уравнениях I-го порядка и о Линейных дифференциальных уравнениях I-го порядка, уравнении Бернулли.

Если у Вас есть желание более детально изучить данный материал, научиться решать задания по данным разделам, записывайтесь на мои занятия на сайте. Буду рад Вам помочь. Онлайн репетитор Андрей Зварыч.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Дифференциальные уравнения онлайн. Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис Math34.su позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

math24.su

Дифференциальные уравнения

Если закономерности изменений тех или иных физических величин каким-то образом связаны с понятием скорости, то в соответствующих математических зависимостях, кроме самих величин, появляются также и их производные различных порядков. Такие математические зависимости называют дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим основные понятия, связанные с применением дифференциальных уравнений.

Например, экспериментально установлено, что скорость распада радиоактивного вещества в каждый момент времени пропорциональна его имеющейся массе. На основании этого физического факта можно определить закон изменения массы $m=m\left(t\right)$ радиоактивного вещества в зависимости от времени $t$.

Если в течение времени $\Delta t$ распалась масса $\Delta m$ радиоактивного вещества, то средняя скорость её распада равна $\frac{\Delta m}{\Delta t} $. Предел этого отношения при $\Delta t\to 0$ дает скорость распада вещества в момент $t$, то есть $\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \; \frac{\Delta m}{\Delta t} =\frac{dm}{dt} $. По условию задачи $\frac{dm}{dt} $ пропорциональна массе $m$, то есть $\frac{dm}{dt} =k\cdot m$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Полученное уравнение можно также представить в виде $dm=k\cdot m\cdot dt$. Первое из этих уравнений содержит производную $\frac{dm}{dt} $, а второе — дифференциал $dm$ искомой функции $m=m\left(t\right)$.

Что такое дифференциальное уравнение

Определение 1

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию одной переменной, а также её производные или дифференциалы различных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пример 1

Обыкновенными дифференциальными уравнениями являются уравнения $2\cdot x\cdot y-y’=0$, $y’+8\cdot y»=1-\ln x$, $dy\cdot \left(x+5\cdot y\right)=dx\cdot \left(x-y\right)$, так как в них входят производные либо дифференциалы неизвестной функции одной переменной $y=y\left(x\right)$.

Примечание

Кроме обыкновенных, существуют также дифференциальные уравнения в частных производных, в состав которых входят неизвестные функции, зависящие от двух и более переменных.

Определение 2

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, которая входит в это уравнение.

Пример 2

Уравнение $y’\cdot \sin x+y\cdot \cos y=1$ — дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение $\frac{d^{2} y}{dx^{2} } =\cos x+1$ — дифференциальное уравнение второго порядка, $y»’=x^{2} +y$ — дифференциальное уравнение третьего порядка и т. д.

Простейшими среди дифференциальных уравнений являются дифференциальные уравнения первого порядка. Для них используют различные формы записи:

1. $y’=f\left(x,\; y\right)$ или $\frac{dy}{dx} =f\left(x,\; y\right)$ — дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, например, $y’=x\cdot \sin \left(2\cdot y\right)$;
2. $F\left(x,\; y,\; y’\right)=0$ — дифференциальное уравнение первого порядка в неявной форме, например, $x\cdot y’+y\cdot \sin y’=0$;
3. $P\left(x,\; y\right)\cdot dx+Q\left(x,\; y\right)\cdot dy=0$ — дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной форме, где $P\left(x,\; y\right)$ и $Q\left(x,\; y\right)$ — заданные функции, например, $x^{3} \cdot dx+y^{3} \cdot dy=0$.

Таким образом, дифференциальное уравнение распада радиоактивного вещества $\frac{dm}{dt} =k\cdot m$ является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Как решить дифференциальные уравнения

С целью решения перепишем это уравнение в виде $\frac{dm}{m} =k\cdot dt$. Замечаем, что $d\left(\ln m\right)=\frac{dm}{m} $ и $d\left(k\cdot t\right)=k\cdot dt$. Следовательно, $d\left(\ln m\right)=d\left(k\cdot t\right)$. Находим неопределенный интеграл от обоих частей этого равенства, используя то, что неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой этой функции плюс произвольная постоянная. Взяв произвольную постоянную в виде $\ln C$, получаем $\ln m=k\cdot t+\ln C$. Выполняем преобразования: $\ln m-\ln C=k\cdot t$; $\ln \frac{m}{C} =k\cdot t$; $\frac{m}{C} =e^{k\cdot t} $. Отсюда зависимость массы радиоактивного вещества от времени имеет вид $m=C\cdot e^{k\cdot t} $.

Таким образом, мы видим, что в отличие от алгебраических уравнений, решениями которых являются числа, решениями дифференциальных уравнений являются функции. Кроме того, полученная зависимость массы радиоактивного вещества от времени доказывает, что соответствующее дифференциальное уравнение имеет не единственное решение.

Определение 3

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка называется функция $y=\phi \left(x,\; C\right)$, которая зависит от аргумента $x$, содержит произвольную постоянную $C$ и при подстановке её в уравнение превращает его в тождество.

Например, не сложно убедиться, что функция $m=C\cdot e^{k\cdot t} $ является общим решением дифференциального уравнения $\frac{dm}{m} =k\cdot dt$. Действительно, $dm=d\left(C\cdot e^{k\cdot t} \right)=C\cdot k\cdot e^{k\cdot t} \cdot dt$ или $dm=k\cdot m\cdot dt$, откуда $\frac{k\cdot m\cdot dt}{m} \equiv k\cdot dt$. Таким образом, общее решение представляет бесконечное множество функций, которые отличаются между собой конкретным значением произвольной постоянной~$C$. Эти функции являются представителями, так называемых, частных решений дифференциального уравнения.

Определение 4

Частным решением дифференциального уравнения называется функция $y=\phi \left(x,\; C_{0} \right)$, которую можно получить из общего решения при определенном значении произвольной постоянной $C=C_{0} $.

Например, функция $m=e^{k\cdot t} $ является частным решением дифференциального уравнения $\frac{dm}{m} =k\cdot dt$, полученным из общего решения $m=C\cdot e^{k\cdot t} $ при $C=1$.

Для получения из общего решения конкретного частного чаще всего используют начальное условие.

Определение 5

Условие $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, то есть при заданном $x=x_{0} $ значение функции $y$ должно равняться заданному числу $y_{0} $, которое накладывается на искомое решение $y=y\left(x\right)$ данного дифференциального уравнения, называется начальным условием.

Например, пусть для общего решения $m=C\cdot e^{k\cdot t} $ известно, что $m\left(0\right)=m_{0} $, то есть в начальный момент времени $t=0$ масса радиоактивного вещества $m$ была равна заданному числу $m_{0} $. Подставляем это начальное условие в общее решение и получаем $m_{0} =C\cdot e^{k\cdot 0} $, откуда $C=m_{0} $. Таким образом, благодаря начальному условию мы получили конкретное значение произвольной постоянной и конкретное частное решение $m=m_{0} \cdot e^{k\cdot t} $.

Определение 6

График частного решения обыкновенного дифференциального уравнения, построенный на плоскости $xOy$, называется интегральной кривой.

Таким образом, график функции $m=m_{0} \cdot e^{k\cdot t} $, которая представляет собой экспоненту, является интегральной кривой данного дифференциального уравнения $\frac{dm}{m} =k\cdot dt$.

Геометрически общее решение $m=C\cdot e^{k\cdot t} $ в целом представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости $xOy$, зависящее от произвольной постоянной $C$. Например, на рисунке изображено семейство интегральных кривых, которое соответствует общему решению $m=C\cdot e^{-0,2\cdot t} $ дифференциального уравнения $\frac{dm}{m} =-0,2\cdot dt$.

Начальное условие геометрически означает заданную точку $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$, через которую должна проходить конкретная интегральная кривая из всего семейства интегральных кривых. Или, иначе говоря, частное решение, полученное из начального условия $y\left|_{x=x_{0} } \right. =y_{0} $, геометрически соответствует той единственной интегральной кривой из семейства, которая проходит через заданную точку $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$.

Закон изменения массы $m=m_{0} \cdot e^{k\cdot t} $ радиоактивного вещества в зависимости от времени $t$ содержит неизвестный коэффициент пропорциональности $k$, значение которого можно найти из периода полураспада, то есть периода, в течение которого распадается половина имеющейся массы радиоактивного вещества.

Предположим, что радиоактивным веществом является радий, период полураспада которого составляет 1590 лет. Это дает возможность записать условие: $m=\frac{m_{0} }{2} $ при $t=1590$. Отсюда получаем: $\frac{m_{0} }{2} =m_{0} \cdot e^{k\cdot 1590} $, $\frac{1}{2} =e^{k\cdot 1590} $, $\frac{1}{2^{\frac{1}{1590} } } =e^{k} $ или $2^{-\frac{1}{1590} } =e^{k} $. Окончательно имеем: $m=m_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{1590} } $. Эта формула дает закон распада радия.

spravochnick.ru

Решение дифференциальных уравнений онлайн

Введите дифференциальное уравнение:

Пример: y»+9y=7sin(x)+10cos(3x)

Введите задачу Коши (необязательное поле):

Пример: y(0)=7,y'(6)=-1

x	y	π	e		1	2	3	÷		триг. функции
a2	ab	ab	exp		4	5	6	×		стереть
(	)	|a|	ln		7	8	9	—		↑	↓
√	3√	C	loga		0	.	↵	+		←	→

TRIG:	sin	cos	tan	cot		csc	sec		назад
INVERSE:	arcsin	arccos	arctan	acot		acsc	asec		стереть
HYPERB:	sinh	cosh	tanh	coth		x	π		↑	↓
OTHER:	‘	,	y	=		<	>		←	→

Данный калькулятор по решению диф. уравнений онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

Полезные ссылки:
Типы дифференциальных уравнений и методы их решения

Решить дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение — это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.

Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте matematikam.ru диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости — начальные условия (задачу Коши) — то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.

Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.

Похожие сервисы:

Решение дифференциальных уравнений
Solve differential equation online

matematikam.ru

Дифференциальное уравнение Бернулли | Математика

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

   

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

   

в линейное уравнение

   

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли  с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения —  как и при решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: [u’x+u]v+v’ux=-xu²v²   (I)          (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

   

   

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем [u’x+u]=0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на  v²≠0:

   

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

   

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: [2u’+2u]+2v’u=xu²v² (II).  Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

   

3) Подставляем во (II) [2u’+2u]=0 и

   

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

   

Интегрируем:

   

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

   

   

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

   

А так как

   

Сделаем С=-С:

   

   

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

   

Ответ:

   

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

   

Это — уравнение Бернулли,

   

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

[x²(x-1)u’-x(x-2)u]v+x²(x-1)v’u=u²v²      (III).    Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках:  x²(x-1)u’-x(x-2)u=0,  отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

   

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

   

При x=1:  1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0:  0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

   

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем [x²(x-1)u’-x(x-2)u]=0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

   

v’=dv/dx, подставляем:

   

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

   

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

   

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

   

Ответ:

   

Примеры для самопроверки:

   

   

Показать решение

1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:

   

1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:

   

2) Группируем слагаемые с v:

   

Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:

   

Интегрируем обе части уравнения:

   

3) В уравнение (*) подставляем [xu’ + 2u]=0 и u=1/x²:

   

Интегрируем обе части получившегося уравнения:

   

   

Обозначим С=3С1, получаем

   

4) Так как y=uv, то

   

Ответ:

   

2) Поделим обе части данного уравнения на x: y’+y/x=(lnx/x)·y². Это — уравнение Бернулли. Здесь p(x)=1/x, q(x)=lnx/x, n=2.
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в условие: x(u’v+v’u)+uv=u²v²lnx.

2) xu’v+xv’u+uv=u²v²lnx. Группируем слагаемые с v: [xu’+u]v+xv’u=u²v²lnx  (**).   Теперь требуем равенства нулю выражения, стоящего в скобках: xu’+u=0. Из этого уравнения ищем u: xdu/dx=-u,  du/u=-dx/x. Теперь интегрируем:

   

3) Подставляем в (**) [xu’+u]=0 и u=1/x (сначала упростим): xv’u=u²v²lnx, отсюда xv’=uv²lnx,  xv’=(1/x)v²lnx,

   

   

Интеграл в левой части — табличный. Интеграл, стоящий в правой части равенства, находим по формуле интегрирования по частям. u=lnx, du=(lnx)’dx=(1/x)dx, dv=(1/x²)dx,

   

Теперь подставляем u,v и du в формулу интегрирования по частям:

   

   

Итак,

   

умножаем обе части на (-1):

   

   

4) Так как y=uv, то

   

Ответ:

   

 

www.matematika.uznateshe.ru

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

function-x.ru