16 ричная система счисления таблица: Шестнадцатеричная система счисления | Информатика

Занятие 4

Повторение Как, не производя никаких дополнительных действий, найти: Произведение любого двоичного числа на 2? Остаток от деления любого двоичного числа на 2? Как проще всего умножить любое двоичное число на 3? Как проще всего умножить любое 16-ричное число на 24? Установите признак делимости двоичного числа на 3 (для этого вспомните признаки делимости десятичных чисел). Умножение и деление на разрядную единицу &nbsp &nbsp Как и в десятичной системе счисления, так и в любой другой, умножение и деление чисел на разрядные единицы (элементы базиса) сводится к передвижению запятой на соответствующее количество знаков влево или вправо. &nbsp &nbsp Например, 12F,AC16:1610=12,FAC16; 34,758*6410=34758; Соответствие чисел, записанных в системах счисления с основанием 2 k &nbsp &nbsp Составляя таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления, вы убедились, что запомнить эти таблицы достаточно легко, выполнять действия над числами в двоичной системе счисления также просто. &nbsp &nbsp Отметим один существенный недостаток двоичных чисел – большое количество цифр в такой записи. Представьте себе, сколько знаков в двоичной системе счисления будет занимать адрес байта оперативной памяти с номером 65536 – 17 разрядов! &nbsp &nbsp С другой стороны, очень трудно запомнить таблицы сложения и умножения в 16-ричной системе счисления, зато числа, записанные в 16-ричной системе счисления – короткие, если можно так выразиться. &nbsp &nbsp Поэтому для внешнего представления данных в компьютере, а также для адресации байтов оперативной памяти, на большинстве современных компьютеров имеется еще одна система счисления – 16-ричная. &nbsp &nbsp Существуют простые алгоритмы перевода двоичных чисел в шестнадцатеричные и обратно. Эти алгоритмы базируются на том, что 16 – четвертая степень двойки, значит, двоичную запись числа из 4-х цифр можно представить в виде 16-ричной цифры. &nbsp&nbsp Рассмотрим это правило на примере. Переведем десятичное число 3 258 в двоичную и 16-ричную системы счисления. Получим 1100101110102 и СВА16. Значит, 1100101110102 = СВА16. &nbsp&nbsp А теперь каждую цифру 16-ричного числа заменим на соответствующую ей четверку двоичных знаков: С16=1210=11002; В16=1110=10112; А16=1010=10102. Записав эти последовательности в порядке следования, получим соответствующее двоичное число. &nbsp &nbsp Таким образом, для перевода 16-ричных чисел в двоичные каждая 16-ричная цифра представляется в виде 4-х разрядного двоичного числа – двоичной тетрады. Совокупность этих двоичных цифр и дает двоичную запись 16-ричного числа. &nbsp &nbsp Пример 1. А1F416→X2. Переведем каждую цифру числа в двоичную тетраду: &nbsp&nbsp A=1010 &nbsp&nbsp 1=0001 &nbsp&nbsp F=1111 &nbsp&nbsp 4=0100 &nbsp&nbsp Выпишем ответ: А1F416=10100001111101002. &nbsp&nbsp Пример 2. 4E316→X2. Выполним те же действия: &nbsp&nbsp 4=0100 &nbsp&nbsp E=1110 &nbsp&nbsp 3=0011 &nbsp&nbsp Выпишем ответ. Нули старшей цифры, стоящие слева, в двоичной записи числа можно не указывать: 4E316=100111000112. &nbsp&nbsp Так же переводятся и дроби, только при этом можно не указывать нули младшей цифры дробной части, стоящие справа. &nbsp&nbsp Пример 3. 5D,B816→X2. &nbsp&nbsp 5=0101 &nbsp&nbsp D=1101 &nbsp&nbsp B=1011 &nbsp&nbsp 8=1000 &nbsp&nbsp Получим: 5D,B816=1011101,101112. &nbsp&nbsp Сформулируем правило: Для перевода 16-ричных чисел в двоичные нужно каждую цифру 16-ричного числа представить в виде двоичной тетрады и записать полученную последовательность двоичных цифр, не указывая нули старшей цифры целой части, стоящие слева, и нули младшей цифры дробной части, стоящие справа. &nbsp&nbsp При обратном переводе нужно группировать цифры двоичного числа в тетрады, и каждую тетраду заменять 16-ричной цифрой. При этом иногда нужно дописывать недостающие нули в целой и дробной частях. &nbsp&nbsp Пример 4. 1&nbsp0100&nbsp1011,112→X16. Заметно, что при разбиении на тетрады, нужно дописать три нуля к старшей цифре целой части и два нуля к цифрам дробной части: 0001&nbsp0100&nbsp1011,1100. Заменив каждую полученную тетраду 16-ричной цифрой, получим: 0001&nbsp0100&nbsp1011,11002=14B,C16. &nbsp&nbsp Итак, для перевода двоичных чисел в 16-ричные нужно двоичное число разбить на тетрады – для целой части – справа налево, для дробной части – слева направо, дописывая недостающие нули. Для каждой тетрады записать ее 16-ричное значение. &nbsp&nbsp Подобные алгоритмы перевода справедливы для всех систем счисления, основания которых равны некоторой степени двойки. А также в общем случае — для всех пар систем счисления, в которых основание одной системы счисления есть некая степень основания другой системы счисления. &nbsp&nbsp Например, для перевода восьмеричных чисел в двоичные, нужно каждую цифру восьмеричного числа представить в виде тройки двоичных чисел (двоичной триады), поскольку 8=23. Для обратного перевода двоичное число нужно разбить на триады, и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой. &nbsp&nbsp Пример 5. 135,78→X2. &nbsp&nbsp 1=001 &nbsp&nbsp 3=001 &nbsp&nbsp 5=101 &nbsp&nbsp 7=111 &nbsp&nbsp Получим: 135,78=1011101,1112. &nbsp&nbsp Пример 6. 10&nbsp111,000&nbsp0112→X8. Заменив каждую триаду восьмеричной цифрой, получим: 010&nbsp111,000&nbsp011 2=27,038. Задачи К оглавлению

3.

1.4 Другие системы счисления, используемые в компьютерных технологиях

Вверх

 

Восьмеричная система счисления. Числа, записанные в системе с основанием  8, называются  восьмеричными. Основание системы счисления — q = 8. Изображение чисел производится восьмью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Восьмеричная система счисления используется в ЭВМ для кодирования команд в целях сокращения записи.

Шестнадцатеричная система счисления. Основание системы счисления — q = 16. В шестнадцатеричной системе счисления алфавит включает в себя 16 символов (цифры и буквы):  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F. Широко применяется для написания кодов операций констант и других специальных слов, не требующих перевода в десятичную систему счисления. В таблице 3.1 приведен алфавит для четырех систем счисления.

 

Таблица 3.1 — Алфавит систем счисления.

 

Основание	Название	Алфавит
2	двоичная	0 1
8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
10	десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

Любое число по специальным правилам можно перевести из одной системы счисления в другую. Рассмотрим эти правила.

Допустим, число Х из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием p. Числа, имеющие целую и дробные части, переводятся в два этапа: вначале целая часть числа, а затем дробная.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую осуществляется по следующему правилу:

—          целую часть числа делим на новое основание p;

—          полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием  р;

—          деление будем производить до тех пор, пока не получим частное меньше делителя;

—          последнее частное дает старшую цифру числа с основанием   р.

Пример. Число 191₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 191 на 8. Остатки от деления образуют восьмеричное число:

в результате .

 

 

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую. Предположим, что правильную дробь Х, представленную в системе с основанием q, требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляется по следующему правилу:

—                     исходное число умножаем на новое основание р;

—                     полученная при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой;

—                     дробную часть снова умножаем на основание р и т.д.

Пример. Перевести число 0,1875₁₀ в  восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

 

 

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Результат: .

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления и обратно. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются вспомогательными системами при подготовке задачи к решению. Удобство ее использования состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему и обратно несложен и выполняется простым механическим способом.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием , нужно:

 данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по  n цифр в каждой;

 если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

  рассмотреть каждую группу как n — разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием .

Значит для того чтобы произвольное число записать в системе счисления с основанием , т. е. перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления. Применительно к компьютерной информации часто используются системы счисления с основанием  8 (восьмеричная) и  16 (шестнадцатеричная).

Перевод  двоичных чисел в восьмеричную систему счисления. Для того чтобы двоичное число записать в восьмеричной системе счисления, необходимо разбить его на триады (т.е. группы по 3 цифры, так как ), начиная от запятой, отделяющей целую часть от дробной части. После этого каждая триада заменяется одной соответствующей ей восьмеричной цифрой. Недостающие справа и слева цифры восполняются нулями. Связь между двоичной и восьмеричной системами счисления приведена  в таблице 3.2. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных чисел.

 

Таблица 3.2 — Двоично-восьмеричная таблица

 

8 – ричная система счисления	2 –ичная система счисления
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

 

Пример. Перевести число  в восьмеричную систему счисления.

Перевод двоичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления. Для того чтобы двоичное число записать в 16-ричной системе счисления, необходимо разбить его на тетрады (группы из 4 цифр, т.к. ), начиная от запятой, в обе стороны. После этого каждая тетрада заменяется соответствующей ей 16-ричной цифрой. В этом случае используется двоично-шестнадцатеричная таблица.

Таблица 3.3 — Двоично-шестнадцатеричная таблица.

16 – ричная система счисления	2 – ичная система счисления	16 – ричная система счисления	2 – ичная система счисления
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

 

Пример  Перевести число 1011101,10111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления. Для перевода 8-ричного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру заменить соответствующей ей двоичной триадой. Для перевода 16-го числа в двоичную систему  счисления достаточно каждую шестнадцатеричную цифру заменить соответствующей ей двоичной тетрадой.

 

Пример.  Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления и восьмеричную.

Перевод осуществляется следующим образом:

 

0010	1010	0011,	0101	1001
2	А	3	5	9

 

т. е.

 

001	010	100	011,	010	110	010
1	2	4	3	2	6	2

 

т.е.

При переходе из 8-ричного счисления в 16-ричное счисление и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа.

Пример. Перевести число  перевести в 16-ичное счисление, 1CD,  в 8–е счисление

          7        6        0       2                F          8         2

 

                          С        E        4          5         6          7               6      3         4

 

                       1         C        D             4               7      1         5          2

Шестнадцатеричное число в двоичное — значение, таблица преобразования, примеры, часто задаваемые вопросы

Преобразование шестнадцатеричного числа в двоичное выполняется для получения двоичного эквивалента шестнадцатеричного числа. Система счисления бывает четырех типов, а именно: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Каждая из этих систем счисления имеет свое собственное основное число, которое помогает в процессе преобразования. Шестнадцатеричное преобразование в двоичное выполняется по их соответствующим базовым числам. Давайте узнаем больше о том, как преобразовать шестнадцатеричные числа в двоичные числа.

1.	Что такое преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные?
2.	шагов для преобразования шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
3.	Преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные с десятичной точкой
4.	Часто задаваемые вопросы о преобразовании шестнадцатеричных чисел в двоичные

Что такое преобразование шестнадцатеричной системы в двоичную?

Преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные — это процесс преобразования шестнадцатеричного числа с основанием 16 в двоичное число с основанием 2. Преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные важно, поскольку компьютеры понимают только двоичный язык. Следовательно, все другие типы систем счисления также преобразуются в двоичные числа. Преобразование шестнадцатеричного в двоичное не может быть выполнено напрямую. Шестнадцатеричное число должно быть преобразовано в десятичное число, а затем преобразовано в двоичное число. Прежде чем мы перейдем к этапам преобразования, давайте посмотрим, что такое шестнадцатеричные и двоичные числа.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления имеет базовое число 16 и использует шестнадцать цифр/алфавитов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и A, B, C, D, E, F. Здесь A-F шестнадцатеричной системы счисления означают соответственно числа 10-15 десятичной системы счисления. Эта система используется в компьютерах для сокращения больших строк двоичной системы. Самая большая одиночная цифра — F (на 1 меньше основания 16). Каждая цифра в шестнадцатеричной системе счисления представляет степень основания (16). Например: \(7B4_{16}, 9F_{16}, 3B1A_{16}\) — некоторые примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления использует только две цифры: 0 и 1 с базовым числом 2. Цифры 0 и 1 называются битами, а 8 битов вместе составляют байт. Данные в компьютерах хранятся в виде битов и байтов. Двоичная система счисления не работает с другими числами, такими как 2,3,4,5 и так далее. Например: \(10001_2, 111101_2, 1010101_2 \) — некоторые примеры чисел в двоичной системе счисления.

шагов для преобразования шестнадцатеричной системы в двоичную

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное, нам нужно сначала преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное число, чтобы, наконец, преобразовать его в двоичное число. Один из наиболее важных аспектов, который следует помнить, заключается в том, что каждое шестнадцатеричное число дает 4 двоичных цифры. Преобразование шестнадцатеричного в двоичное может происходить двумя способами. Во-первых, после преобразования шестнадцатеричного числа в десятичное число мы преобразуем десятичное число, используя процесс деления для получения двоичного числа. Во-вторых, мы можем напрямую использовать таблицу преобразования шестнадцатеричной в десятичную в двоичную. Давайте посмотрим на шаги обоих методов.

Метод 1: преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные и двоичные (без таблицы преобразования)

Этот метод требует как умножения, так и деления чисел с использованием соответствующих базовых чисел. Шестнадцатеричное основание числа равно 16, основание десятичного числа равно 10, а основание двоичного числа равно 2. Давайте рассмотрим шаги:

• Шаг 1: Запишите шестнадцатеричное число и найдите его эквивалентное десятичное число. .
• Шаг 2: Чтобы найти десятичный эквивалент, мы умножаем каждую цифру на 16 ^n-1 , где цифра находится на n-й позиции.
• Шаг 3: После умножения чисел сложите произведение этих чисел, чтобы получить десятичное число.
• Шаг 4: Чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, мы делим десятичное число на 2, отбрасывая остаток и деля частное на 2, пока не получим ноль.
• Шаг 5: Когда частное равно нулю, мы упорядочиваем остаток снизу вверх, т. е. в обратном порядке, чтобы получить двоичное число.

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания. Преобразование шестнадцатеричного \((100)_{16}\) в двоичное.

Шаг 1 + 2: преобразовать \((100)_{16}\) в десятичное число, умножив каждую цифру на 16 ^n-1 . Умножьте

\((100)_{16}\) = 1 × 16 ^(3-1) + 0 × 16 ^(2-1) + 0 × 16 ^(1-1)

\((100)_{16}\) = 1 × 16 ² + 0 × 16 ¹ + 0 × 16 ⁰

Шаг 3: Умножьте числа и добавьте произведение, чтобы получить десятичное число.

\((100)_{16}\) = 1 × 256 + 0 × 16 + 0 × 1

\((100)_{16}\) = 256 + 0 + 0

\((100 )_{16}\) = 256

Следовательно, \((100)_{16}\) = \((256)_{10}\)

Шаг 4: Преобразование десятичного числа \((256) _{10}\) в двоичное число путем деления числа на 2 до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Следовательно, \((256)_{10}\) = \((100000000)_{2}\)

Шаг 5: После получения двоичного файла выполняется преобразование.

Следовательно, \((100)_{16}\) = \((100000000)_{2}\).

Метод 2: Преобразование шестнадцатеричного в десятичное в двоичное (с таблицей преобразования)

Этот метод является прямой процедурой, просто взглянув на таблицу диалога, мы можем преобразовать шестнадцатеричное в двоичное. Шаги довольно просты, давайте посмотрим на них:

• Шаг 1: Запишите шестнадцатеричное число
.
• Шаг 2: Найдите эквивалентное десятичное число каждой из цифр, взглянув на таблицу преобразования.
• Шаг 2: Получив десятичное число, просмотрев ту же таблицу, мы можем преобразовать его в двоичное.
• Шаг 3: Объедините все двоичные числа, чтобы получить окончательное двоичное число.

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания. Преобразование шестнадцатеричного \((E5B)_{16}\) в двоичное.

Шаг 1: У нас есть шестнадцатеричное число как \((E5B)_{16}\).

Шаг 2: Глядя на таблицу преобразования, найдите эквивалент каждой цифры.

E = \((14)_{10}\) , 5 = \((5)_{10}\) , B = \((11)_{10}\)

Шаг 3: После получается десятичное число каждой цифры, глядя на таблицу преобразования, преобразуйте каждое десятичное число в двоичное.

\((14)_{10}\) = \((1110)_{2}\)

\((5)_{10}\) = \((0101)_{2}\)

\((11)_{10}\) = \((1011)_{2}\)

Шаг 4: Объедините все двоичные числа, чтобы получить окончательное число.

Следовательно, \((E5B)_{16}\) = \((111001011011)_{2}\).

Преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные с десятичной точкой

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное, мы используем метод, аналогичный тому, что использовался в предыдущем разделе. Мы используем таблицу преобразования для преобразования шестнадцатеричных чисел в двоичные. При преобразовании с десятичной запятой мы используем те же шаги, но не учитываем нули, расположенные в самой правой части, поскольку они называются конечными нулями. Давайте посмотрим на пример, преобразуем \((0.C48)_{16}\) в двоичный файл.

Шаг 1: У нас есть шестнадцатеричный вид \((0.C48)_{16}\).

Шаг 2: Глядя на таблицу преобразования, найдите эквивалент каждой цифры. Ноль в расчет не берем.

C = \((12)_{10}\) , 4 = \((4)_{10}\) , 8 = \((8)_{10}\)

Шаг 3: После получается десятичное число каждой цифры, глядя на таблицу преобразования, преобразуйте каждое десятичное число в двоичное.

\((12)_{10}\) = \((1100)_{2}\)

\((4)_{10}\) = \((0100)_{2}\)

\((8)_{10}\) = \((1000)_{2}\)

Шаг 4: Объедините все двоичные числа, чтобы получить окончательное число. Ноль перед десятичным числом будет записан вместе с последним двоичным числом.

Следовательно, \((0.C48)_{16}\) = \((110001001000)_{2}\).

Связанные темы

Вот несколько интересных тем, связанных с преобразованием шестнадцатеричных чисел в двоичные, взгляните.

• Двоично-десятичный калькулятор
• Калькулятор преобразования десятичной системы в двоичную
• Преобразование десятичной дроби в двоичную формулу

Часто задаваемые вопросы о преобразовании шестнадцатеричных чисел в двоичные

Что такое преобразование шестнадцатеричной системы в двоичную?

Преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные помогает получить двоичный эквивалент шестнадцатеричной цифры. Двоичная и шестнадцатеричная системы счисления имеют свои собственные базовые числа, которые помогают в процессе преобразования. Базовое число шестнадцатеричного числа равно 16, а базовое число двоичного числа равно 2. Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное, нам нужно преобразовать шестнадцатеричные цифры в десятичные, чтобы, наконец, преобразовать их в двоичные.

Как преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное?

Преобразование шестнадцатеричных чисел в двоичные осуществляется двумя разными способами. Первый метод заключается в преобразовании шестнадцатеричной цифры в десятичную путем умножения каждой цифры на 16 ^n-1 и сложения их вместе. Далее преобразуйте десятичное число в двоичное, разделив десятичное число на 2, пока частное не станет равным нулю. Как только цель достигнута, двоичное число получается путем записи остатка снизу вверх. Второй метод выполняется напрямую с помощью таблицы преобразования.

Как преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное с десятичной точкой?

Преобразование шестнадцатеричного в двоичное с десятичной точкой выполняется простым способом с помощью таблицы преобразования. Вот шаги:

• Напишите шестнадцатеричные цифры.
• Преобразуйте каждую цифру в эквивалентное десятичное число с помощью таблицы преобразования.
• После получения десятичного числа найдите двоичный эквивалент каждого десятичного числа.
• После получения каждого двоичного числа запишите их все вместе, чтобы получить окончательное двоичное число.

Что такое 9C в двоичном формате?

Чтобы найти двоичное число в шестнадцатеричном формате, нам нужно сначала преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное, а затем в двоичное. Итак, шестнадцатеричная 9С при преобразовании в десятичную записывается как:

9 = 9 и С = 12, глядя на таблицу преобразования.

9 × 16 ¹ + 12 × 16 ⁰ = 144 + 12 = 156.

\(9C_16\) = \(156_10\).

Следовательно, двоичное значение равно \(9C_16\) = \(10011100_2\).

Что такое шестнадцатеричный FF в двоичном формате?

Чтобы преобразовать шестнадцатеричный FF в двоичный, мы сначала преобразуем его в десятичный, а затем в двоичный. Вот шаги:

FF в десятичном виде записывается как F = \(15_10\) и F = \(15_10\).

Преобразование десятичного числа в двоичное, \(15_10\) = \((1111)_{2}\) и \(15_10\) = \((1111)_{2}\)

Следовательно, \(FF_16\) ) = \((11111111)_{2}\).

Какое основание используется для преобразования шестнадцатеричных чисел в двоичные?

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в двоичное, мы сначала преобразуем шестнадцатеричное число в десятичное число, используя базовое число 16, которое является базовым числом шестнадцатеричного числа. Как только десятичное число получено, мы используем основание двоичной системы счисления, то есть 2, для преобразования десятичного числа в двоичное. Следовательно, шестнадцатеричный код преобразуется в двоичный.

Шестнадцатеричная система счисления (определение, преобразование и примеры)

Двоичная система счисления является естественным выбором для систем с двумя состояниями. Но в этой системе числа имеют тенденцию становиться короткими, а довольно длинными. Следовательно, чтобы уменьшить длину данного числа, довольно часто используется шестнадцатеричная система счисления. Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16, то есть состоит из 16 цифр и символов. В нем используются цифры от 0 до 9, а также буквы A, B, C, D, E и F. Поскольку для представления цифр в шестнадцатеричной системе счисления используются как числовые цифры, так и алфавиты, это число 9.0249 буквенно-цифровая система счисления . В таблице 44.3 показано соотношение между шестнадцатеричным, десятичным и двоичным форматами. Важно отметить, что шестнадцатеричные (сокращение от шестнадцатеричных) цифры от A до F эквивалентны десятичным значениям от 10 до 15.

Из таблицы 44.3 видно, что существует 16 комбинаций 4-битных двоичных чисел и наборов 4-битные двоичные числа можно вводить в компьютер в виде шестнадцатеричных (шестнадцатеричных) цифр. Эти числа должны быть преобразованы в двоичные представления с использованием схем преобразования шестнадцатеричных чисел в двоичные, прежде чем они смогут быть обработаны цифровыми схемами. Эта система широко используется в микропроцессорной работе.

Счет в шестнадцатеричной системе счисления:

Как мы будем считать в шестнадцатеричной системе счисления, когда дойдем до F ? Просто начните с другого столбца и продолжайте следующим образом:

С двумя шестнадцатеричными цифрами мы можем сосчитать до FF ₁₆ , что равно 255 ₁₀ . Для подсчета сверх этого требуются три шестнадцатеричных цифры. Например, 100 ₁₆ равно 256 ₁₀ , 101 ₁₆ равно 257 ₁₀ и так далее. Максимальное трехзначное шестнадцатеричное число — FFF ₁₆ , что равно 4095 ₁₀ .

Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные:

Шестнадцатеричное число можно преобразовать в его десятичный эквивалент, умножив каждую шестнадцатеричную цифру на ее вес, а затем взяв сумму этих произведений. Веса шестнадцатеричных чисел являются возрастающими степенями 16 (справа налево). Для четырехзначного шестнадцатеричного числа веса следующие:

Для иллюстрации рассмотрим несколько примеров.

---

Пример 44.41: Найдите десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа 1A53.

Решение:

Пример 44.42: Преобразовать (FF3B) ₁₆ в эквивалентное десятичное число.

Решение:

---

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное:

Повторное деление десятичного числа на 16 даст эквивалентное шестнадцатеричное число, образованное остатком от каждого деления. Это похоже на повторное деление на 2 для десятичного преобразования в двоичное и повторное деление на 8 для десятичного преобразования в восьмеричное. Следующие примеры иллюстрируют процедуру.

---

Example 44.44: Convert the following number: (374.37) ₁₀  = ( ) ₁₆

Solution:

---

Hexadecimal-To-Binary Conversion:

Hex числа могут быть преобразованы в эквивалентные двоичные числа путем замены каждой шестнадцатеричной цифры ее эквивалентным 4-битным двоичным числом. Эта процедура проиллюстрирована ниже.

---

Пример 44.46: Выполните следующее преобразование: (1684) _16– () ₂

Решение:

Пример 44,47: Преобразование следующего числа (A6B.F5) ₁₆ → (?) ₂ 66.

Решение: Преобразовывая каждую шестнадцатеричную цифру в двоичное число битов, мы имеем

---

Преобразование двоичного кода в шестнадцатеричный:

Преобразование из двоичного в шестнадцатеричный процесс является обратным вышеописанному. Двоичное число группируется в группы по 4 бита, начиная с LSB и продвигаясь к MSB для целой части, а затем каждая группа из четырех бит заменяется ее шестнадцатеричным представлением. Нули добавляются по мере необходимости для завершения 4-битной группы.

Для дробной части описанная выше процедура повторяется с бита, следующего за двоичной точкой, и движется вправо.

---

Пример 44.49: Преобразование длинного двоичного числа 1001001101010001 в восьмеричное и шестнадцатеричное.

Решение: (1001001101010001) ₂

---

Преобразование из шестнадцатеричного в восьмеричное и наоборот.

Шестнадцатеричные числа могут быть преобразованы в эквивалентные восьмеричные числа, а восьмеричные числа могут быть преобразованы в эквивалентные шестнадцатеричные числа путем преобразования шестнадцатеричного/восьмеричного числа в эквивалентное двоичное, а затем в восьмеричное/шестнадцатеричное соответственно. Процедура иллюстрируется следующим примером.

---

Пример 44.50: Преобразовать (F2A4) ₁₆ в ( ) ₈ .

Решение: (F2A4) ₁₆

Пример 44.51: Преобразовать шестнадцатеричное число A5F1 в эквивалентное восьмеричное число.

Решение:

---

Шестнадцатеричная арифметика:

Правила арифметических операций с шестнадцатеричными числами аналогичны правилам для десятичных, восьмеричных и двоичных чисел.