Разное

Производная в маткаде: Как найти производную в маткаде 🚩 как найти частные производные 🚩 Математика

Содержание

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ Mathcad.


Стр 1 из 3Следующая ⇒

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ Mathcad.

Символьные вычисления производных.

Производной, как известно, называется предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента. Математически производная функ­ции f(x) в точке х определяется как:

f'(x)=

В Mathcad для вычисления производной предусмотрена команда Symbolics/ Variable / Differentiate.Для того чтобы данная команда была доступна, в рабочем документе в дифференцируемом выражении предварительно сле­дует выделить переменную, по которой производная должна быть вычислена. Можно просто навести на эту переменную маркер ввода (для чего, например, достаточно на этой переменной щелкнуть кнопкой мыши).

Производная от выражения.

На Рис. 1 представлено выражение ax2+ sin(bx), которое будет дифферен­цироваться по переменной

х. Это выражение было предварительно введено в рабочий документ, и в нем маркер ввода наведен на переменную хв ар­гументе синуса.

Рис. 1. Дифференцируемое выражение. Рис. 2. Результат вычисления производной по х

После того как переменная в выражении выделена, выбираем команду Symbolics / Variable/ Differentiate.Результат выполнения команды по умолчанию отображается под тем выра­жением, от которого вычисляется производная (Рис. 2).

С полученным выражением можно работать так же, как и с обычным, вве­денным пользователем в рабочий лист. Например, от этого выражения можно вычислить еще одну производную. Например пускай это будет про­изводная по b. Выделяем эту переменную и в очередной раз вы­полняем команду Symbolics / Variable / Differentiate. Врезультате будет вычислена новая производная, которая отобразиться вни­зу под исходным выражением.

Таким образом, в документе можно вычислять производные практически от любых выражений. Хотя такой метод вычисления производных достаточно прост,

он связан с рядом неудобств, которые становятся очевидными при ре­шении более сложных задач:

· Прежде всего, этот метод не пригоден для вычис­ления производной от функции, определенной пользователем в рабочем листе. При попытке вычислить производную с помощью команды Differentiate ре­зультат будет представлен как формальная запись производной от функции. Чтобы получить значение производной в явном виде, придется прибегнуть к другим методам (в частности, использовать оператор вычисления символь­ного значения).

· Еще один обширный класс задач связан с вычислением про­изводных высоких порядков. В этом случае придется несколько раз вызывать команду Differentiate, что не всегда приемлемо.

Поэтому на практике для вычисления производных часто обращаются не к помощи меню, а вводят команды непосредственно в рабочий лист. При этом очень удобны математи­ческие палитры Calculus и Evaluation.

Символьная производная

Вычислим производную от выражения, не прибегая к командам меню Symbolics. Для этого на палитре Calculus

выберем кнопку с изображением символа производной (Рис. 3). В результате этот символ с двумя заполнителями появляется в рабочем доку­менте (Рис. 4).

 

Рис. 3. Вставка символа производной. Рис. 4. Символ производной.

На месте нижнего заполнителя вводится переменная, по которой вычисляется производная, а на месте второго — дифференцируемое выражение. Если не прибегать к помощи команд меню Symbolics, то после ввода диффе­ренцируемого выражения следует ввести оператор вычисления символьного значения (стрелка вправо). Это можно сделать, щелкнув на соответствующей кнопке палитры Evaluation. После ввода оператора вычисления символьного значения рабочий документ будет иметь вид, как на Рис. 5. Производная будет вычислена, если щелкнуть курсором мыши вне области вводимого выражения или нажать клавишу <Enter>. Результат вычисления производной представлен на Рис. 6.

 

 

Рис. 5. Ввод оператора вычисления Рис. 6. Результат вычисления производной

Несложно проверить, что точно такой же результат может быть получен, ес­ли воспользоваться командой Symbolics I Evaluate I Symbolicallyили на­жать комбинацию клавиш <Shift>+<F9>. Правда, в этом случае результат отображается не справа от вычисляемого выражения, а под ним. Кроме того, между вычислением символь­ного результата с помощью команд меню и ключевых слов (т. е. инструкций, вводимых непосредственно в вычисляемые или преобразуемые символьные выражения посредством палитры Evaluation или Symbolic) существует одна принципиальная разница: если выражение вычислялось через команды меню и затем в документ были внесены изменения, то результат таких вычислений не пересчитывается. При использовании ключевых слов результат обновля­ется автоматически.

 

Часто бывает необходимо вычислить производную от функции, определен­ной ранее в рабочем документе. В качестве иллюстрации рассмотрим сле­дующий пример.

Производная от функции

Прежде всего, в рабочем листе определяем функцию пользователя f(z).

В качестве такой функции рассмотрим зависимость:

f(z)=z ln(z) + exp(-az2).

В документе функция пользователя определяется следующим образом: сна­чала вводится название функции, а в скобках после него указывается аргу­мент (или аргументы). После этого вводится оператор присваивания, вслед за оператором присваивания вводится математи­ческое выражение, определяющее функциональную зависимость (Рис. 7).

 

Рис. 7. Вычисление производной от функции пользователя.

Для вычисления производной функция указывается сразу после символа дифференцирования. Если затем ввести оператор вычисления сим­вольного значения и нажать клавишу <Enter>, производная от функции будет получена (Рис. 7).

Стоит обратить внимание, что при вычислении про­изводной, как и в других аналогичных случаях, можно указывать в качестве аргумента переменную, отличную от заданной при определении функции. В рассмотренном примере функция содержит символьный параметр а. В этом случае, если предварительно, до определения функции, параметру значение присвоено не было, соответствующий символ в определении функции будет выделен специальным образом (по умолчанию красным цветом). В подобной ситуации необходимо быть предельно аккуратным при выборе переменной для аргумента функции. Например, если в описанной ранее функции указать аргументом переменную

а, а затем по этой переменной вычислить производную, то в исходной функциональной зависимости параметр а рассматривается как переменная со всеми вытекающими отсюда последствиями (Рис. 8).

 

Рис. 8. Аргумент и параметр функции совпадают.

Кроме этого производную от функции можно вычислять по параметру, даже если он не указан явно как аргумент функции. Ситуация проиллюстрирована на Рис. 9 (последнее выражение). Там в качестве переменной, по которой вычисляется производная, указан параметр функции а.

 

Рис. 9. Вычисление производной по параметру функции

Рис. 10. Выбор символа производной Рис. 11. Ввод символа вычисления производной

Рис. 12. Результат вычисления сотой производной.

Рис. 13. Решение дифференциального уравнения с помощью процедуры odesolve ().

Рис. 14. Решение системы дифференциальных уравнений с помощью процедуры odesolve ().

 

Еще несколько замечаний относительно процедуры odesoive():

· Что касается ее аргументов, то последним из них можно указывать число шагов для поиска решения.

· Как отмечалось ранее, уравнения могут решаться различными математическими методами. По умолчанию в рамках процедуры odesoive() ре­шение ищется по методу Рунге-Кутта с переменным шагом. Можно задать адап­тивный метод или метод решения жестких уравнений. Для этого нужно выделить процедуру odesoive() и щелкнуть правой кнопкой мыши. В раскрывающемся списке есть несколько команд, позволяющих выбрать требуемый метод решения дифференциальных уравнений: команду Adaptive выбирают для адаптивного метода, а команда stiffполезна при решении жестких уравнений и систем. Процедура выбора команды для метода решения показана на

Рис. 15.

Рис. 15. К объяснению метода Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальным условием у0 = у(х0). Выбрав дос­таточно малый шаг h, построим, начиная с точки х0, систему равноотстоя­щих точек xi = x0 + ih (i = 0,1, 2,...). Вместо искомой интегральной кривой на отрезке [x0,xi] рассмотрим отрезок касательной к ней в точке M0(x0,y0), уравнение которой:

у= у0 + f(x0, y0) • (х - х0).

При x=x1из уравнения касательной получаем у1 = у0 + h f(х0, у0). Следова­тельно, приращение функции на первом шаге равно ∆у0 = h f(х0, y0). Проведя аналогично касательную к интегральной кривой в точке

(x1, y1), получим:

y = y1+f(x1,y1)*(x-x1),

что при х = х2дает у21 + h f (x1,y1),т. е. у2получается из у1добавлени­ем приращения ∆y1= hf(x1,y1).

Таким образом, вычисление таблицы значений функции, являющейся реше­нием ДУ, состоит в последовательном применении пары формул:

∆yk=hf(xk,yk), yк+1=yк+∆yк

Метод Эйлера, как видно из рисунка, имеет погрешность. Известны различные уточнения метода Эйлера. Модификации данных мето­дов направлены на уточнение направления перехода из точки ii) в точку (xi+1,yi+1). Например, в методе Эйлера—Коши (усовершенствованный метод) используют следующий по­рядок вычислений:

y*i+1 =yi+hf(xi,yi), yi+1=yi+ h ( f (xi,yi) + f(xi+1,y*i+1) ) /2,

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке ii,)и во вспомогательной точке (xi+1,y*i+1), а в качестве окончательного берется среднее значение этих направлений.

Пример 1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

Решить задачу Коши для ДУ y(x) = x + cos на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: y(1,7) =5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера с шагом h и h/2.

Решение.

Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на Рис. 16.

Рис. 16. Фрагмент программы с решением уравнения методом Эйлера с шагом с шагом h и h/2.

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера

(Рис. 17).

Рис. 17. Листинг программы, реализующий метод Эйлера.

2. Получим решение ДУ методом Эйлера с двумя шагами h и h/2(Рис. 18).

Рис. 18. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера.

3. Ответ:Решением ДУ y(x) = x + cos на отрезке [1,7; 2,7] с НУ y(1,7) =5,3 методом Эйлера с шагом hиh/2будет таблица значений ES_h и ES_h3(Рис. 21).

 

Пример 2. Решение дифференциальное уравнение усовершенствованным методом Эйлера.

1. Задание функции, реализующей метод Эйлера—Коши (Рис. 19). Аргу­менты функции: у0 - значение решения в точке х0 ; х0, xl — левый и правый концы интервала вычисления численного решения; N — число сетки, на которой ищется решение ДУ; f — имя функции, стоящей в правой части ДУ. Функция возвращает таблицу, состоящую из двух столбцов, первый столбец— значения аргумента, второй столбец— зна­чения решения ДУ.

 

 

Рис. 19. Функция, реализующая метод Эйлера—Коши для ДУ первого порядка.

2. Нахождение численного решения ДУ на интервале [0,5]:

А1:=Euler1(x0, y0, x1, N, f)

3. Визуализация численного решения (Рис. 20).

 

 

Рис. 20. Численное решение ДУ y=x2 полученное методом Эйлера.

Дифференциальных уравнений.

На практике наиболее часто используют метод Рунге—Кутты четвертого порядка.

Пример 3.

Решить задачу Коши для ДУ y(x) = x + cos на отрезке [1,7; 2,7] при заданном НУ: y(1,7) =5 ,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h.

Решение.

1. Вводим данные задачи:

f(x,y) := x +cos а := 1.7 b := 2.7

h:= 0.1 п: =

у0 := 52

i := 0..п

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге—Кутты (Рис. 21). Здесь: fn— заданная функ­ция; a, b— концы отрезка; h— шаг; у0— начальное значение функции.

 

 

Рис. 21. Листинг функции, возвращающей численное решение ДУ методом Рунге-Кутты.

Ответ:Решением ДУ y(x) = x + cos на отрезке [1,7; 2,7] с НУ y(1,7) =5,3 методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h будет таблица значений RK_h и RK_2h (Рис. 21).

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СРЕДСТВАМИ Mathcad.


Рекомендуемые страницы:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Дифференцирование › Частные производные [страница - 64] | Самоучители по математическим пакетам

Частные производные

С помощью обоих процессоров Mathcad можно вычислять производные функций не только одного, но и любого количества аргументов. Как известно, производные функции нескольких аргументов по одному из них называются частными. Чтобы вычислить частную производную, необходимо, как обычно, ввести оператор производной с панели Calculus (Вычисления) и в соответствующем местозаполнителе напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование.


Примеры отыскания частных производных функции двух переменных приведены в листингах 3.11 и 3.12. В первой строке обоих листингов определяется сама функция, а в последующих (символьным или численным образом) рассчитываются ее производные по обеим переменным – х и k. Чтобы определить частную производную в точке, необходимо предварительно задать значения всех аргументов, что и сделано в следующих строках листинга 3.12. Обратите внимание, что для символьного поиска производной функции нет необходимости задавать значения всех ее аргументов (третья строка листинга 3.12), а вот для численного дифференцирования (последняя строка листинга) должны быть предварительно определены все аргументы функции, иначе вместо результата появится сообщение об ошибке.

Листинг 3.11. Аналитическое вычисление частных производных:

Листинг 3.12. Символьное и численное вычисления частных производных в точке:

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков (см. разд. 3.3). Листинг 3.13 иллюстрирует расчет вторых производных функции по переменным х и у, а также смешанной производной.

Листинг 3.13. Вычисление второй частной производной:

Возможно, вы обратили внимание, что во всех трех листингах 3.11-3.13 оператор дифференцирования записан в традиционной форме частной производной (с округлыми символами дифференциала). Запись оператора не влияет на вычисления, а служит лишь более привычной формой представления расчетов.


Рис. 3.8. Изменение вида оператора дифференцирования

Для того чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, следует:

  1. Вызвать контекстное меню из области оператора дифференцирования нажатием правой кнопки мыши.
  2. Выбрать в контекстном меню верхний пункт View Derivative As (Показывать производную как).
  3. В появившемся подменю (рис. 3.8) выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).

Чтобы вернуть вид производной, принятый по умолчанию, выберите в подменю пункт Default (По умолчанию) либо, для представления ее в обычном виде, – Derivative (Производная).

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Дифференцирование › Производные высших порядков [страница - 63] | Самоучители по математическим пакетам

Производные высших порядков

Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 3-го до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-го порядка в точке х, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной (см. разд. 3.1 и 3.2), за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо применить оператор n-й производной (Nth Derivative). Этот оператор вводится с той же панели Calculus (Вычисления), либо с клавиатуры нажатием клавиш CTRL +?, и содержит еще два дополнительных местозаполнителя (рис. 3.7), в которые следует поместить число N. В полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению того же числа в другом из них.


Рис. 3.7. Оператор производной высшего порядка

Очевидно, что "производная" при N=0 по определению равна самой функции, при N=1 получается обычная первая производная. Листинг 3.7 демонстрирует численное и символьное вычисление второй производной функции в заданной точке. Обратите внимание, что, как и при вычислении обычной производной, необходимо перед оператором дифференцирования присвоить аргументу функции значение, для которого будет вычисляться производная. А вот для аналитического нахождения производных высших порядков при помощи оператора символьного вывода (в полном соответствии с разд. 3.1), вводить значения аргумента не следует (листинг 3.8).

Листинг 3.7. Пример вычисления второй производной функции в точке:

Листинг 3.8. Пример аналитического поиска второй производной функции:

Примечание
Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга 3.7 дает тот же результат, что и вычислительный процессор в предыдущей строке, можно, упростив его. Для этого следует выделить полученное последнее выражение и выбрать в меню Symbolics (Символика) пункт Simplify (Упростить). После этого ниже появится еще одна строка с численным результатом выделенного выражения
.

Повторимся, что численный метод предусматривает возможность вычисления производных до 5-го порядка, а символьный процессор умеет считать производные произвольного порядка (конечно, если аналитическое решение задачи в принципе существует). Сказанное иллюстрирует листинг 3.9, в котором аналитически вычисляется шестая производная функции, а попытка численного вывода результата того же выражения приводит к ошибке.

Листинг 3.9. Численное и символьное вычисление шестой производной:

Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го численно, можно последовательно применить несколько раз оператор м-й производной (листинг 3.10), подобно тому, как производится отыскание кратных интегралов (см. разд. 4.3.4). Однако следует помнить о том, что численное определение производных высших порядков производится тем же вычислительным методом Риддера, что и для первых производных. Поскольку, как уже было сказано, для первой производной этот метод обеспечивает точность до 7-8 значащих разрядов числа, при повышении порядка производной на каждую единицу точность падает примерно на один разряд.

Внимание!
Из сказанного ясно, что падение точности при численном расчете высших производных может быть очень существенно. В частности, если попытаться определить шестую производную функции l/х, то в качестве результата будет выдан ноль, в то время как истинное значение девятой производной может быть найдено при помощи символьного процессора (листинг 3.10)
.

Листинг 3.10. Попытка численного поиска шестой производной функции в точке дает неправильный результат:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Дифференцирование › Вычисление производной функции в точке [страница - 58] | Самоучители по математическим пакетам

Вычисление производной функции в точке

Для того чтобы рассчитать производную в точке, необходимо предварительно задать значение аргумента в этой точке (листинг 3.2, вторая строка). Результатом дифференцирования в этом случае будет число – значение производной в этой точке. Если результат удается отыскать аналитически, то он приводится в виде числового выражения, а для того, чтобы получить его в форме числа, достаточно ввести после выданного выражения символ числового равенства = (последняя строка листинга 3.2).

Листинг 3.2. Аналитическое дифференцирование функции в точке:

Для того чтобы продифференцировать функцию, вовсе не обязательно предварительно присваивать ей какое-либо имя, как это сделано в листингах 3.1, 3.2. Можно определить функцию непосредственно в операторе дифференцирования (это демонстрирует первая строка листинга 3.3).

Листинг 3.3. Правильное и неправильное использование оператора дифференцирования:

Как вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению, и поэтому его легко использовать интуитивно. Однако в некоторых случаях при вводе оператора дифференцирования следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный во второй строке листинга 3.3, который демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования для вычисления производной в точке. Вместо вычисления производной sin(x) при х=2, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение.

Это случилось из-за того, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=2, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=2, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен – в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.

Примечание
То же самое касается и операции численного дифференцирования, т. е. применения оператора = вместо
.

Дифференцирование и интегрирование в Mathcad

Дифференцирование в Mathcad осуществляется или посредством выполнения самой операции над задаваемым выражением, или с использованием и отображением оператора производной. В первом случае достаточно ввести выражение, выделить переменную дифференцирования в выражении, войти в меню Символика, Переменная, Дифференцировать. Несмотря на оперативность выполнения данной операции в Mathcad, при оформлении отчета о данных вычислениях, возникают неудобства, связанные с отсутствием самого символа (оператора ) производной. Например:

sin(x)2 – 2. ln(x)

Результат дифференцирования посредством меню Символика

Аналогичного результата можно добиться, используя символику дифференцирования на панели инструментов “Исчисление”. Данный вариант в Mathcad является более предпочтительным при формировании отчета о результатах вычислений:

Mathсad позволяет вычислить производную n-го порядка, что также можно осуществить используя панель инструментов “Исчисление”:

Интегрирование в  Mathcad выполняется аналогично символьному дифференцированию. Причем можно вычислить как определенный, так и неопределенный интеграл, используя команды меню “Символика” (Символика, Переменная, Интегрировать) или элементы панели инструментов “Символика”. При этом необходимо учитывать, что в результате вычисления неопределенного интеграла постоянная интегрирования автоматически не выводится, а должна вводится пользователем принудительно. На Листинге приводится пример символьного интегрирования.

Необходимо отметить, что при вычислениях с помощью операторов панели инструментов “Символика” и команд меню “Символика” могут получаться разные результаты. Это связано с тем, что команды меню применяются только к выделенному выражению, в то время как при использовании операторов панели инструментов “Символика” учитываются все предшествующие вычисления.

MathCAD — это просто! Часть 13. Продолжаем бороться с дифференциальным исчислением

В прошлый раз мы с вами научились использовать возможности мощнейшей математической среды MathCAD для вычисления различных вещей, относящихся к дифференциальному исчислению: пределов, производных, сумм сходящихся числовых и функциональных рядов. Сегодня мы с вами продолжим знакомство с тем, как в MathCAD вычислять многие важные вещи из ВУЗовского курса математического анализа. Надеюсь, что это будет для вас достаточно интересно.

Вычисление частных производных

Напомню на всякий случай, что частными называются производные от функций нескольких переменных, берущиеся по одной или нескольким переменным. Для вычисления частных производных в MathCAD'е используются те же самые операторы, которые мы с вами уже весьма успешно применяли для вычисления полных производных. Единственное отличие — это, конечно же, оформление оператора взятия производной. В математическом анализе для отличия частных производных от полных используется специальная запись, в которой буква d, обозначающая производную, и сверху, и снизу пишется наклонной. MathCAD, как и во всех остальных случаях, позволяет пользователю применять привычную запись. Для того, чтобы изменить внешний вид оператора производной, выделите выражение и кликните по нему правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню нужно выбрать пункт View Derivative As (Показывать производную как…), а в нем — Partial Derivative (Частная производная). Вы всегда можете вернуться к обычному отображению оператора производной, выбрав в том же самом меню пункт Derivative (Производная), который устанавливает для оператора производной вид оператора полной производной. Обратите внимание на то, что установка вида одного оператора взятия производной никак не влияет на все остальные операторы, как уже имеющиеся в вашей рабочей области, так и на те, которые будут добавлены в нее позднее.Что касается такой весьма и весьма немаловажной вещи, как взятие смешанных производных, то она реализуется с помощью последовательного взятия частных производных по разным переменным. Хотя, конечно, в результате могут получаться и довольно громоздкие выражения, как, например, на иллюстрации, демонстрирующей применение нескольких операторов взятия производной для вычисления смешанных производных.

Неопределенные интегралы

Дифференцирование в математическом анализе неразрывно связано с интегрированием. Эти обратные друг другу действия — две стороны одной медали, а потому и мы с вами, поговорив об одном из них, перейдем к разговору о втором. У математиков есть шутка, что дифференцирование — это ремесло, а интегрирование — это искусство. MathCAD позволяет и интегрирование свести к уровню ремесла — если, конечно же, представлять себе, что в принципе может быть решаемо с помощью этой программы, а что нужно довести до того вида, в котором задачу уже можно "скармливать" MathCAD'у. Задача вычисления неопределенного интеграла обратна задаче нахождения производной функции. Неопределенный интеграл имеет также название первообразной, которое по ряду причин используется реже. Для вычисления неопределенных интегралов в среде MathCAD используется оператор, который можно легко найти на панели Calculus. Под знаком интеграла пользователь должен ввести функцию, для которой он хочет найти первообразную, а после знака дифференциала — переменную, по которой будет производиться интегрирование. Как видите, и здесь MathCAD верен себе, то есть дает пользователю возможность использовать, опять-таки, знакомые по математическому анализу обозначения неопределенных интегралов. Нужно отметить также, что для неопределенных интегралов необходимо применять символьное вычисление выражений, то есть знак "стрелочки", а не знак равенства.

Следует, впрочем, помнить, что многие интегралы просто принципиально не выражаются в элементарных функциях. В том случае, если вы подсунули MathCAD'у один из таких весьма распространенных интегралов, ситуация может иметь два различных финала: либо MathCAD успешно проинтегрирует выражение и выдаст результат с использованием каких-либо специальных функций, либо же честно признается, что его такое интегрировать не учили. Во втором случае вы увидите после "стрелочки", стоящей за интегралом, запись вида indef_int(f(x), x). Естественно, вместо f(x) и x будут соответственно стоять подынтегральная функция и та переменная, по которой вы хотели провести интегрирование. Оба возможных варианта продемонстрированы на иллюстрации ниже.Со специальными функциями тоже все не так просто. Синтаксис, используемый для их записи в MathCAD'е, все же несколько отличается от принятого в математике, а потому, вполне вероятно, для того, чтобы разобраться в том, что за специальные функции скрываются за той или иной записью, придется воспользоваться справочной системой среды MathCAD. Для этого нажмите F1, в появившемся окне выберите вкладку Search, в поле рядом с кнопкой Go введите имя функции, информацию по которой вам нужно найти, а затем нажмите эту самую кнопку. Среди результатов поиска может оказаться и несколько разделов, и имеет смысл просмотреть их все.В общем-то, даже в том случае, если MathCAD поднимает белый флаг при виде неопределенного интеграла, это не значит, что его вовсе невозможно вычислить в элементарных или специальных функциях. Вполне возможно, что с помощью каких-либо преобразований вам удастся привести его к виду, пригодному для решения в MathCAD. Также имеет смысл поискать решение в старых печатных справочниках или "погуглить" в интернете. Вполне возможно, что у MathCAD'а просто не хватило творческого воображения на то, чтобы до конца "раскрутить" ваш сложный интеграл.

Определенные интегралы

Неопределенные интегралы — это, конечно же, хорошо, но все же на практике куда как чаще используются интегралы определенные. И, думаю, для вас не окажется неожиданностью тот факт, что MathCAD прекрасно умеет справляться и с этим видом интегралов. Определенный интеграл, как вы понимаете, отличается от неопределенного наличием пределов интегрирования. Фактически неопределенный интеграл — это функция (первообразная подынтегральной функции), в то время как определенный интеграл — это просто какое-то число. То есть его мы можем вычислить не только аналитически, но и численно, что позволяет нам рассчитывать значения определенных интегралов даже тогда, когда первообразная рассчитана быть не может. Оператор для расчета определенных интегралов в MathCAD'е находится на панели Calculus недалеко от оператора расчета неопределенных интегралов и отличается от него, как я уже совсем недавно говорил, наличием пределов сверху и снизу от символа интеграла. После того, как вы запишете подынтегральное выражение, переменную интегрирования и собственно пределы, можно ставить знак равенства или стрелочку для вычисления определенного интеграла. В первом случае интеграл будет вычислен численно, во втором — аналитически.

Вопрос о том, какой способ вычисления интегралов использовать: численный или аналитический, — не такой надуманный и праздный, как может сначала показаться. Дело в том, что аналитически определенные интегралы вычисляются, во-первых, точнее, а во-вторых, быстрее, нежели численно. Правда, может возникнуть ситуация, аналогичная той, которую вы можете увидеть на иллюстрации выше — то есть символьный процессор не доведет процесс вычислений до конца, а оставит интеграл в виде смеси численных значений и функций. Впрочем, с этим всегда довольно просто справиться, как видите. Для вычисления кратных интегралов используется тот же прием, что и для вычисления смешанных частных производных для функций многих переменных. То есть мы последовательно интегрируем несколько раз функцию с заданными пределами, и в результате получаем именно то, что, в общем- то, и рассчитывали получить. Стоит отметить, что, поскольку при интегрировании кратных интегралов мы теряем при численном интегрировании особенно много времени, то здесь особенно желательно использовать именно аналитический способ вычисления интегралов.В применении системы MathCAD для расчета определенных интегралов есть немало тонких моментов, которые не возникали при расчете интегралов неопределенных. Особенно это касается численных методов расчета интегралов. Как я уже говорил, эти методы позволяют рассчитать даже такие интегралы, которые не поддаются аналитическому вычислению. Однако за все надо платить, а потому использование численных методов интегрирования способно приводить к значительным погрешностям в результате, что, сами понимаете, при решении весьма значительного по своей распространенности класса задач не просто нежелательно, а часто даже совершенно недопустимо. О погрешностях при численном интегрировании в MathCAD'е и о том, как избежать того, чтобы они стали совсем уж гигантскими, мы с вами поговорим в следующий раз. А пока что давайте подведем итоги тому, о чем мы говорили сегодня.

Как видите, MathCAD с легкостью справляется с интегралами — пусть не со всеми, но с их значительной частью. Тех возможностей этой великолепной среды, о которых мы с вами уже успели поговорить в цикле статей "MathCAD — это просто!", на мой взгляд, как раз достаточно для того, чтобы прибавить вам энтузиазма в дальнейшем изучении этой программы.

SF, [email protected]

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 26 за 2008 год в рубрике soft

Введение в производные инструменты

Все дело в наклоне!

Наклон = Изменение Y Изменение X

Мы можем найти средний уклон между двумя точками.

Но как найти наклон в точке ?

Измерять нечем!

Но с производными мы используем небольшую разницу...

... затем уменьшите его до нуля .

Давайте найдем производную!

Чтобы найти производную функции y = f (x), воспользуемся формулой наклона:

Наклон = Изменение в Y Изменение в X = Δy Δx

И (из схемы) видим, что:

С С
x отличается от х по х + Δx
г отличается от ф (х) по f (x + Δx)

Теперь выполните следующие действия:

  • Заполните эту формулу наклона: Δy Δx = f (x + Δx) - f (x) Δx
  • Упростите как можно лучше
  • Затем сделайте Δx сжатием до нуля.

Как это:

Пример: функция f (x) = x 2

Нам известно f (x) = x 2 , и мы можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 2
Развернуть (x + Δx) 2 : f (x + Δx) = x 2 + 2x Δx + (Δx) 2

Формула наклона: f (x + Δx) - f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x 2 + 2x Δx + (Δx) 2 - x 2 Δx

Упростить (x 2 и −x 2 отменить): 2x Δx + (Δx) 2 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 2x + Δx

Затем , поскольку Δx направляется к 0 , получаем: = 2x

Результат: производная x 2 равна 2x

Другими словами, наклон в точке x равен 2x

Мы пишем dx вместо "Δx голов в сторону 0" .

А «производная от» обычно пишется:

x 2 = 2x
"Производная x 2 равна 2x "
или просто "d dx от x 2 равно 2x "

Что означает x 2 = 2x?

Это означает, что для функции x 2 наклон или «скорость изменения» в любой точке составляет 2x .

Итак, когда x = 2 , наклон равен 2x = 4 , как показано здесь:

Или, когда x = 5 , наклон составляет 2x = 10 и так далее.

Примечание: иногда f ’(x) также используется для обозначения" производной от ":

f ’(x) = 2x
" Производная f (x) равна 2x "
или просто " f-тире x равно 2x "

Попробуем другой пример.

Пример: Что такое x 3 ?

Мы знаем f (x) = x 3 и можем вычислить f (x + Δx) :

Начать с: f (x + Δx) = (x + Δx) 3
Развернуть (x + Δx) 3 : f (x + Δx) = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3

Формула наклона: f (x + Δx) - f (x) Δx

Положите f (x + Δx) и f (x) : x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 - x 3 Δx

Упростить (x 3 и −x 3 отменить): 3x 2 Δx + 3x (Δx) 2 + (Δx) 3 Δx

Еще больше упростить (разделить на Δx): = 3x 2 + 3x Δx + (Δx) 2

Затем , поскольку Δx направляется к 0 , мы получаем: = 3x 2

Результат: производная x 3 равна 3x 2

Поиграйте с этим, используя Derivative Plotter.

Производные от других функций

Мы можем использовать тот же метод для вычисления производных других функций (например, синуса, косинуса, логарифмов и т. Д.).

Пример: какова производная sin (x)?

В правилах производных финансовых инструментов он указан как cos (x)

Готово.

Использование правил может быть сложной задачей!

Пример: какова производная от cos (x) sin (x)?

Вы не можете просто найти производную от cos (x) и умножить ее на производную от sin (x)... вы должны использовать «Правило продукта», как описано на странице «Производные правила».

На самом деле получается cos 2 (x) - sin 2 (x)

Итак, это ваш следующий шаг: научитесь использовать правила.

Обозначение

«Сжимать к нулю» на самом деле записывается как предел, например:


"Производная f равна пределу, поскольку Δx стремится к нулю f (x + Δx) - f (x) по Δx"

Или иногда производная записывается так (объяснено в Производных как dy / dx):

Процесс нахождения производной называется «дифференцированием».

Вы, , проводите дифференциацию ... до получаете производную.

Куда дальше?

Иди и узнай, как находить деривативы с помощью правил деривативов, и получи много практики:

Частные производные

Частичная производная - это производная, в которой некоторые переменные остаются постоянными. Как в этом примере:

Пример: функция для поверхности, которая зависит от двух переменных x и y

Когда мы находим наклон в направлении x (при фиксированном y ), мы нашли частную производную.

Или мы можем найти наклон в направлении y (при сохранении x фиксированным).

Вот функция одной переменной (x):

f (x) = x 2

И его производная (с использованием правила мощности):

f ’(x) = 2x

А как насчет функции двух переменных (x и y):

f (x, y) = x 2 + y 3

Чтобы найти свою частную производную по x , мы рассматриваем y как константу (представьте, что y - это число вроде 7 или что-то в этом роде):

f ’ x = 2x + 0 = 2x

Пояснение:

  • производная x 2 (по x) равна 2x
  • мы, , рассматриваем y как константу , поэтому y 3 также является константой (представьте, что y = 7, тогда 7 3 = 343 также является константой), а производная константы равна 0

Чтобы найти частную производную по y , мы рассматриваем x как константу :

f ’ y = 0 + 3y 2 = 3y 2

Пояснение:

  • мы теперь обрабатываем x как константу , поэтому x 2 также является константой, а производная константы равна 0
  • производная y 3 (по y) равна 3y 2

Вот и все.Просто не забудьте рассматривать со всеми другими переменными, как если бы они были константами .

Удерживающая постоянная переменная

Так как же выглядит «сохранение постоянной переменной»?

Пример: объем цилиндра V = π r 2 h

Мы можем записать это в "многомерной" форме как

f (r, h) = π r 2 h

Для частной производной по r мы считаем h постоянной , а r изменяется:

f ’ r = π (2r) h = 2πrh

(Производная r 2 по r равна 2r, а π и h являются константами)

В нем говорится, что "изменяется только радиус (на минимальную величину), объем изменяется на 2πrh"

Это как если бы мы добавляли скин с окружностью круга (2πr) и высотой h.

Для частной производной по h мы держим r постоянной :

f ’ h = π r 2 (1) = πr 2

(π и r 2 - константы, а производная h по h равна 1)

В нем говорится, что "при изменении только высоты (на минимальную величину) объем изменяется на πr 2 "

Это как если бы мы добавляли самый тонкий диск сверху с площадью круга πr 2 .

Давайте посмотрим на другой пример.

Пример: площадь поверхности квадратной призмы.

Поверхность: верхняя и нижняя с областями x 2 каждая и с 4 сторонами области xy:

f (x, y) = 2x 2 + 4xy

f ’ x = 4x + 4y

f ’ y = 0 + 4x = 4x

Три или более переменных

У нас может быть 3 или более переменных. Просто найдите частную производную каждой переменной по очереди, рассматривая все другие переменные как константы .

Пример: Объем куба с вырезанной из него квадратной призмой.

f (x, y, z) = z 3 - x 2 y

f ’ x = 0 - 2xy = −2xy

f ’ y = 0 - x 2 = −x 2

f ’ z = 3z 2 - 0 = 3z 2

Когда есть много x и y, это может сбивать с толку, поэтому мысленный трюк состоит в том, чтобы заменить «постоянные» переменные на буквы, такие как «c» или «k», чтобы выглядело как константы.

Пример: f (x, y) = y 3 sin (x) + x 2 tan (y)

У него повсюду крестики и у! Итак, давайте попробуем трюк со сменой букв.

Что касается x, мы можем изменить «y» на «k»:

f (x, y) = k 3 sin (x) + x 2 tan (k)

f ’ x = k 3 cos (x) + 2x tan (k)

Но не забудьте снова повернуть его обратно!

f ’ x = y 3 cos (x) + 2x tan (y)

Точно так же относительно y мы превращаем «x» в «k»:

f (x, y) = y 3 sin (k) + k 2 tan (y)

f ’ y = 3y 2 sin (k) + k 2 sec 2 (y)

f ’ y = 3y 2 sin (x) + x 2 sec 2 (y)

Но делайте это только в том случае, если у вас проблемы с запоминанием, поскольку это небольшая дополнительная работа.

Обозначение : здесь мы используем f ’ x для обозначения« частной производной по x », но еще одним очень распространенным обозначением является использование забавного обратного d (∂), например:

∂f ∂x = 2x

Это то же самое, что:

f ’ x = 2x

∂ называется «дель», «ди» или «кудрявый ди»

Так ∂f ∂x называется "дель ф дель х"

Пример: найти частные производные от f (x, y, z) = x 4 - 3xyz , используя обозначение "curly dee"

f (x, y, z) = x 4 - 3xyz

∂f ∂x = 4x 3 - 3yz

∂f ∂y = −3xz

∂f ∂z = −3xy

Вы можете предпочесть такую ​​нотацию, она определенно выглядит круто.

Исчисление I - Определение производной

Онлайн-заметки Павла

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Деривативы Введение
  • Интерпретация производного инструмента
  • Глава
  • Пределы
  • Применение производных инструментов
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои студенты
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Полная книга - Только проблемы
  • Полная книга - Решения
  • Текущая глава - Только проблемы
  • Текущая глава - Решения
  • Текущий раздел - Только проблемы
  • Текущий раздел - Решения
  • Проблемы с назначением Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и наборы решений
      • Линейные уравнения
      • Приложения линейных уравнений
      • Уравнения с более чем одной переменной

Производная

Производная

Определение производного инструмента

Дана производная функции f ( x ) в точке и обозначается

Некоторые базовые производные инструменты

В таблице ниже u , v и w являются функциями переменной х . a , b , c и n - константы (с некоторыми ограничениями всякий раз, когда они применяются). обозначить натуральный логарифмический функция и e естественная основа для. Напомним, что .

Правило цепочки

Последняя формула

известна как формула цепного правила. Его можно переписать как

Другая аналогичная формула дается

Производная обратной функции

Обратной функцией y ( x ) является функция x ( y ), мы имеем

Производные тригонометрических функций и их обратные

Напомним определения тригонометрических функций

Производная экспоненциальной и логарифмической функций


Напомним определение функции логарифма с основанием a > 0 (с участием ):

Производная гиперболических функций и их обратных

Напомним определения тригонометрических функций

Производные высшего порядка

Пусть y = f ( x ).У нас есть:

В некоторых книгах также используются следующие обозначения для высших производных. используемый:

Формула высшей производной для продукта: Формула Лейбница

где находятся биномиальные коэффициенты. Например, у нас есть

[Дифференциальные уравнения] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем С.ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. Математика CyberBoard.

Авторское право 1999-2020 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. - П.О. Box 12395 - El Paso TX 79913 - США
пользователей онлайн за последний час

Производные правила | Математическое исчисление

Производные правила и законы. Таблица производных функций.

Определение производной

Производная функции - это отношение разности значение функции f (x) в точках x + Δx и x с Δx, когда Δx бесконечно маленький.Производная - это наклон функции или наклон касательной в точке x.

Вторая производная

Вторая производная дается по формуле:

Или просто выведите первую производную:

N-я производная

n -я производная вычисляется путем вычисления f (x) n раз.

n Производная равна производной от (n-1) производная:

f ( n ) ( x ) = [ f ( n -1) ( x )] '

Пример:

Найдите четвертую производную от

.

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ] '' '' = [10 x 4 ] '' '= [40 x 3 ]' '= [120 x 2 ]' = 240 х

Производная на графике функции

Производная функции - это наклон касательной прямой.

Производные правила

Правило суммы производных инструментов

Когда a и b являются константами.

( a f ( x ) + bg ( x ) ) '= a f' ( x ) + bg ' ( x )

Пример:

Найти производную от:

3 x 2 + 4 x.

Согласно правилу сумм:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , г ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , г ' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x ) '= 3⋅2 x + 4⋅1 = 6 х + 4

Правило производных продуктов

( f ( x ) ∙ г ( x ) ) '= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

Правило производного частного

Правило производной цепочки

f ( g ( x )) '= f' ( г ( x )) ∙ г ' ( x )

Это правило можно лучше понять с помощью обозначения Лагранжа:

Функция линейного приближения

При малых Δx мы можем получить приближение к f (x 0 + Δx), когда мы знаем f (x 0 ) и f '(x 0 ):

f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f '( x 0 ) ⋅Δ x

Таблица производных функций

Название функции Функция Производная

f ( x )

f '( x )
Константа

конст.

0

Линейный

х

1

Мощность

x a

a x a- 1

Экспоненциальная

e x

e x

Экспоненциальная

a x

a x ln a

Натуральный логарифм

лин ( x )

Логарифм

журнал b ( x )

Синус

грех х

cos x

Косинус

cos x

-sin x

Касательная

желто-коричневый x

Арксинус

арксин x

Арккосин

arccos x

Арктангенс

арктан x

Гиперболический синус

sinh x

цвет x

Гиперболический косинус

цвет x

sinh x

Гиперболический тангенс

танх x

Обратный гиперболический синус

sinh -1 x

Обратный гиперболический косинус

cosh -1 x

Обратный гиперболический тангенс

танх -1 x

Примеры производных

Пример # 1

f ( x ) = x 3 +5 x 2 + x +8

f ' ( x ) = 3 x 2 + 2⋅5 x + 1 + 0 = 3 x 2 +10 x +1

Пример # 2

f ( x ) = sin (3 x 2 )

При применении цепного правила:

f ' ( x ) = cos (3 x 2 ) ⋅ [3 x 2 ] '= cos (3 x 2 ) ⋅ 6 x

Тест второй производной

Когда первая производная функции равна нулю в точке x 0 .

f '( x 0 ) = 0

Тогда вторая производная в точке x 0 , f '' (x 0 ) может указывать на тип эта точка:

f '' ( x 0 )> 0

минимум по местному тарифу

f '' ( x 0 ) <0

местный максимум

f '' ( x 0 ) = 0

неопределенный


См. Также

История деривативов

Деривативы могли появиться в средствах массовой информации совсем недавно.Однако они используются человечеством очень давно. С незапамятных времен людям не нравилась идея неопределенности. Более того, им не нравилась идея экономической неопределенности. Следовательно, необходимость компенсировать эту неопределенность привела к развитию контрактов . Раньше контракты были устными и не были такими сложными, как сегодня. Тем не менее, это были контракты. В этой статье мы проследим эволюцию производных на протяжении веков.

Древние образцы

Считается, что производные существовали даже в таких древних культурах, как Месопотамия. Говорили, что король издал указ, согласно которому в случае недостаточного количества дождей и, следовательно, недостаточного урожая, кредиторы должны будут отказаться от своих долгов перед фермерами. Им просто пришлось бы это списать. Таким образом, король только что дал фермерам оферту. Если определенные события развивались определенным образом, они имели право просто уйти от своих обязательств!

Было много таких примеров, которые приводились в то время.Другой известный пример относится к греческой цивилизации, когда один из последователей Аристотеля, знаток метеорологии, предсказал, что в этом году будет рекордный урожай оливок. Он был так уверен, что пошел дальше и закупил продукцию всех оливковых ферм в Афинах и окрестностях до того, как урожай был собран. В конце концов, урожай действительно оказался отличным, и ученик Аристотеля получил огромную прибыль, заблаговременно заключив контракт.

XIX век: Чикагская торговая палата

В девятнадцатом веке Америка была на пике экономического прогресса.Америка была центром инноваций. Одно из таких нововведений появилось в области биржевых деривативов, когда фермеры осознали, что поиск покупателей для товаров стал проблемой. Они создали совместный рынок под названием «Чикагская торговая палата». Несколько лет спустя этот рынок превратился в первый в истории рынок деривативов. Вместо того, чтобы покупатели и продавцы заключали свои собственные индивидуальные контракты, теперь на бирже были перечислены стандартные контракты, которые мог покупать и продавать кто угодно.Эта идея имела большой успех. Вскоре Чикагской торговой палате пришлось создать филиал под названием «Чикагская товарная биржа» для управления растущим бизнесом.

Недавно Чикагская торговая палата и Чикагская товарная биржа были объединены в группу CME. Это по-прежнему один из ведущих рынков деривативов в мире. Огромный успех, засвидетельствованный членами Чикагской торговой палаты, привел к созданию множества таких бирж по всему миру. Однако в эпоху Чикагской торговой палаты торговля деривативами ограничивалась только сырьевыми товарами.Другие финансовые инструменты в значительной степени не входили в сферу такой торговли.

Наши дни

Инновации на современном финансовом рынке во многом основывались на идее деривативов. То, что в древности начиналось как простая идея, позже превратилось в стандартные контракты в эпоху Чикагской торговой палаты, теперь превратилось в лабиринт сложных финансовых инструментов и контрактов. Классы активов, на которых основывались производные инструменты, быстро расширились.В настоящее время есть производные практически для всего.

У нас есть деривативы на акции, индексы, товары, недвижимость и т. Д. У нас даже есть деривативы, основанные на других деривативах, которые создают своего рода метаструктуру. Причина такого быстрого роста заключается в том, что деривативы удовлетворяют потребности большого числа частных лиц и предприятий по всему миру.

После краха 2008 года деривативы должны были нести падение на протяжении всей цепочки событий. СМИ в целом критиковали их.Это стало своего рода неудачей. За исключением того, что рост деривативов в последние годы был не чем иным, как экстраординарным, и ожидается, что он будет продолжаться в будущем.



Авторство / ссылки - Об авторе (ах)

Статья написана «Прачи Джунджа» и проверена командой Management Study Guide Content . В состав группы MSG по содержанию входят опытные преподаватели, профессионалы и эксперты в предметной области.Мы являемся сертифицированным поставщиком образовательных услуг ISO 2001: 2015 . Чтобы узнать больше, нажмите «О нас». Использование этого материала в учебных и образовательных целях бесплатно. Укажите авторство используемого содержимого, включая ссылку (-ы) на ManagementStudyGuide.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *