Разное

А в степени 1 матрица: IIS 7.0 Detailed Error — 404.11

Содержание

Обратная матрица с помощью алгебраических дополнений

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений.

Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A-1 = A-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений:

  1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
  2. Найти матрицу миноров M.
  3. Из матрицы M найти матрицу алгебраических дополнений C*.
  4. Транспонировать матрицу (поменяем местами строки со столбцами)
    C*
    , получить матрицу C*T.
  5. По формуле найти обратную матрицу.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 12 обратная матрица существует.

Найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

Найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

Остальные миноры и алгебраические дополнения находятся аналогично. В итоге получаем матрицу C*.

Найдем транспонированную союзную матрицу алгебраических дополнений C*T.

Найдем обратную матрицу. Ответ:

Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн

Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн
  1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.

  2. Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.

  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.

  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.

  5. Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.

  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(AT).

  7. Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1.
  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.

  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
  10. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  11. Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: B = k·A => det(B) = kn·det(A), где A матрица n×n, k - число.
  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
  14. Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).

Другой материал по теме


Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2),

Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования

Недавно на хабре появилась неплохая

статья

про вычисление N-ного числа фибоначи за O(log N) арифметических операций. Разумный вопрос, всплывший в комментариях, был: «зачем это может пригодиться на практике». Само по себе вычисление N-ого числа фибоначи может и не очень интересно, однако подход с матрицами, использованный в статье, на практике может применяться для гораздо более широкого круга задач.

В ходе этой статьи мы разберем как написать интерпретатор, который может выполнять простые операции (присвоение, сложение, вычитание и урезанное умножение) над ограниченным количеством переменных с вложенными циклами с произвольным количеством итераций за доли секунды (конечно, если промежуточные значения при вычислениях будут оставаться в разумных пределах). Например, вот такой код, поданный на вход интерпретатору:

loop 1000000000
  loop 1000000000
    loop 1000000000
      a += 1
      b += a
    end
  end
end
end

Незамедлительно выведет a = 1000000000000000000000000000, b = 500000000000000000000000000500000000000000000000000000, несмотря на то, что если бы программа выполнялась наивно, интерпретатору необходимо было бы выполнить октиллион операций.


Я полагаю, что у читателя есть представление о том, что такое матрица, и что такое произведение матриц. В рамках этой статьи мы будем использовать исключетельно квадратные матрицы и полагаться на очень важное свойство умножения квадратных матриц — ассоциативность.

Для простоты ограничим наш интерпретатор четырьмя переменными — A, B, C и D. Для представления состояния интерпретатора в заданный момент будем использовать вектор размера пять, первые четыре элемента которого будут содержать значения четырех переменных соответственно, а последний будет на протяжении всей работы интерпретатора равен единице.

(A, B, C, D, 1)

В начале работы интерпретатора будем полагать значения всех переменных равными нулю.

(0, 0, 0, 0, 1)

Допустим, что первая операция в коде программы содержит строку

A += 5

Эффект этой команды заключается в том, что значение переменной A увеличится на пять, в то время как значения остальных трех переменных не изменятся. Это можно претставить в виде следующей матрицы:

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
5 0 0 0 1

Если посмотреть на нее, можно заметить, что она почти идентична единичной матрице (которая, как известно, при умножении любого вектора на нее не меняет его значения), за исключением последнего элемента в первом столбце, который равен пяти. Если вспомнить, как происходит умножение вектора на матрицу, можно понять, что значения всех элементов, кроме первого, не изменятся, в то время как значение первого элемента станет равно

v[0] * 1 + v[4] * 5

Так как v[0] содержит текущее значение в переменной A, а v[4] всегда равен единице, то

v[0] * 1 + v[4] * 5 = A + 5

Если вектор текущего состояния умножить на эту матрицу, полученный вектор будет соответствовать состоянию, в котором A на пять больше, что и требовалось.
Если матрицу поменять немного, убрав единицу в первом элементе первой строки:

0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
5 0 0 0 1

Как и прежде, значения всех элементов кроме первого не изменятся, в то время как первый элемент станет равным v[4] * 5, или просто пяти. Умножение вектора текущего состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды

A = 5

Посмотрим на такую матрицу:

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 1

Единственное отличие ее от единичной матрицы — это второй элемент в четвертой строке, который равен единице. Очевидно, что умножение вектора текущего состояния на эту матрицу не изменит значения в первом и последних трех элементах, в то время как значение второго элемента изменится на

v[1] * 1 + v[3] * 1

Так как v[1] содержит текущее значение переменной B, а v[3] содержит текущее значение переменной D, то умножение вектора состояния на такую матрицу эквивалентно выполнению команды B += D

Аналогично рассуждая можно понять, что умножение вектора состояния на следующую матрицу эквивалентно выполнению команды C *= 7

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 7 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

Перейдем к комбинированию команд. Пусть вектор v задает текущее состояние, матрица Ma соответствует команде A += 5, а матрица Mm соответствует команде A *= 7. 3

Мы вычисляем матрицу, соответствующую телу цикла, только один раз, после чего возводим ее в степень.

Рассмотренных примеров достаточно, чтобы начать работать над интерпретатором простого языка, поддерживающего присваивание, сложение, вычитание, умножение (только на константу) и циклы. Для этого мы научимся представлять любую такую программу в виде матрицы размера N+1 на N+1, где N — это количество переменных, которыми программа оперирует, после чего будем просто умножать вектор с начальным состоянием на эту матрицу.

Правила представления программы в виде матрицы очень просты:
1. Каждая отдельная команда представляется в виде матрицы, отличающейся от единичной одним элементом (или двумя для операции присваивания). Примеры таких матриц рассмотрены выше в этой статье.
2. Несколько подряд идущих команд представляются в виде матрицы, равной произведению матричного представления каждой отдельной команды.
3. Цикл представляется в виде матрицы, представляющей тело цикла, возведенной в степень количества итераций цикла.

Если у нас есть функция identity, возвращающая единичную матрицу:

def identity():
    return [[1 if i == j else 0 for j in range(REGS + 1)] for i in range(REGS + 1)]

То фукнция, строящая матрицу для команды r1 += r2 (где r1 и r2 — переменные) может выглядеть так:

def addreg(r1, r2):
    ret = identity()
    ret[r2][r1] = 1
    return ret

А для команды r += val (r — переменная, val — константа) вот так:

def addval(r, val):
    ret = identity()
    ret[REGS][r] = val
    return ret

Функции для построения матриц других команд выглядят похоже — получается единичная матрица, в которой заменяется один элемент.

Интерпретатор без циклов теперь пишется очень просто — пусть матрица mat соответствует уже прочитанному коду. В начале она равна единичной матрице, потому что пустая программа не меняет состояния. Затем мы считываем команды по одной, разбиваем их на три элемента (левый операнд, оператор, правый операнд), и в зависимости от оператора домножаем матрицу, соответствующую всей программе, на матрицу, соответствующую текущей команде:

def doit():
    mat = identity()
    while True:
        line = sys.stdin.readline().lower()
        tokens = line.split()
        if tokens[0] == 'loop':
            # тут будет код для циклов
        elif tokens[0] == 'end':
            return mat
        else:
            r1 = reg_names.index(tokens[0])
            try:
                r2 = reg_names.index(tokens[2])
            except:
                r2 = -1
            if tokens[1] == '+=':
                if r2 == -1: cur = addval(r1, long(tokens[2]))
                else: cur = addreg(r1, r2)
            elif tokens[1] == '-=':
            ....
        mat = matmul(mat, cur)

Осталось дело за малым — добавить поддержку циклов. Цикл возводит матрицу тела цикла в степень количества итераций цикла. Возведение в степень, как известно, требует только O(log N) операций, где N — это степень, в которую матрица возводится. Алгоритм возведения в степень очень прост:
1. Если степень равна нулю, вернуть единичную матрицу.
2. Если степень четная, пусть 2N, то можно рекурсивно вычислить M^N, а затем вернуть квадрат получившейся матрицы.2N, и вернуть полученную матрицу, умноженную на M.

Так как каждые две итерации степень сокращается в двое, сложность такого алгоритма логарифмическая.

def matpow(m, p):
    if p == 0: return identity()
    elif p % 2 == 0:
        tmp = matpow(m, p / 2)
        return matmul(tmp, tmp)
    else: return matmul(m, matpow(m, p - 1))

В интерпретаторе теперь осталось добавить одну строку:

        ...
        if tokens[0] == 'loop':
            cur = matpow(doit(), long(tokens[1]))
        ...

И интерпретатор готов.

Пример интерпретатора доступен на гитхабе. Весь код занимает меньше 100 строк.

Для теста скорости можно вернуться к уже упомянутым числам фибоначи. Например, такой код:

A = 1
B = 1
loop 100
  C = A
  C += B
  A = B
  B = C
end
end

Вычислит 101-ое и 102-ое числа фибоначи:

A = 573147844013817084101, B = 927372692193078999176

Замена 100 на 1000000 вычислит миллион первое и миллион второе числа за четыре секунды. Выполнение такой программы в лоб заняло бы гораздо больше, потому что программе приходится оперировать многотысячезначными числами. Если написать код, которому не приходится оперировать большими числами, например код для вычисления суммы арифметической прогрессии, приведенный в начале статьи, то количество итераций может уходить за рамки разумного, но код будет выполняться за доли секунды

loop 1000000000000000000000000000000000000000000000
  loop 1000000000000000000000000000000000000000000000
    loop 1000000000000000000000000000000000000000000000
      a += 1
      b += a
    end
  end
end
end

На практике этот подход может применяться, например, в оптимизирующих компиляторах, которые могут таким образом сворачивать циклы с большим количеством итераций, оперирующие на небольшом количестве переменных.

Возведение матрицы в степень

Вы ввели следующие элементы массива
Матрица в заданной степени
   

 

квадратная матрица в целочисленной степени

Квадратную матрицу можно  возводить в целочисленную степень

Например матрица  следующего вида

умножив матрицу саму на себя четыре раза, получим результат 

Значение степени может быть от 2-х и выше.

У степенных матриц есть интересные свойства которые рассмотрим

Единичная матрица, то есть матрица у которой все значения равны нулю, кроме тех что стоят на главной диагонали(=1). 

в любой степени будет тоже являтся единичной матрицой.

матрица вида  

в кубической степени будет равна 

а в 7 степени  

 

Интересное свойство проявляется в матрице  

Взяв в степень 4, 8, 12 и так далее - мы получаем единичную матрицу  

А если же исходную матрицу брать в степени 2,6,10 и так далее то получаем "зеркальную" единичную матрицу 

Нечетные степени тоже интересно преобразовывают матрицу. Но это  мы рекомендуем самим увидеть и проанализировать.

Еще одна удивительная матрица это

Возводя её в любую степень получаем  исходную матрицу. Много ли таких уникальных матриц, и насколько много было бы любопытно узнать.

Синтаксис 

Jabber: step_m  матрица; степень матрицы

где,

Матрица - строка, содержащая элементы матрицы ( в том числе и комплексные) разделенная пробелами

элементом матрицы может быть произвоольное корректное математическое выражение, содержащее как вещественые так и мнимые числа.

Степень матрицы- целочисленное, положительное значение

Убедительная просьба: Если уж пишете мнимые единицы то обозначайте их знаком i (ай) а не j(джи). Будьте внимательнее в написании исходных данных!!.

Примеры 

Исходная  матрица       

Взяв эту матрицу в седьмой степени мы получим

Обратная матрица  исходной,  равна 


Удачных расчетов!! 

  • Возведение полинома (многочлена) в степень >>

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

 

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .


Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 3, число столбцов в матрице B - 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 1, число столбцов в матрице B - 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке "Компьютеры и программирование".

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .              

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где

-
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :


                                                                                               

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :



Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

Поделиться с друзьями

Начало темы "Матрицы"

Продолжение темы "Матрицы"

Другие темы линейной алгебры

Поднять матрицу до дробной степени



Я пытаюсь достичь A^k в R с дальнейшим предположением, что k не является целым числом (и, возможно, меньше 1).% 1 при использовании этой команды.

r matrix
Поделиться Источник maciek_impr     12 апреля 2015 в 13:47

3 ответа


  • Как я могу использовать numpy.linalg.matrix_power в python, чтобы поднять матрицу до большой мощности?

    Я пытаюсь поднять матрицу до высокой степени в python/numpy., кажется, что для больших показателей результаты неверны(какое-то переполнение?), выше 10000. Является ли это известным поведением функции numpy.linalg.matrix_power или я что-то упускаю? Вот код, который я пытаюсь использовать с его...

  • Поднять матрицу до мощности C++

    Я написал функцию, чтобы поднять матрицу до определенной степени. Но при запуске кода результатом является ячейка памяти, а не фактические значения. Я думаю, что проблема в указателях. Мой код: #include <iostream> using namespace std; typedef int array2d [2][2]; array2d A,B,r; void.% k" соответствует матрице k - 1 умножения, ‘x %*% x %*% ... %*% x".

    Обратите внимание на определение k :

    k: целое число, k >= 0.

    Я считаю, что если вам нужны дробные полномочия, вы можете сделать что-то вроде:

    z <- matrix(c(3,1,1,3),2,2)
    expm(1.3*logm(z))
    ## Note ...
    
    ##              [,1]     [,2]
    ##     [1,] 4.262578 1.800289
    ##     [2,] 1.800289 4.262578
    

    Я думаю, что это может работать только для положительно определенных матриц.

    Поделиться Ben Bolker     12 апреля 2015 в 14:30



    1

    В случае, если это все еще актуально для вас, и, как уже указывалось, мой собственный пакет под названием 'powerplus' имеет функцию под названием 'Matpow', которая позволяет вам поднять любую диагонализуемую матрицу до любой степени (даже сложные степени после недавнего обновления). Edit: Версия 3.0 расширяет возможности и для (некоторых) недиагонализуемых матриц.

    Поделиться Albert Dorador     15 июля 2016 в 06:53



    0

    Сегодня утром у меня была та же проблема (к сожалению, logm работает только для матриц, для которых существует его журнал... очевидно, это не мой случай), и после некоторых исследований я нашел пакет matlib (функция mpower) и пакет powerplus (функция Matpow). Оба принимают нецелые степени, но matlib имеет ограничение, что входная матрица должна быть симметричной. Поэтому я в конечном итоге использовал Matpow из пакета powerplus, и это сделало свое дело. Надеюсь, это поможет!

    Поделиться A. Bateman     16 апреля 2016 в 10:35



    Похожие вопросы:


    Поднять матрицу до комплексной мощности

    Я внедряю библиотеку, которая использует GSL для матричных операций. Я сейчас нахожусь в точке, где мне нужно поднять вещи до любой силы, в том числе и воображаемой. У меня уже есть код для...


    В Python, как я могу поднять квадратную матрицу, представленную как numpy.ndarray, до нецелых степеней?

    Предположим, что у меня есть квадратная матрица, которая может быть возведена в степень -1/2. Я хочу поднять квадратную матрицу, представленную как numpy.ndarray до -1/2. Обратите внимание,что я...


    Как я могу поднять матрицу в степень с несколькими потоками?

    Я пытаюсь поднять матрицу до степени с несколькими потоками, но я не очень хорошо разбираюсь в потоках. Также я ввожу количество потоков с клавиатуры, и это число находится в диапазоне [1, высота...


    Как я могу использовать numpy.linalg.matrix_power в python, чтобы поднять матрицу до большой мощности?

    Я пытаюсь поднять матрицу до высокой степени в python/numpy., кажется, что для больших показателей результаты неверны(какое-то переполнение?), выше 10000. (1/p)) в моем двоичном поиске. Но р-это очень, очень большое число. Я написал, используя...


    Нельзя поднять отрицательные числа до дробной степени

    x1 = -b + (b **2 - 4*a*c) ** 0.5 x2 = x1 / (2 * a) Моя программа принимает пользовательский ввод и решает квадратичную функцию. Однако он не может обрабатывать отрицательные числа, и я получаю...


    Как поднять число до степени 1 / n в Ruby?

    Я просто хочу поднять число до степени 1/n., если я сделаю это таким образом: 2**(1/7), я всегда получаю 1, независимо от n; и это происходит только тогда, когда делитель равен 1. Заранее спасибо.


    Как я могу поднять двойной тип данных до степени, на языке Dart?

    Как я могу поднять двойной тип данных до степени, на языке Dart например 1.08 повышен до 2.05 потому что с помощью функции pow(), предоставляемой dart:math, я могу присваивать только целочисленные...

    Объяснитель уроков: сила матрицы

    В этом пояснительном материале мы узнаем, как использовать умножение матриц для определить квадрат и куб квадратной матрицы.

    Есть много матричных операций, очень похожих на хорошо известные операции из обычной алгебры, такие как сложение, вычитание и масштабирование. Кроме того, хотя умножение матриц существенно больше сложнее, чем его традиционный аналог, он все еще в некоторой степени отражает некоторые алгебраические свойства оригинала.

    Одна операция, которая является центральной как для традиционной алгебры, так и для алгебры с использованием матрицы - это возведение в степень, которое обычно называют взятием мощность числа или матрицы. В в обычной алгебре можно взять почти любое число 𝑥 и возвести в степень, давая 𝑥. За исключением приведения нуля в отрицательную степень, это не имеет значения. независимо от того, является ли 𝑥 или 𝑦 нулем, отличным от нуля, целым числом, нецелочисленный, рациональный, иррациональный или сложный, поскольку результат всегда может быть рассчитано.То же самое не верно при работе с матрицами, где матрица 𝐴 не всегда можно возвести в степень. Чтобы лучше всего обрисовать эти потенциальные осложнения, давайте сначала определим простейшую форму возведение в степень матрицы: возведение матрицы в квадрат.

    Определение: квадрат матрицы

    Если 𝐴 - квадратная матрица, 𝐴 определяется как 𝐴 = 𝐴 × 𝐴.

    Другими словами, как и для возведения чисел в степень (т. Е. 𝑎 = 𝑎 × 𝑎) квадрат получается умножением матрица сама по себе.

    Как можно заметить, самым основным требованием к возведению в степень матрицы должно быть определено, что должно быть квадратным. Это потому, что на двоих общие матрицы 𝐴 и 𝐵, матрица умножение 𝐴𝐵 корректно определено только в том случае, если имеется такое же количество столбцов в 𝐴, как есть строки в rows. Если 𝐴 имеет порядок 𝑚 × 𝑛 и Имеет порядок 𝑛 × 𝑝, то Корректно определено и имеет порядок 𝑚 × 𝑛. Если бы мы только рассмотрели матрицу и попытались завершить умножение матриц 𝐴 = 𝐴 × 𝐴, то мы были бы попытка умножить матрицу порядка 𝑚 × 𝑛 на другая матрица порядка 𝑚 × 𝑛.Это может быть только хорошо определено, если 𝑚 = 𝑛, что означает, что 𝐴 должно быть матрица порядка 𝑛 × 𝑛 (другими словами квадрат). В порядок 𝐴, следовательно, идентичен исходной матрице 𝐴.

    Есть и другие ограничения на принятие степеней матриц, не существуют для действительных чисел. Например, в отличие от обычных чисел, у нас нет способ определения того, что такое 𝐴, и отрицательная сила матрицу вычислить гораздо сложнее. Кроме того, обычные законы возведение в степень не обязательно распространяется на матрицы так же, как они работают с числами, которые мы исследуем позже в этом пояснении.

    А пока давайте продемонстрируем, как возведение матрицы в квадрат работает в простом, нетривиальном дело. Определим матрицу 𝐴 = 1−325.

    Для вычисления матрицы 𝐴 мы умножаем матрицу 𝐴 само по себе. Другими словами, у нас есть 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 = 1−3251−325.

    Как и ожидалось, это умножение хорошо определено, так как у нас есть Матрица 2 × 2, умноженная на 2 × 2 матрица. Теперь осталось завершить умножение матриц, которое мы можем сделать для каждой записи (𝑖, 𝑗) путем умножения элементов в строке 𝑖 левой матрицы элементами столбца 𝑗 правой матрицы и суммируя их.Мы демонстрируем это процесс ниже:

    Теперь, когда все записи вычислены, мы можем написать, что 𝐴 =  − 5−181219.

    Давайте теперь рассмотрим пример, в котором мы можем применить эту технику возведения в квадрат матрица для решения проблемы.

    Пример 1: Нахождение квадрата матрицы

    Для 𝐴 = 4−54−5, напишите 𝐴 как кратное 𝐴.

    Ответ

    Прежде чем пытаться записать 𝐴 как кратное 𝐴, нам нужно вычислить сам.Заполнение необходимой матрицы умножение дает 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 = 4−54−54−54−5 =  − 45−45.

    Выходная матрица 𝐴 такая же, как исходная матрица 𝐴, за исключением того, что каждая запись была умножена на -1. Мы следовательно, обнаруживаем, что может быть записано в терминах самого себя с помощью выражение 𝐴 = −𝐴.

    Увидев простой пример использования мощности матрицы, отметим, что мы часто приходится иметь дело с выражениями, которые потенциально включают несколько матрицы, а также другие матричные операции.К счастью, у нас не должно быть проблемы, связанные с такими вопросами, если мы применяем одни и те же принципы мы только что узнали.

    Пример 2: Вычисление матричных выражений, включающих полномочия

    Рассмотрим матрицы 𝑋 =  − 3−35−6, 𝑌 = 136−6. Что такое 𝑋 − 𝑌?

    Ответ

    Мы должны начать с вычисления 𝑋 и 𝑌 обычным способом. Вычисляем, что 𝑋 = 𝑋 × 𝑋 =  − 3−35−6 − 3−35−6 =  − 627−4521.

    Также имеем 𝑌 = 𝑌 × 𝑌 = 136−6 136−6 = 19−15−3054.

    Теперь, когда у нас есть 𝑋 и 𝑌, это легко вычислить, что 𝑋 − 𝑌 =  − 627−4521 − 19−15−3054 =  − 2542−15−33.

    Вероятно, неудивительно, что мы можем легко взять, например, третий мощность матрицы, используя наше понимание того, как мы находим вторую степень матрицы, как мы сделали выше.

    Давайте исследуем, как работает третья степень матрицы. По определению третья степень квадратной матрицы 𝐴 задается формулой 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴.

    Обратите внимание, что использование ассоциативного свойства умножения матриц вместе с определения 𝐴, мы можем записать правую часть это как 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 = (𝐴 × 𝐴) × 𝐴 = 𝐴 × 𝐴.

    В качестве альтернативы мы можем использовать ассоциативность двух последних членов, чтобы записать это как 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 = 𝐴 × (𝐴 × 𝐴) = 𝐴 × 𝐴.

    Итак, мы показали, что 𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. В другом слов, как только мы вычислили 𝐴, мы можем найти 𝐴 путем умножения 𝐴 справа (или слева) пользователя 𝐴.

    Увидев, как работает возведение в степень для возведения в квадрат и куб, мы могли бы вообразить мы можем применить те же принципы к любой степени.С Следуя определению, это возможно.

    Определение: степень матрицы

    Если 𝐴 - квадратная матрица, а 𝑘 - положительное целое число, дается 𝑘-я степень числа по 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴,  где имеется 𝑘 копий матрицы.

    В дополнение к этому определению отметим, что, используя ту же логику, что и выше, можно вычислить (для любого положительного целого) сначала вычислив 𝐴 и умножив на дополнительный справа или слева.Так, например, 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 = 𝐴 × 𝐴, и так далее.

    Давайте теперь рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить третью степень матрица.

    Пример 3: Вычисление старших степеней матриц

    Учитывая матрицу 𝐴 = 40−37, вычислить 𝐴 − 3𝐴.

    Ответ

    Мы должны начать с вычисления 𝐴, а затем использовать этот результат для рассчитать 𝐴. Мы находим, что 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 = 40−3740−37 = 160−3349.

    Теперь у нас есть обе матрицы 𝐴 = 40−37, 𝐴 = 160−3349,  что означает, что мы можем вычислить 𝐴 как матричное умножение между 𝐴 и 𝐴: 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 = 40−37160−3349 = 640−279343.

    Теперь у нас есть все необходимое для вычисления искомого выражения: 𝐴 − 3𝐴 = 640−279343 − 3160−3349 = 640−279343 − 480−99147 = 160−180196.

    . 2 × 2 матрицы, но расширение до более высоких порядков квадратные матрицы очень естественны. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы могли бы найти степень матрицы 3 × 3.

    Пример 4: возведение в квадрат матрицы 3 × 3

    Рассмотрим 𝐴 = 112101210.

    Найдите 𝐴.

    Ответ

    Матрица 𝐴 имеет порядок 3 × 3, что означает, что 𝐴 также будет иметь этот порядок. Поэтому мы ожидаем найти матрицу вида 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 = 112101210112101210 =  ∗∗∗∗∗∗∗∗∗,  где необходимо вычислить элементы ∗. Заполним матрицу умножение полностью, полностью иллюстрируя каждый шаг.

    Сначала мы вычисляем запись в первой строке и первом столбце самой правой матрицы: 112101210112101210 = 6 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗.

    Расчет 1 × 1 + 1 × 1 + 2 × 2 = 6. Теперь посчитаем запись в первая строка и второй столбец самой правой матрицы: 112101210112101210 = 63 ∗∗∗∗∗∗∗∗ .

    Расчет 1 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 = 3. Далее мы сосредотачиваемся на записи в первая строка и третий столбец самой правой матрицы: 112101210112101210 = 633 ∗∗∗∗∗∗∗ .

    Расчет 1 × 2 + 1 × 1 + 2 × 0 = 3. Теперь мы переходим ко второму ряду крайняя правая матрица, возвращающаяся к первому столбцу: 112101210112101210 = 6333 ∗∗∗∗∗∗ .

    Расчет 1 × 1 + 0 × 1 + 1 × 2 = 3. Затем мы берем запись во втором строка и второй столбец: 112101210112101210 = 63332 ∗∗∗∗ ,

    Расчет 1 × 1 + 0 × 0 + 1 × 1 = 2. Последняя запись во второй строке: затем вычислили: 112101210112101210 = 633322 ∗∗∗ .

    Расчет 1 × 2 + 0 × 1 + 1 × 0 = 2. Запись в третьей строке и первой столбец рассчитывается: 112101210112101210 = 6333223 ∗∗ .

    Расчет 2 × 1 + 1 × 1 + 0 × 2 = 3. Предпоследняя запись тогда завершенный: 112101210112101210 = 63332232 ∗ .

    Расчет 2 × 1 + 1 × 0 + 0 × 1 = 2. Затем разрабатывается окончательная запись: 112101210112101210 = 633322325.

    Расчет 2 × 2 + 1 × 1 + 0 × 0 = 5. Теперь, когда все записи крайнего правого матрица найдена, ответ можно записать как 𝐴 = 633322325.

    Учитывая, что взятие мощности матрицы включает в себя повторяющуюся матрицу умножения, мы могли разумно ожидать, что алгебраические правила матрицы умножение в некоторой степени повлияет на правила возведения в степень матрицы подобным образом.Хотя это до некоторой степени очевидно, опасно обращайтесь к правилам обычной алгебры при ответах на вопросы, включающие матрицы в предположении, что они все еще будут выполняться. В следующих Например, мы будем рассматривать каждое утверждение индивидуально и представим соответствующие свойства матричного умножения в тандеме, объясняя, почему данные утверждения верны или не верны в результате.

    Пример 5: Проверка свойств степеней матриц

    Какое из следующих утверждений верно для всех 𝑛 × 𝑛 матрицы 𝐴 и 𝐵?

    1. 𝐴𝐵 = 𝐴 (𝐴𝐵) 𝐵
    2. (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 2𝐴𝐵 + 𝐵
    3. (𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
    4. (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 2𝐴𝐵 + 𝐵
    5. (𝐴 + 𝐵) (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 𝐵

    Ответ

    1. Умножение матриц является ассоциативным, что означает, что 𝐴 (𝐵𝐶) = (𝐴𝐵) 𝐶.Мы могли бы продолжить эту роль, чтобы получить результаты например (𝐴𝐵) (𝐶𝐷) = 𝐴 (𝐵𝐶) 𝐷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 и т. д. В данном уравнения, левая часть - это, что по определению можно записать как 𝐴𝐵 = 𝐴𝐴𝐵𝐵. Учитывая ассоциативность свойство умножения матриц, мы можем написать, что 𝐴𝐵 = 𝐴 (𝐴𝐵) 𝐵 и тем самым подтвердить, что данное утверждение верно.
    2. Обычная алгебра коммутативна над умножением. Для двух вещественных чисел 𝑎 и 𝑏, это означает, что 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.Этот результат позволяет нам взять такое выражение, как (𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏 и использовать коммутативное свойство собирать два средних члена правой части: (𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏. Однако умножение матриц, как правило, не коммутативно, что означает, что 𝐵𝐴 𝐵𝐴, за исключением особых обстоятельств (таких как диагональные матрицы или одновременно диагональные матрицы). Следовательно, разложение (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 − 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 + 𝐵 не может можно упростить в предположении, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴.Следовательно, данный заявление ложно.
    3. Чтобы завершить умножение матриц (𝐴𝐵) , мы можем начать с запись (𝐴𝐵) = (𝐴𝐵) (𝐴𝐵) = 𝐴 (𝐵𝐴) 𝐵,, где мы использовали свойство ассоциативности, чтобы упорядочить последнее выражение. Поскольку матричное умножение не коммутативно, член в квадратных скобках (𝐵𝐴) нельзя переставить как (𝐴𝐵), что означает что мы не можем переписать окончательное выражение как 𝐴𝐴𝐵𝐵, что допустили упрощение 𝐴𝐵.Учитывая, что это не В этом случае утверждение является ложным.
    4. Мы имеем, что (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵. Поскольку обычно 𝐴𝐵 ≠, мы не можем получить упрощение, данное в вопросе.
    5. Начнем с завершения разложения (𝐴 + 𝐵) (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 + 𝐵𝐴 − 𝐴𝐵 − 𝐵. Мы знаем, что, как правило, 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵, что означает, что мы не можем записать правую часть в виде 𝐴 − 𝐵 и, следовательно, утверждение в вопросе неверно.

    Следовательно, правильный ответ - вариант А.

    Несмотря на то, что некоторые общепринятые правила алгебры не выполняются для матриц, есть еще некоторые правила, управляющие степенями матриц, которые мы можем положиться. В частности, законы экспонент для чисел могут быть распространяется на матрицы следующим образом.

    Свойство: сложение и умножение степеней матрицы

    Если 𝐴 - квадратная матрица, а 𝑟 и 𝑠 - натуральные числа, то 𝐴𝐴 = 𝐴, (𝐴) = 𝐴.

    В последнем примере мы рассмотрим преобразование матрицы в гораздо более высокую степень и посмотрите, как указанные выше свойства можно использовать по касательной к идентификации закономерность поведения матрицы при возведении в степень.

    Пример 6: Нахождение старшей степени матрицы путем исследования паттерна своих полномочий

    Если 𝐴 = 905−9, тогда 𝐴 = .

    Ответ

    Как 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴 (шестьдесят раз), очевидно, нам следует избегать попыток вычислить это напрямую. Вместо этого, давайте исследуем эффект, что принятие полномочий Имеет для малых степеней и см. можем ли мы определить закономерность.

    Если мы умножим 𝐴 на себя, другими словами, если мы найдем 𝐴 = 𝐴 × 𝐴, имеем 𝐴 = 905−9905−9 = 9009.

    Отметим, что, поскольку это диагональная матрица, эта форма может быть полезной для матрица, в которую нужно входить. Продолжая двигаться дальше, если мы вычислим 𝐴 = 𝐴 × 𝐴, имеем 𝐴 = 9009905−9 = 909⋅5−9.

    Интересно, что матрица больше не диагональная. Чтобы продолжить расследование шаблон, вычислим 𝐴 = 𝐴 × 𝐴. Это 𝐴 = 909⋅5−9905−9 = 9009.

    На этом этапе можно распознать шаблон. Для равных полномочий матрицы мы предполагаем, что матрица диагональна и матрица ненулевыми элементами являются 9, где 𝑛 - мощность матрицы.Для нечетных степеней это не так, поскольку есть ненулевые записи в нижнем левом углу и нижнем правом углу запись становится отрицательной. Однако, поскольку нам нужно только найти 𝐴 где 60 - четная степень, нам нужно только рассмотреть первый случай.

    Давайте теперь покажем, как мы можем найти 𝐴, используя четное мощность матрицы. Напомним, что 𝐴 = 9009.

    Отметим, что скаляр 9 можно вынести за пределы матрицы, переписав его в виде: 𝐴 = 91001.

    Это единичная матрица 2 × 2 𝐼 умножить на константу. Теперь мы знаем, что единичная матрица имеет свойство 𝐼𝑋 = 𝑋𝐼 = 𝑋, где 𝑋 - любая матрица 2 × 2. В частности, если 𝑋 = 𝐼, имеем 𝐼 = 𝐼 × 𝐼 = 𝐼.

    Мы можем распространить это на любую степень, т. Е. 𝐼 = 𝐼.

    Мы можем использовать это свойство для вычисления 𝐴. Давайте также напомним свойство (𝐴) = 𝐴, что позволяет нам переписать 𝐴 следующим образом: 𝐴 = 𝐴.

    Поскольку we = 9𝐼, это означает 𝐴 = 9𝐼 = 9𝐼 = 9𝐼 = 31001.

    Так как, 9 = 3.

    Затем, 9 = 3 = 3.

    Есть много связанных тем, которые подтверждают обоснованность изучения матричного возведения в степень. При работе с квадратной матрицей ясно, что многократное умножение такой матрицы на себя приведет к обычно приводят к результатам, которые становится все сложнее вычислить с учетом больших чисел вовлечены, как мы видели в нескольких приведенных выше примерах.Поэтому выгодно иметь возможность максимально снизить сложность этих вычислений. При определенных обстоятельства, можно диагонализовать матрицу, что значительно уменьшает сложность вычисления его целочисленных степеней.

    Давайте закончим рассмотрением основных вещей, которые мы узнали в этом объяснитель.

    Ключевые моменты

    • Для квадратной матрицы 𝐴 и положительного целого числа 𝑘, мы определяем степень матрицы повторением матрицы умножение; Например, 𝐴 = 𝐴 × 𝐴 × ⋯ × 𝐴,  где имеется 𝑘 копий матрицы 𝐴 с правой стороны.
    • Важно понимать, что мощность матрицы только хорошо определяется, если матрица является квадратной матрицей. Кроме того, если Имеет порядок 𝑛 × 𝑛, то это будет случай для 𝐴, 𝐴 и так далее.
    • Более высокие степени матрицы могут быть вычислены со ссылкой на нижние степени матрицы. Другими словами, 𝐴 = 𝐴 × 𝐴, 𝐴 = 𝐴 × 𝐴, и так далее.
    • Если 𝐴 - квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 - натуральные числа, то 𝐴𝐴 = 𝐴, (𝐴) = 𝐴.
    Матричный калькулятор мощности

    (экспоненциальный) - онлайн-инструмент

    Поиск инструмента

    Мощность матрицы

    Инструмент для вычисления экспоненциальной матрицы в алгебре. Мощность матрицы заключается в возведении в степень матрицы (умножении на себя).

    Результаты

    Мощность матрицы

    - dCode

    Тэги: Matrix

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Как рассчитать матрицу мощности n?

    $ M $ - квадратная матрица сайта $ m $ ($ m $ строк и $ m $ столбцов).2 = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 7 & 10 \ \ 15 & 22 \ end {bmatrix} $$

    Размер результирующей матрицы идентичен исходной матрице M; то есть $ m $ строк и $ m $ столбцов.

    Вычисление мощности матрицы работает только для квадратных матриц (2x2, 3x3, 4x4, 5x5 и т. Д. Из-за ограничений на умножение "> матричных произведений) и используется для некоторых матриц, таких как стохастические матрицы.{1 / n} $ эквивалентен корню $ n $ -й степени.

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента Matrix Power. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Matrix Power» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Matrix Power 'функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Matrix Power» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Похожие страницы

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    степень, экспонента, квадрат, матрица

    Ссылки


    Источник: https: // www.dcode.fr/matrix-power

    © 2021 dCode - Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. Матричный калькулятор мощности

    (экспоненциальный) - онлайн-инструмент

    Поиск инструмента

    Мощность матрицы

    Инструмент для вычисления экспоненциальной матрицы в алгебре. Мощность матрицы заключается в возведении в степень матрицы (умножении на себя).

    Результаты

    Мощность матрицы

    - dCode

    Тэги: Matrix

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Как рассчитать матрицу мощности n?

    $ M $ - квадратная матрица сайта $ m $ ($ m $ строк и $ m $ столбцов).2 = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 7 & 10 \ \ 15 & 22 \ end {bmatrix} $$

    Размер результирующей матрицы идентичен исходной матрице M; то есть $ m $ строк и $ m $ столбцов.

    Вычисление мощности матрицы работает только для квадратных матриц (2x2, 3x3, 4x4, 5x5 и т. Д. Из-за ограничений на умножение "> матричных произведений) и используется для некоторых матриц, таких как стохастические матрицы.{1 / n} $ эквивалентен корню $ n $ -й степени.

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента Matrix Power. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Matrix Power» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Matrix Power 'функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Matrix Power» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Похожие страницы

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    степень, экспонента, квадрат, матрица

    Ссылки


    Источник: https: // www.dcode.fr/matrix-power

    © 2021 dCode - Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. Матричный калькулятор мощности

    (экспоненциальный) - онлайн-инструмент

    Поиск инструмента

    Мощность матрицы

    Инструмент для вычисления экспоненциальной матрицы в алгебре. Мощность матрицы заключается в возведении в степень матрицы (умножении на себя).

    Результаты

    Мощность матрицы

    - dCode

    Тэги: Matrix

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Как рассчитать матрицу мощности n?

    $ M $ - квадратная матрица сайта $ m $ ($ m $ строк и $ m $ столбцов).2 = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 7 & 10 \ \ 15 & 22 \ end {bmatrix} $$

    Размер результирующей матрицы идентичен исходной матрице M; то есть $ m $ строк и $ m $ столбцов.

    Вычисление мощности матрицы работает только для квадратных матриц (2x2, 3x3, 4x4, 5x5 и т. Д. Из-за ограничений на умножение "> матричных произведений) и используется для некоторых матриц, таких как стохастические матрицы.{1 / n} $ эквивалентен корню $ n $ -й степени.

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента Matrix Power. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Matrix Power» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Matrix Power 'функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Matrix Power» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Похожие страницы

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    степень, экспонента, квадрат, матрица

    Ссылки


    Источник: https: // www.2 = 1 $$

    Показанные там "вертикальные плоскости" (показаны только 3, для $ n = -1,0,1 $) идентифицируются по их координате $ z $ и помещаются только в $ n $ (целые) значения.

    Это было отправной точкой: расширение целочисленных значений $ n $ на все действительные значения $ z $ будет означать рассмотрение непрерывного набора «вертикальных плоскостей»: это будет включать степени матриц, поскольку $ n $ будет отображаться как матрица экспонента, в следующем.

    Я предполагаю, что каждая вертикальная плоскость $ z = n $ "содержит" систему координат $ (x_n, y_n) $, точно так же, как эти системы координат "жили" на этих плоскостях. {(- 1)} $$

    означает «применить обратное преобразование один раз».

    Но, рассматривая эту матрицу как преобразование координат, мы видим, что точка $ (1,0) $ на плоскости $ n = 0 $ "перескакивает вперед" на плоскость $ n = 1 $ и "вращается по часовой стрелке" до точки $ (3, 2) $, при применении «преобразования вперед », в то время как мы видим ту же точку $ (1,0) $, которая «перескакивает через BWD» на плоскость $ n = -1 $ и «вращается против часовой стрелки» до точки $ (3, -2) $, при применении «обратного преобразования ».

    Из-за рекурсивности «генератора следующего раствора»:

    $$ (x, y) _ {(n + 1)} = \ begin {pmatrix} 3 и 4 \\ 2 и 3 \\ \ end {pmatrix} (x, y) _ {(n)} $$

    такой вид «прыжка и поворота» применяется ко всем «целочисленным решениям» уравнения Пеллса: действительно, как преобразование координат, все точки на плоскости «вращаются» в другие точки.

    Это также предполагает, что «все точки параболоидов« вращаются »в 3D»:

    • $ (1,0,0) $ преобразуется в $ (3,2,1) $

    • $ (1,0,0) $ подвергается обратному преобразованию в $ (3, -2, -1) $

    Размещение «вертикальных плоскостей» между ними «помогает визуализировать движение»: это дискретное движение ($ n $ шагов на $ 1 $, а не на $ dz $): можно ли «расширить», чтобы это непрерывный ?

    При геометрической интерпретации, приведенной выше, «расширение» этого «движения» до «непрерывного» означает «расширение целочисленных степеней матриц до действительных степеней» .{-1} \) является обратным к \ (rA \ text {.} \)

Умножение и степень матриц

Вопросы по умножению матриц

  • Часть 1
    A, B, C, D и E - это матрицы с порядками
    А: 2 3, В: 3 5, С: 5 1, Е: 1 5
    Какие из следующих определений?
    1. \ (А Б \)
    2. \ (А С \)
    3. \ (С Е \)
    4. \ (Э С \)
    5. \ ((А Б) С \)
  • Часть 2
    A, B, C, D и E - это матрицы, определяемые по формуле: \ [ A = \ begin {bmatrix} -1 и 1 и -2 \\ 0 и -2 и 1 \ end {bmatrix} , \ quad B = \ begin {bmatrix} -1 и 2 и 0 \\ 0 & -3 & 4 \\ -1 и -2 и 3 \ end {bmatrix} , \ quad C = \ begin {bmatrix} -3 и 2 и 9 и -5 и 7 \ end {bmatrix} \\ D = \ begin {bmatrix} -2 и 6 \\ -5 и 2 \ end {bmatrix} , \ quad E = \ begin {bmatrix} 3 \\ 5 \\ -11 \ end {bmatrix} , \ quad F = \ begin {bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 и -3 и 4 \\ 1 и 4 и -3 \ end {bmatrix} \] Найдите, если возможно:
    1. \ (А Б \)
    2. \ (В С \)
    3. \ (А Д \)
    4. \ (E F \)
    5. \ (F E \)
  • Часть 3
    Найдите x и y, если \ [ \ begin {bmatrix} х + у & -2 \\ х - у & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 2 & -1 \\ 0 и -2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 8 & 0 \\ 12 & -8 \\ \ end {bmatrix} \]
  • Часть 4
    Расчет \ [\ left (\ begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 и 2 и 0 \ end {bmatrix} \ right) ^ {10} \]

Решения вышеперечисленных вопросов

  • Часть 1
    A, B, C, D и E - это матрицы с порядками
    А: 2 3, В: 3 5, С: 5 1, Е: 1 5
    Какие из следующих определений?
    1. \ (A B \): определено, потому что количество столбцов A равно количеству строк B.
    2. \ (A C \): НЕ определено, количество столбцов A НЕ равно количеству строк C.
    3. \ (C E \): определено, потому что количество столбцов C равно количеству строк E.
    4. \ (E C \): определено, потому что количество столбцов E равно количеству строк C.
    5. \ ((AB) C \): определено, потому что определено AB (см. Выше), а результаты представляют собой матрицу порядка 2 на 5. Количество столбцов AB равно 5, что равно количеству строк С.
  • Часть 2
    1. \ (A B \) определяется как
      \ ( A B = \ begin {bmatrix} -1 и 1 и -2 \\ 0 и -2 и 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} -1 и 2 и 0 \\ 0 & -3 & 4 \\ -1 и -2 и 3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -1 & 4 & -5 \ end {bmatrix} \)
    2. \ (B C \) не определен, потому что количество столбцов B не равно количеству строк C.
    3. \ (A D \) не определен, потому что количество столбцов A не равно количеству строк D.
    4. \ (E F \) не определен, потому что количество столбцов E не равно количеству строк F.
    5. \ (F E \) определяется и задается формулой
      \ ( F E = \ begin {bmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 и -3 и 4 \\ 1 и 4 и -3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 \\ 5 \\ -11 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -25 \\ -65 \\ 56 \ end {bmatrix} \)
  • Часть 3
    Найдите продукт \ ( \ begin {bmatrix} х + у & -2 \\ х - у & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 2 & -1 \\ 0 и -2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2х + 2у & -x-y + 4 \\ 2x - 2y и -x + y-2 \ end {bmatrix} \)
    затем решите
    \ ( \ begin {bmatrix} 2х + 2у & -x-y + 4 \\ 2x - 2y и -x + y-2 \ end {bmatrix} знак равно \ begin {bmatrix} 8 & 0 \\ 12 и -8 \ end {bmatrix} \)

    Две матрицы равны, если они имеют одинаковый порядок и соответствующие им элементы равны, следовательно, система уравнений
    \ (2x + 2y = 8, -x-y + 4 = 0, 2x - 2y = 12, -x + y-2 = - 8 \)
    Решить, чтобы получить х = 5 и у = -1

  • Часть 4
    Расчет Перепишите матрицу следующим образом: \ [\ begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 и 2 и 0 \ end {bmatrix} = 2 \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 и 1 и 0 \ end {bmatrix} \] Следовательно \ [\ left (\ begin {bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 и 2 и 0 \ end {bmatrix} \ right) ^ {10} = 2 ^ {10} \ left (\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 и 1 и 0 \ end {bmatrix} \ right) ^ {10} \] Отметим, что матрица \ (\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 и 1 и 0 \ end {bmatrix} \) - это строковые операции и элементарная матрица соответствующие чередованию строк 2 и 3.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *