Разное

Исследовать сходимость числового ряда: Сходимость ряда — исследование онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

1. Исследовать сходимость числового ряда Исследовать сходимость степенного ряда. Найти его область. 2 сходимости.

1 Вариант 1 1 Исследовать сходимость числового ряда Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область x сходимости Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 0,1 погрешность h 0, 001: 0 5 e x dx 4 0 % приборов монтируется с применением микромодулей, остальные с применением интегральных схем Надежность прибора с применением микромодулей 0,9, интегральных схем 0,8 Найти вероятность того, что прибор с микромодулем, если он был исправен В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления 5 Изделие считается высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45мм Случайные отклонения размера изделия от номинала подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 3мм и математическим ожиданием, равным 0 Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовлено 4 изделия Ф ( 1,15) 0, 3749; Ф ( 1) 0,3413; Ф ( 3) 0, Данные о диаметрах деталей, изготавливаемых на станке с числовым программным управлением, представлены как результаты измерений в микронах Первоначальную группировку произвести с интервалом в 10 мк Составить выборочное распределение 83

2 Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант Исследовать сходимость числового ряда 1 1 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область сходимости x Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 0,1 si10x погрешность h 0, 001: dx 0 x 4 Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятностями, равными соответственно 0,; 0,3; 0,5 Вероятность брака на первом станке равна 0,0, на втором 0,03, на третьем 0,01 Найти вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления 5 Размер деталей, выпускаемых цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами M X =5 см; D[X]=0,81 см Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более, чем на см Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф (,) 0,4868; Ф ( 1) 0, 3413; Ф ( 0) 0 6 Результаты обследования роста студентов приведены ниже Первоначально длину интервала при группировке взять равной 4 см

3 Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 3 1 Исследовать сходимость числового ряда 7 l 1 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область x 1 сходимости Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 1 1 cos x погрешность h 0, 001: dx 4 0 x 4 В урне 4 шара, из них 18 красных и 6 черных Наугад извлекли два шара Найти вероятность того, что оба шара черные В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления 5 Размер деталей, выпускаемых цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами M X = 5 см; D[X] = 0,81 см Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали лежит от 6 до 8 см Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф (,) 0,4868 ; Ф(1,11) 0, 3665; Ф ( 1) 0, 3413; Ф ( 3,33) 0, Результаты испытания предела прочности партии стальной проволоки приведены ниже Первоначально длину интервала при группировке взять равной 5 кг

4 Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант Исследовать сходимость числового ряда 15 1 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область 3x 1 сходимости Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 5x 0, e 1 погрешность h 0, 001: dx 0 x 4 Три автомата изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер Производительности первого, второго и третьего автоматов соотносятся как :3:5 Вероятность того, что деталь с первого автомата высшего качества, равна 0,8; для второго 0,6; для третьего 0,7 Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества; б) взятая наугад деталь высшего качества изготовлена первым автоматом В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления 5 Производится взвешивание некоторого вещества Случайные ошибки подчинены нормальному закону с математическим ожидани- 86

5 ем, равным 0 и со средним квадратическим отклонением 0 г Найти вероятность того, что взвешивание будет выполнено с ошибкой, не превосходящей 10 г по абсолютной величине Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф ( 0,5) 0, 1915; Ф ( 1) 0,3413; Ф ( 0) 0 6 Данные о выручке магазина в рублях за 100 дней представлены ниже Первоначально длину интервала при группировке взять равной 50 р Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 5 1 Исследовать сходимость числового ряда! 13 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область сходимости x

6 3 Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную x l 1 0,9 погрешность h 0, 001: 5 dx 0 x 4 В студенческой группе из 0 человек к практическому занятию готовы 18 человек Преподаватель вызвал четырех студентов Найти вероятность того, что они подготовлены к занятию В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления 5 Рост мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 170 см, и дисперсией, равной 49 см Найти вероятность того, что трое наугад выбранных мужчин будут иметь рост от 170 до 175 см Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф ( 1,8) 0, 3997; Ф ( 1) 0, 3413; Ф ( 0) 0 6 Данные о месячной зарплате рабочих в рублях одного из цехов приведены ниже Первоначально длину интервала при группировке взять равной 10 р Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 6 1 Исследовать сходимость числового ряда

7 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область сходимости x Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 1 погрешность h 0, 001: e x dx Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно При обработке на первом станке вероятность брака составляет %, на втором 3 % Найти вероятность того, что наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления 5 Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчиненную нормальному закону распределения, с гарантией на 15 лет и средним квадратическим отклонением, равным 3 годам Определить вероятность того, что прибор прослужит от 10 до 0 лет Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф ( 1,66) 0, 4515; Ф ( 1) 0, 3413; Ф ( 0) 0 6 Результаты испытания крепости в граммах нитей приведены ниже При первоначальной группировке длину интервала выбрать равной 0 г Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть 89

8 гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант Исследовать сходимость числового ряда Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область x 4 сходимости 1 1! 3 Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 0,4 погрешность h 0, 001: 0 si 3x dx 4 В партии, состоящей из 0 радиоприемников, 5 неисправных Наугад берут 3 радиоприемника Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и исправных радиоприемника? В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления 5 Данные о длине заготовок после их первоначальной обработки приведены, как результаты измерений, в миллиметрах При первоначальной группировке длину интервала взять равной 1 мм Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть 90

9 гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант Исследовать сходимость числового ряда 16 1 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область 1 сходимости x Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную погрешность h 0, 001: cos x dx 4 В мастерскую для ремонта поступили 0 телевизоров Известно, что 7 из них нуждаются в настройке Мастер берет любые 5 телевизоров Какова вероятность того, что из них нуждаются в настройке? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления 5 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием Вероятность попадания случайной величины в интервал 0,3; 0,3 равна 0,5 Найти среднее квадратическое отклонение Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф ( 0,675) 0, 5; Ф ( 1) 0, 3413; Ф ( 0,5) 0, Ниже приведены данные обследования 100 предприятий области по росту выработки на одного рабочего (в % к предыдущему году) Длину интервала взять 10 % Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического 91

10 ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 9 1 Исследовать сходимость числового ряда 1 1 e Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область x 1 сходимости Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 0,1 e x 1 погрешность h 0, 001: dx 0 x 4 Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3::5 Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9 Во время работы ЭВМ был обнаружен сбой Найти вероятность того, что он возник в оперативной памяти В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления 5 Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 50 Определить дисперсию случайной величины Х, если известно, что вероятность принятия случайной величиной значения в интервале (50; 60) равна 0,3413 Ф ( 1) 0,3413; Ф ( 1,5) 0, 3944; Ф ( 1,5) 0, С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской одежды проведено выборочное обследование определенных половозрастных групп детского населения и получены следующие данные по величине обхвата груди в см Длину интервала взять 4 см

11 Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 10 1 Исследовать сходимость числового ряда 5 1 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область 3 сходимости x Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную x l 1 0,6 погрешность h 0, 001: 6 dx 0 x 4 В мастерскую для ремонта поступило 0 телевизоров Известно, что 7 из них нуждаются в настройке Мастер берет любые 5 телевизоров Какова вероятность того, что из них нуждаются в настройке? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления 5 Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А Показания округляют до ближайшего деления Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,04 А Ответ записать с одним знаком после запятой без округления 6 С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской обуви проведено выборочное обследование опре- 93

12 деленных половозрастных групп детского населения и получены следующие данные по величине длины стопы в см Длину интервала взять 5 мм Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 11 1 Исследовать сходимость числового ряда! 13 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область 1! x 1 сходимости 1 3 Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную 1 e погрешность h 0, 001 x 1 : dx 0 x 4 Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух типов, равны соответственно 0,4 и 0,6 При нарушении работы линии вероятность срабатывания индикатора первого типа равна 0,9; второго 0,7 Найти вероятность того, что наугад выбранный индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии В ответ за- 94

13 писать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления 5 Случайная величина Х отклонение размера детали от стандарта имеет нормальное распределение вероятностей со средним квадратическим отклонением, равным 0,, и математическим ожиданием, равным 0 Найти вероятность изготовления детали, отвечающей требованиям стандарта, если задан допуск ± 0,5 Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф (,5) 0,4938; Ф ( 1) 0, 3413; Ф ( 0) 0 6 В сводке представлены данные о росте выпуска продукции на предприятиях области (валовая продукция в отчетном году в процентах по отношению к предыдущему): Составить выборочное распределение Построить гистограмму и график выборочной функции распределения 3 Найти состоятельные несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии 4 Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии с уровнем доверия р=0,95 5 На основании анализа формы построенной гистограммы выдвинуть гипотезы по критерию Пирсона с уровнем значимости α=0,05 Вариант 1 1 Исследовать сходимость числового ряда 3 l 1 Исследовать сходимость степенного ряда Найти его область сходимости 1 4x

14 3 Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд Обеспечить абсолютную погрешность h 0, 001: e 3 0 x 90 dx 4 Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4 Вероятности того, что резистор проработает гарантийное число часов, для этих партий равны со

исследование сходимости числовых положительных рядов

Задание: Исследование сходимости числовых положительных рядов.

Цель: формирование умения применять достаточные признаки (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный Коши) при исследовании рядов на сходимость.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

39.1. Выучите определение положительного (знакоположительного) ряда. Сформулируйте признак сравнения. Выясните, какова техника его применения для исследования сходимости положительных рядов. Запомните ряды, традиционно использующиеся в качестве «эталонных» для исследования сходимости ряда по признаку сравнения.

39.2. С помощью признака сравнения исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.3. Сформулируйте признак Даламбера. Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Даламбера. Изучите пример исследования сходимости ряда

по этому признаку.

39.4. С помощью признака Даламбера исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.5. Сформулируйте признак Коши (радикальный). Постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий исследовать сходимость положительного ряда по признаку Коши. Изучите пример исследования сходимости ряда

по этому признаку.

39.6. С помощью признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.7. Выясните, в чём заключается интегральный признак Коши, и как он применяется для исследования сходимости положительных рядов.

39.8. С помощью интегрального признака Коши исследуйте на сходимость положительные ряды:

39.9. Проанализируйте, в каких случаях исследовать положительный ряд на сходимость целесообразно с помощью признака сравнения, в каких — с помощью признака Даламбера, а в каких — с помощью признаков Коши.

39.10. Исследуйте на сходимость положительные ряды:

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала: Числовой ряд с неотрицательными членами называется положительным (знакоположительным).

Признак сравнения позволяет исследовать положительный ряд на сходимость путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет.

Признак сравнения: Пусть даны два положительных ряда

и . Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то

Другими словами:

  • если общий член исследуемого ряда меньше общего члена сходящегося ряда, то исследуемый ряд сходится;
  • если общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда, то исследуемый ряд расходится.

В качестве «эталонных» обычно используют следующие ряды:

1.

— расходящийся гармонический ряд;

2.

, если — расходящийся обобщённый гармонический ряд,

, если — сходящийся обобщённый гармонический ряд;

3.

, если — расходящийся ряд геометрической прогрессии,

, если — сходящийся ряд геометрической прогрессии.

Рассмотрим примеры использования признака сравнения для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 1.

Исследуйте ряд

на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Сравним данный ряд с «эталонным» рядом геометрической прогрессии

, который сходится . Имеем: . Таким образом, общий член нашего ряда меньше общего члена сходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд сходится.

Ответ:

сходится.
Пример 2.

Исследуйте ряд

на сходимость, применяя признак сравнения.

Решение:

Рассмотрим ряд

. Поскольку он получается из расходящегося гармонического ряда умножением на 2, то, по свойству числовых рядов (свойство 2), он расходится. Сравним исследуемый ряд с рядом . Имеем: , т.е. . Таким образом, общий член исследуемого ряда больше общего члена расходящегося ряда. Следовательно, по признаку сравнения, ряд расходится.

Ответ:

расходится.

В отличие от признака сравнения, где многое зависит от догадки и запаса «эталонных» рядов, признак Даламбера часто позволяет исследовать сходимость ряда, проделав лишь некоторые операции над ним.

Признак Даламбера: Пусть дан положительный числовой ряд

и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

Исследовать ряд

на сходимость по признаку Даламбера удобно по следующему алгоритму:

1) найти

;

2) найти

;

3) найти

;

4) найти предел отношения на бесконечности

и проанализировать полученное значение:

Рассмотрим пример использования признака Даламбера для исследования сходимости положительных рядов.

Пример 3.

Исследуйте ряд

на сходимость, применяя признак Даламбера.

Решение:

Для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера воспользуемся алгоритмом:

1) найдём

2) найдём

3) найдём

4) найдём

(при раскрытии неопределенности использовали правило Лопиталя). Получили, что . Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ:

расходится.

Заметим, что признак Даламбера целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда содержит выражение вида

или .

Иногда для исследования сходимости положительного ряда удобно использовать радикальный признак Коши, во многом схожий с признаком Даламбера.

Признак Коши (радикальный): Пусть дан положительный числовой ряд

, и существует конечный или бесконечный предел . Тогда:

Исследовать ряд

на сходимость по признаку Коши удобно по следующему алгоритму:

1) найти

;

2) найти

;

3) найти

и проанализировать полученное значение:
Пример 4.

Исследуйте ряд

на сходимость, применяя признак Коши.

Решение:

Для исследования сходимости ряда по признаку Коши воспользуемся алгоритмом:

1) найдём

2) найдём

3) найдём

. Получили, что . Значит, по признаку Коши ряд сходится.

Ответ:

сходится.

Заметим, что признак Коши целесообразно применять в том случае, когда общий член ряда представляет собой

-ую степень выражения.

В некоторых ситуациях, когда ни один из признаков сравнения, Даламбера, Коши не дает ответ о сходимости положительного ряда, исследовать ряд на сходимость позволяет интегральный признак Коши.

Интегральный признак Коши: Если члены положительного ряда

могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то данный ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.
Пример 5.

Исследуйте ряд

на сходимость, применяя интегральный признак Коши.

Решение:

Рассмотрим функцию

. Эта функция непрерывна, монотонно убывает на , и , следовательно, можно применить интегральный признак Коши.

Выясним, будет ли несобственный интеграл

сходиться или расходиться.

Имеем:

.

Отдельно найдём неопределённый интеграл

методом замены переменной:

Найдем предел:

.

Таким образом, получили

. Следовательно, несобственный интеграл расходится. Значит, в силу интегрального признака Коши, ряд также будет расходиться.

Ответ:

расходится.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2),

{k-1} k = \ begin {cases} \ frac {m + 1} {2} & \ text {когда $ m $ нечетное} \\ — \ frac {m} {2} & \ text {когда $ m $ чётно} \ end {case} $$ и по мере того, как $ m $ становится большим, оно колеблется между большим положительным значением и отрицательным значением в зависимости от четности $ m $. Следовательно, $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} S_n $ не существует.

Наведите указатель мыши на серую область ниже, чтобы увидеть другие интерпретации этой бесконечной суммы.

Однако есть и другие способы интерпретации этой суммы. Другой популярный способ определения сходимости — это посмотреть на сумму Чезаро.{n} \ tilde {S} _m} {n} $$ Теперь вы можете показать, что $ \ hat {S} _n \ rightarrow \ frac14 $. Эта сумма называется суммой держателя. Если бы этот предел снова стал бесконечным, вы еще больше сгладите его, взяв его среднее значение. Они также называются суммами Гёльдера и обозначаются как $ H (k) $, где $ k $ — количество раз, которое мы выполняем сглаживание. Например, обычная сумма — $ H (0) $, сумма Чезаро — $ H (1) $, сумма, которую мы сделали, чтобы получить предел при $ \ frac14 $, — это $ H (2) $ и так далее.

Аналитическое продолжение степенного ряда.2} $, где $ x \ in \ mathbb {C} \ backslash \ {- 1 \} $. s} + \ cdots $$ Ряд $ g (s) $ сходится при Real $ (s)> 0 $ и абсолютно сходится при Real $ (s)> 1 $.{1 — (- 1)}) \ zeta (-1) = (1-4) \ times \ frac {-1} {12} = \ frac14. $$ Существуют также другие тесно связанные методы регуляризации, такие как суммирование по Борелю, Суммирование Рамануджана, которое приписывает конечное значение суммам, которые не сходятся. Все эти различные методы присваивают этой серии значение $ \ dfrac14 $.

Комплексный анализ

← Комплексный анализ →


Сходимость последовательностей

Бесконечная последовательность комплексных чисел $ \ left \ {z_1, z_2, z_3 \ ldots \ right \} $ имеет предел $ z $, если для каждого положительное число $ \ varepsilon $, существует натуральное число $ n_0 $ такое, что \ begin {eqnarray} \ label {seq} \ left | z_n-z \ right | <\ varepsilon \ quad \ text {when} \ quad n> n_0.\ end {eqnarray}

Геометрически это означает, что при достаточно больших значениях $ n $ точки $ z_n $ лежат в любом заданном Окрестность $ \ varepsilon $ точки $ z $ (рисунок 1). Поскольку мы можем выбирать размер $ \ varepsilon $ сколь угодно маленьким, он Отсюда следует, что точки $ z_n $ становятся сколь угодно близкими к $ z $ по мере увеличения их индексов. Обратите внимание, что необходимое значение $ n_0 $ будет, как правило, зависеть от значения $ \ varepsilon $.

Рисунок 1: Геометрическая интерпретация.{\ infty} $ может иметь не более одного ограничения. То есть предел $ z $ уникален если он существует. Когда этот предел существует, говорят, что последовательность сходится к к $ z $; и мы пишем \ begin {eqnarray *} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} z_n = z \ end {eqnarray *} Если последовательность не имеет предела, она отклоняется от на .

Теорема 1: Предположим, что $ z_n = x_n + iy_n $ ($ n = 1,2,3, \ ldots $) и $ z = x + iy $. потом \ begin {eqnarray} \ label {teoseq01} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} z_n = z \ end {eqnarray} если и только если \ begin {eqnarray} \ label {teoseq02} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} x_n = x \ quad \ text {и} \ quad \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} y_n = y. \ end {eqnarray}

Проба

Для доказательства этой теоремы сначала предположим, что выполнены условия (\ ref {teoseq02}). То есть существуют, для каждого $ \ varepsilon> 0 $ положительные целые числа $ n_1 $ и $ n_2 $ такие, что \ [ | x_n-x | <\ frac {\ varepsilon} {2} \ quad \ text {when} \ quad n> n_1 \] а также \ [ | y_n-y | <\ frac {\ varepsilon} {2} \ quad \ text {when} \ quad n> n_2. \] Следовательно, если $ n_0 $ больше двух целых чисел $ n_1 $ и $ n_2 $, \ [ | x_n-x | <\ frac {\ varepsilon} {2} \ quad \ text {и} \ quad | y_n-y | <\ frac {\ varepsilon} {2} \ quad \ text {when} \ quad n> n_0.\] С \ [ | (x_n + iy_n) — (x + iy) | = | (x_n-x) + (y_n-y) | \ leq | x_n-x | + | y_n-y |, \] тогда \ [ | z_n-z | <\ frac {\ varepsilon} {2} + \ frac {\ varepsilon} {2} \ quad \ text {when} \ quad n> n_0. \] Следовательно, условие (\ ref {teoseq01}) выполняется.

И наоборот, если мы начнем с условия (\ ref {teoseq01}), мы знаем, что для каждого положительного число $ \ varepsilon $, существует натуральное число $ n_0 $ такое, что \ [ | (x_n + iy_n) — (x + iy) | <\ varepsilon \ quad \ text {when} \ quad n> n_0. {\ infty} z_n = S.{N} y_n. \] Теперь утверждение (\ ref {teo01}) истинно тогда и только тогда, когда \ begin {eqnarray} \ label {teo04} \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} S_N = S; \ end {eqnarray} и ввиду соотношения (\ ref {teo03}) и теоремы 1 о последовательностях предел (\ ref {teo04}) выполняется, если и только если \ begin {eqnarray} \ label {teo05} \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} X_N = X \ quad \ text {и} \ quad \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} Y_N = Y. \ end {eqnarray} Пределы (\ ref {teo05}), следовательно, подразумевают оператор (\ ref {teo01}), и наоборот.Поскольку $ X_N = X $ и $ Y_N = Y $ — частичные суммы ряда (\ ref {teo02}), теорема доказана. $ \ blacksquare $

Эта теорема может быть полезна для демонстрации того, что ряд знакомых свойств рядов в исчислении переносятся на ряды, члены которых являются комплексными числами.

Свойство 1: Если серия комплексных чисел сходится, $ n $ -й член сходится к нулю как $ n $ стремится к бесконечности. N} {1-z}.n = \ frac {1} {1-z} \ quad \ text {when} \ quad | z | <1 \ end {eqnarray *} известна как геометрическая серия .

Используйте следующий апплет для изучения этой серии. Перетащите точку $ z $. Понаблюдайте, что происходит, когда это внутри, снаружи или на границе единичного круга. Перетащите ползунок, чтобы отобразить частичную сумму.

К сожалению, апплет не поддерживается для маленьких экранов. Поверните ваше устройство к пейзажу. Или измените размер окна так, чтобы оно было больше ширины, чем высоты.j, j, 1, n)) # Определить частичную сумму SP = последовательность (Sum (S, j), j, 1, n + 2) # Окончательно объединить точки частичной суммы L = Последовательность (Сегмент (Элемент (SP, j), Элемент (SP, j + 1)), j, 1, n + 1)

ДАЛЕЕ: серия Тейлора

[вступление, источник, выпуски]


ISBN: 978-0-6485736-0-9
2019

Бесконечная серия | Последовательности и серии

Какое значение \ ({\ left (\ frac {2} {5} \ right)} ^ {n} \) приближается, когда \ (n \) стремится к \ (\ infty \)?

\ begin {align *} S_ {n} & = \ frac {2} {5} + \ frac {4} {25} + \ frac {8} {125} + \ ldots \\ \ поэтому a & = \ frac {2} {5} \\ \ text {And} r & = \ dfrac {\ frac {4} {25}} {\ frac {2} {5}} \\ & = \ frac {2} {5} \ qquad (- 1

Найти сумму до бесконечности геометрического ряда \ (3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ cdots \) ​​

\ begin {align *} а & = 3 \\ r & = \ frac {1} {3} \\ S _ {\ infty} & = \ frac {a} {1 -r} \\ & = \ frac {3} {1 — \ frac {1} {3}} \\ & = \ frac {3} {\ frac {2} {3}} \\ & = \ frac {9} {2} \ end {выровнять *}

Определите, для каких значений \ (x \) геометрический ряд \ (2+ \ frac {2} {3} \ left (x + 1 \ right) + \ frac {2} {9} {\ left (x +1 \ right)} ^ {2} + \ cdots \) ​​будет сходиться.

\ begin {align *} а & = 2 \\ r & = \ frac {\ frac {2} {3} \ left (x + 1 \ right)} {2} \\ & = \ frac {1} {3} \ left (x + 1 \ right) \ end {выровнять *}

Чтобы ряд сходился, \ (- 1 \ begin {align *} -1 &

Сумма до бесконечности геометрического ряда с положительными членами равна \ (4 \ frac {1} {6} \), а сумма первых двух членов равна \ (2 \ frac {2} {3} \).Найдите \ (a \), первый член, и \ (r \), постоянное соотношение между последовательными терминами.

\ begin {align *} T_ {1} + T_ {2} & = \ frac {8} {3} \\ \ поэтому a + ar & = \ frac {8} {3} \\ a (1 + r) & = \ frac {8} {3} \\ \ поэтому a & = \ frac {8} {3 (1 + r)} \ ldots \ ldots (1) \\ S _ {\ infty} & = 4 \ frac {1} {6} = \ frac {25} {6} \\ \ поэтому \ frac {a} {1 -r} & = \ frac {25} {6} \\ 6a & = 25 (1 -r) \ ldots \ ldots (2) \\ \ text {Заменить ур. {2} & = \ frac {9} {25} \\ \ поэтому r & = \ pm \ frac {3} {5} \\ \ text {But} T_ {n} &> 0 \\ \ поэтому r & = \ frac {3} {5} \\ \ text {And} a & = \ frac {8} {3 (1 + r)} \\ & = \ frac {8} {3 + 3r} \\ & = \ frac {8} {3 + 3 \ left (\ frac {3} {5} \ right)} \\ & = \ frac {8} {\ frac {15} {5} + \ frac {9} {5}} \\ & = \ frac {8} {\ frac {24} {5}} \\ \ поэтому a & = \ frac {5} {3} \ end {выровнять *}

Используйте сумму до бесконечности, чтобы показать, что \ (\ text {0,} \ dot {\ text {9}} = 1 \).

Перепишите повторяющуюся десятичную дробь:

\ [\ text {0,} \ dot {\ text {9}} = \ frac {9} {10} + \ frac {9} {100} + + \ frac {9} {1000} + \ ldots \]

Это геометрическая серия с \ (a = \ frac {9} {10} \) и \ (r = \ frac {1} {10} \).

\ begin {align *} S _ {\ infty} & = \ frac {a} {1 — r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {1 — \ frac {1} {10}} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {\ frac {9} {10}} \\ & = 1 \ end {выровнять *}

В саду посажен куст \ (\ text {110} \) \ (\ text {cm} \) высокий. В конце первого года куст достигает \ (\ text {120} \) \ (\ text {см} \) высоты. После этого рост куста каждый год составляет половину его роста в предыдущем году. Покажите, что высота куста никогда не будет превышать \ (\ text {130} \) \ (\ text {cm} \). Нарисуйте график зависимости между временем и ростом.

[IEB, ноя 2003]

Запишите годовой прирост куста в виде ряда:

\ [10 + 5 + \ frac {5} {2} + \ frac {5} {4} + \ ldots \]

Это геометрическая серия с \ (a = 10 \) и \ (r = \ frac {1} {2} \).

\ begin {align *} S _ {\ infty} & = \ frac {a} {1 — r} \\ & = \ frac {10} {1 — \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {10} {\ frac {1} {2}} \\ & = 20 \ end {выровнять *}

Следовательно, рост куста ограничен \ (\ text {20} \) \ (\ text {cm} \), и поэтому максимальная высота куста равна \ (\ text {110} \) \ (\ текст {cm} \) + \ (\ text {20} \) \ (\ text {cm} \) = \ (\ text {130} \) \ (\ text {cm} \).

Примечание: мы можем соединить точки на графике, потому что рост непрерывный.{3} + \ ldots \]

Это геометрический ряд с \ (a = 27p \) и \ (r = p \) (\ (- 1

\ begin {align *} S _ {\ infty} & = \ frac {a} {1 — r} \\ \ поэтому 54 & = \ frac {27p} {1 — p} \\ 27р & = 54 — 54 п \\ 81 п & = 54 \\ \ поэтому p & = \ frac {54} {81} \\ & = \ frac {2} {3} \ end {выровнять *} Последовательности и серии

Последовательности и серии

Использование Excel © для изучения Последовательности и серии по Майкл Э.МакКаллум

Стол Содержание


Введение

Поведение последовательностей и рядов было предметом математики. учиться сотни, если не тысячи лет. Работы Коши и Вейерштраусса — прекрасные примеры этого исследования. Мы можем восхищаться терпением и решимостью этих мужчин, когда мы считаем, что единственные инструменты, которыми они обладали для выполнения их работа была простой ручкой и бумагой. К счастью, теперь у нас есть персональный компьютер, чтобы делать всю утомительную работу, и мы только нужно интерпретировать результаты.

Сегодня почти каждый персональный компьютер имеет электронную таблицу той или иной марки. программное обеспечение установлено. Если ваш компьютер работает под управлением Microsoft Windows, скорее всего, это программное обеспечение Microsoft Excel ©. В Excel есть множество функций, которые позволяют нам моделировать и строить графики поведения последовательностей и серий. Теперь мы рассмотрим несколько последовательности и серии с использованием Excel для демонстрации.


Последовательности

Последовательность Фибоначчи

Хорошей последовательностью для начала является последовательность Фибоначчи. Такая последовательность часто встречается в природе. Последовательность начинается 1, 1, 2, 3, 5, и каждый последующий член является суммой предыдущих два срока. Мы можем смоделировать последовательность Фибоначчи в Excel сделав следующее. Выберите ячейку и введите символ п. В соседней ячейке справа введите s-subscript-n. Теперь в ячейке под номером n введите единицу. Входить два в ячейке под этим. Теперь выделите тот и два, затем перетащите и заполните, поместив курсор на нижний правый угол ячейки, содержащей два и удерживая левую кнопку мыши, перетаскивая курсор вниз. Перетащите и заполните, пока n = 50. Теперь пометьте следующий столбец Фибоначчи. В первой и второй ячейках под меткой введите один. В третьей ячейке под меткой поместите следующий формула, = B3 + B4, где B3 и B4 — ссылки на ячейки для две ячейки, содержащие единицы. Увидеть высвеченные ячейка в примере ниже.

Первые десять членов последовательности Фибоначчи вместе с график, появившийся ниже.

Эта последовательность растет очень быстро. Математики называют это расхождение в поведении. Если бы последовательность имела тенденцию к фиксированное число, такое как n увеличенные математики сказал, что последовательность сходилась.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Геометрическая последовательность

Теперь мы рассмотрим ряд, который может сходиться или не сходиться в зависимости от по значению одного из параметров. Эта последовательность геометрическая последовательность.

Попробуй сдать | r | < 1, скажем, r = 0,5. Мы можем быстро увидеть, как ведет себя эта последовательность, смоделировав ее с помощью Excel так же, как мы делали последовательность Фибоначчи. Первое десять членов последовательности вместе с графиком появляются ниже.

Эта последовательность быстро сходится к нулю. Что бы случилось бы, если бы r было больше единицы? Пусть р = 2 и повторить моделирование. Первые десять условий этого последовательность с графиком появится ниже.

На этот раз последовательность довольно быстро расходится. После все, что мы строим, — это степени двойки, которые увеличивают очень быстро.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Гармоническая последовательность

Давайте теперь посмотрим на то, что называется гармонической последовательностью.

Это очень простая гармоническая последовательность. Даже без построив его график, мы видим, что он будет сходиться к нулю, потому что предел, поскольку n приближается к бесконечности 1/ n равен нулю. Мы включили его сюда, потому что он и геометрическая последовательность также появляются как важные серии, о которых мы поговорим позже. Список первых 20 терминов вместе с графиком первых шестидесяти условия указаны ниже. Обратите внимание, что эта последовательность не сходятся так же быстро, как геометрические ряды.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Два других Интересные последовательности

Теперь посмотрим на последовательность, которая не сходится к нулю. но сходится.2 + A4) -A4, где A4 представляет собой ссылку на ячейку, содержащую значение n , в каждой ячейке столбца, который мы хотим чтобы содержать последовательность. Первые 20 членов этой последовательности и график первых 100 терминов появляется ниже.

Условия быстрого приближения 0,49 и затем выравнивания. Из На графике казалось бы, что эта последовательность сходится к 0,5. Хорошим упражнением было бы доказать, что эта последовательность сходится до 0,5.

Для нашей последней последовательности я выбрал рекурсивную последовательность. Вы говорите, что последовательность Фибоначчи также является рекурсивной последовательностью. Это правда, но эту последовательность вы также найдете интересной. Я думаю.

Итак, на этот раз, чтобы смоделировать последовательность, мы должны использовать следующую формулу в каждой ячейке столбца, содержащего последовательность после первой ячейки.

= КОРЕНЬ (2 + КОРЕНЬ (B5))

В этом случае B5 относится к ячейке непосредственно над ячейкой содержащий текущее значение последовательности. Заметь нам не нужно использовать n для расчета значений условия этой последовательности.Первые десять членов последовательности, вместе с графиком появляются ниже.

Эта последовательность сходится к числу 1.83117720720834 к 14 десятичные разряды. Я не знаю, рационально ли это или иррациональное число. Однако я подозреваю последнее, но Я не исследовал это ..

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Серия

Серия

аналогична последовательностям.Собственно, главное отличие между серией и последовательностью состоит в том, что серия представляет собой сумму условия последовательности. В серии, когда математики говорят о сходимости, они имеют в виду, что бесконечная последовательность суммирует до конечного числа. Как может сумма бесконечного ряда сумма к конечному числу? Что ж, необходимый критерий — это то, что члены используемой последовательности имеют предел нуля как n неограниченно увеличивается. Однако этого недостаточно, как мы обнаружим в нашем исследовании нескольких серий.

Серия гармоник

Гармонический ряд — это просто бесконечная сумма гармонической последовательности. Гармонические ряды не сходятся. Посмотрите на первые двадцать терминов гармонического ряда на основе 1/ n и его графика.

Этот гармонический ряд удовлетворяет необходимому условию для сходимость, но мы видим, что она не сойдется. Какие достаточные условия сходимости в ряду?

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Геометрическая серия

Некоторые геометрические ряды сходятся, а некоторые нет. Что такое разница между ними? В любом учебнике базового анализа вы найдете следующую теорему:

Теорема : Геометрический ряд сходится к 1 / (1- r ) если | r | <1, и расходится в противном случае.

Итак, достаточное условие сходимости геометрического ряда это что | r | <1.Пусть r = 0,5. Этот ряд должен сходиться по теореме. Первые 22 термины серии и график показаны ниже.

Ну, ряд сходится к предсказанному 1 / (1-0,5) = 2 к 6 знаков после запятой по 21-му члену. Что если пустить р = 1,5? Ну очевидно, что предел as n неограниченно увеличивается не равен нулю. Поэтому эта серия даже не соответствует необходимым условиям. для сведения. Чтобы довести эту точку до дома, первые десять Члены серии вместе с графиком показаны ниже.

Итак, мы можем использовать эти демонстрации Excel, чтобы продемонстрировать справедливость теоремы о геометрических рядах. Это, конечно, не доказательство теоремы.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Сравнительный тест Теорема

Другая теорема о рядах называется сравнением контрольная работа. Эта теорема утверждает:

Если в вашем классе есть сомневающиеся, вы можете использовать Excel чтобы быстро убедить их в справедливости этой теоремы. Например, посмотрите серию ниже.

Сходится или расходится этот ряд? По сравнению тест расходится потому что

и гармонический ряд расходится. Покажите им это, чтобы успокоить своих учеников.

Розовая линия — рассматриваемая серия, синяя линия — гармонический ряд, используемый для сравнения. Это должно вызвать большинство ваших учеников.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


п. — Серии

Вот еще один тип рядов, которые могут сходиться или расходиться. зависит от значения параметра. Модель p — серия имеет вид

Этот ряд сходится, если p > 1, и расходится в противном случае. Опять же, для демонстрации этого поведения можно использовать Excel. Позволять р = 0,5. Первые десять терминов и график этого серии появляются ниже.

Из графика видно, что этот ряд расходится. Хотя вам, возможно, придется показать своим ученикам еще несколько терминов чем показано здесь. Теперь пусть p = 2 и посмотрим, что мы получать.

Как видите, этот ряд сходится. Этот ряд сходится до менее 1,65.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.


Заключение

Как видите, Excel — очень мощный инструмент для исследование и демонстрация последовательностей и серий. Вы можете показать своим ученикам, как моделировать последовательности и серии в Excel, а затем отправьте их провести собственное расследование последовательности и серии, которые могут их заинтересовать. Вы студенты может использовать Excel для разработки доказательств сходимости или расхождения определенных последовательностей или серий. Я не говорю здесь что демонстрация конвергенции или расхождения с использованием Excel достаточно в качестве доказательства. Я только говорю, что польза Excel в расследовании может помочь студенту развить формальное доказательство посредством использования различных тестов на сходимость или расхождения, приведенные в большинстве учебников по основному анализу и в некоторых учебники по исчислению и алгебре.

Excel также является прекрасным инструментом для ознакомления с концепцией последовательностей и серий. Это очень полезный обучающий инструмент по математике на этом уровне, даже если он не был предназначен используется как таковой. И поскольку большинство персональных компьютеров теперь имеют Excel или другое программное обеспечение для работы с электронными таблицами, например Lotus 1-2-3, установлен, учащийся часто не требует дополнительных затрат на уметь использовать Excel в своей работе.

Вернуться к содержанию

Вернуться на страницу EMAT 6690.

AP Исчисление BC: тесты на сходимость

Добро пожаловать

Добро пожаловать на вики-страницу «Тесты сходимости серии AP Calculus»! Здесь мы разместили основные тесты сходимости, которые вам необходимо знать для сдачи экзамена AP Calculus BC. Мы опишем основные концепции, необходимые для успешного использования следующих тестов, и включим дополнительные примеры, которые помогут укрепить ваше понимание. Базовые знания алгебры, пределов и интеграции необходимы для понимания этой сложной темы.

Прежде чем мы начнем наш уход в мир рядов, сходящихся и расходящихся, мы должны сначала освоить фундаментальные концепции, включенные в такие ряды. Мы начнем с введения последовательности и обсудим некоторые из ее основных принципов, прежде чем двигаться дальше. Вот так!

Бесконечные последовательности


Последовательность — это просто список чисел, записанных в определенном порядке, например:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 …. a n ….

Последовательность имеет первый, второй, третий, четвертый и n-й член.

Когда дело доходит до бесконечных последовательностей, они могут иметь характеристику либо сходимости, либо расхождения в зависимости от их поведения, поскольку члены действуют бесконечно.

Из следующего можно увидеть, что у нас есть последовательность, члены которой сходятся к определенному значению L, когда мы приближаемся к ∞.


Можно сказать, что последовательность сходится, если = L, и расходится, если = ∞.

Еще одна характеристика последовательностей — монотонность. Последовательность является монотонной, если она увеличивается так, что n < a n + 1 ИЛИ уменьшается так, что n > a n + 1 для всех n > 1.

Помня об этих принципах, мы можем теперь углубиться в серию.


Введение в серию Infinite

Серии связаны с последовательностями в этих сериях, которые являются суммами членов последовательности.Это видно из соотношения: = S n

, где S n представляет собой n-ю частичную сумму ряда. Частичная сумма ряда, обозначенная S n , представляет собой просто сумму первых n членов последовательности a n . Например: S 2 = 1 + 2 .

Мы видим, что, поскольку в ряд будет сложено бесконечно много членов, для рядов будет намного сложнее сходиться, чем для их аналогов в последовательности.Как мы узнаем, для того, чтобы ряды сходились, они не только должны иметь сумму S , равную конечному числу, но и их последовательности a n ДОЛЖНЫ сходиться к 0, чтобы их члены уменьшались. достаточно быстро.



Испытания серии

на сходимость и расхождение

Зная основы последовательностей и рядов, теперь мы можем приступить к исследованию более сложной области проверки сходимости или расхождения определенного ряда, используя различные методы, которые мы рассмотрим в этом разделе.С помощью следующих методов мы сможем оценить почти любой ряд на предмет его сходимости. Давайте начнем!

Тест N-го члена на дивергенцию

Чтобы определить, расходится ли ряд или сходится, мы можем использовать тест N-го члена на дивергенцию путем поиска.
  • Если ≠ 0 или предел не существует, то ряд расходится.
  • Если = 0, то ряд может сходиться, а может и не сходиться. В этом случае тест не дает результатов, и мы должны использовать другой тест.

Этот тест может применяться к любому ряду и должен быть первым тестом, используемым для определения сходимости или расхождения ряда.Если вы обнаружите, что ряд расходится по этому методу, вам не нужно продолжать тестирование! Если ряд сходится, вы должны перейти к одному из других тестов, которые мы обсудим.

Геометрический ряд — это особый тип ряда, в котором каждый член умножается на общий коэффициент r. Значение a представляет первый член в ряду; таким образом, ряд представлен следующим образом:

Геометрический ряд сходится, если | r | < 1 и расходится, если | r | > 1. Если геометрический ряд сходится, то сумму можно найти по формуле:

= S n

Вам следует использовать этот тест, если вы заметили, что все члены умножаются на общее отношение, например 1 / 2.

Примеры:




Гармонический ряд — это расходящийся ряд ​​, так что

Гармонический ряд полезен при использовании прямого или предельного сравнительного теста, поскольку он служит эталонной серией. с которыми сравнивать неизвестные серии. Чтобы успешно использовать гармонический ряд в других тестах, важно уметь распознавать его с первого взгляда. Не проверяйте какую-нибудь простую, постоянную, умноженную вариацию этой серии: вы уже должны знать, что она расходится!

Тест p-серии используется для определения сходимости бесконечного ряда вида:

Где p — любое положительное действительное число.Этот тест говорит нам, что ряд сходится, когда p > 1. Когда p < 1, ряд расходится.

Серия p также полезна при использовании прямых или предельных сравнительных тестов, как и серия гармоник.

Примеры:



Для бесконечного ряда, если функция f (n) = a n , на интервале (1, ∞] :
  1. непрерывно
  2. положительное
  3. при уменьшении
ряд либо расходится, либо сходится с интегралом. К сожалению, необходимо доказать вышеупомянутые условия перед выполнением интегральной проверки, потому что мы не можем быть уверены, что несобственный интеграл от f (x) расходится или сходится так же, как если бы мы не проверили, что f (x) и a n ведут себя идентично. Из-за дополнительной подготовительной работы и потенциально сложной оценки задействованных несоответствующих интегралов интегральный тест является одним из наименее удобных тестов, особенно если другой метод представляется более легким или более быстрым.

Например:

Это предполагает, что соответствующий ряд будет расходиться, как и приведенный выше интеграл

(при условии, что условия были предварительно доказаны).


Тест сравнения бывает двух видов: предельное и прямое сравнение.

Если где L — конечное число и L> 0, то два ряда сходятся или расходятся.

Пример:

Этот тест может быть полезен с сериями, которые не соответствуют простой оценке с помощью предыдущих тестов.Как правило, идеальным рядом для этого теста будет тот, члены которого представлены частным от длинных многочленов или другим подобным рядом. Как вы можете догадаться, это было бы изнурительной манипуляцией при тестировании с помощью теста прямого сравнения ; вместо мы переходим к сравнительному тесту предельных значений, находя соответствующий ссылочный ряд (члены которого представлены b n ) , для которого сходимость / расхождение известно и оценивается.

а. Если сходится и a n ≤ b n для всех n, то также сходится. B. Если расходится и a n ≥ b n для всех n, то также расходится.

Пример:

Мы обычно используем этот тест, когда связь может быть легко установлена ​​посредством неравенства, чтобы показать, что члены неизвестного ряда всегда больше, чем члены известного расходящегося ряда, или всегда меньше, чем члены известного сходящегося ряда. ряд.Если это нелегко сделать из-за трудностей с алгебраическими манипуляциями или по какой-либо другой причине, тест сравнения пределов или какой-либо другой тест может быть лучшим выбором.


Учитывая чередующийся ряд, чередующийся ряд будет сходиться, если выполняются следующие два условия:

i. a n ≥ a n + 1 > 0

ii. = 0

Если ни одно из условий не выполняется, ряд расходится.

Пример (хотя и не очень подробный для демонстрации доказательства условий):

В нашем обсуждении чередующихся рядов мы должны отметить различие между абсолютной и условной сходимостью.Когда дело доходит до чередующихся рядов (ряды с коэффициентом (-1) n-1 , приводящие к чередованию членов между положительными и отрицательными), мы можем классифицировать сходимость как абсолютно сходящуюся и условно сходящуюся на основе поведения условия n . Если мы сможем показать, что чередующийся ряд сходится , как мы делаем с тестом чередующегося ряда, и что он не сходится без коэффициента чередования, (-1) n-1 , с помощью некоторого другого теста , можно сделать вывод, что ряд сходится условно .С другой стороны, если мы используем тест чередующихся серий и обнаруживаем, что ряд условно сходится, но затем независимо определяем, что ряд с | a n | Также сходится, можно сделать вывод, что ряд сходится абсолютно . В следующих тестах, где берется предел отношения абсолютных значений, результат, указывающий на сходимость, фактически указывает на то, что тестируемый ряд абсолютно сходится.


Тест отношения полезен для определения сходимости большого количества рядов, особенно тех, которые содержат факториалы.

Для бесконечной серии этот тест выполняется путем получения.
  • Если R < 1, то ряд сходится абсолютно
  • Если R > 1, то ряд расходится
  • Если R = 1, то проверка не дает результатов

Пример:


Как уже упоминалось ранее этот тест мог определить, является ли ряд расходящимся или абсолютно сходящимся на основе значения отношения R. В случае, когда R = 1, вы должны использовать другой тест ряда, чтобы с уверенностью заключить условие расхождения / сходимости ряда .Если R равно 1, не используйте вместо этого Root Test, потому что он даст эквивалентный неубедительный результат L = 1!


Для бесконечной серии вы выполняете корневой тест, находя.
  • Если L < 1, то серия сходится абсолютно
  • Если L > 1, то серия расходится
  • Если L = 1, то проверка не дает результатов

Пример:

Обычно мы используем Тест отношения для определения расходимости / сходимости рядов, содержащих факториалы, показатели степени и другие более сложные термины.Мы используем Root Test при обстоятельствах, когда все количество a n возводится в степень n, чтобы исключить мощность и оценить предел изолированного a n . Поскольку тест отношения более широко применим к различным сериям, мы используем его чаще, чем более специализированный тест корня.


Что касается чередующихся серий, мы можем определить ошибку n-й частичной суммы S n при аппроксимации суммы ряда.Ошибка, обозначенная R n , всегда меньше абсолютного значения следующего члена a n + 1 . Таким образом, имеем:

R n ≤ | a n + 1 |.

Пример:

Благодарим вас за посещение нашей вики-страницы серийных тестов. Мы надеемся, что помогли вам научиться эффективно справляться с сериями и / или прояснили любые вопросы, которые могли у вас возникнуть!


Как проводить тест соотношения

Тест соотношения

Тесты сходимости используются для определения сходимости рядов или степенных рядов.Существует множество тестов на сходимость, но в этой статье мы сосредоточимся на тесте отношения. Тест отношения — это один из тестов, используемых для определения сходимости или расхождения бесконечных рядов. Вы даже можете использовать тест отношения, чтобы найти радиус и интервал сходимости степенного ряда! Многие студенты не могут понять, какой тест использовать, пытаясь определить, сходится ли ряд или расходится. Мы рекомендуем вам использовать этот тест ряда, если кажется, что ваш ряд имеет факториалы или полномочия.

Определение коэффициента соотношения следующее:

Пусть существует серия Σan \ Sigma a_ {n} Σan.Затем мы говорим, что:

Формула 1: тест соотношения

Где:

Если r <1, ​​то ряд сходящийся. Сходящийся ряд означает, что бесконечный ряд имеет конечную сумму.

Если r> 1 (включая бесконечность), то ряд расходящийся. Это означает, что бесконечный ряд суммируется до бесконечности.

Если r = 1, то ряд может быть расходящимся или сходящимся.

Обычно, если r = 1, тогда тест отношения не проходит и потребует другого теста для определения сходимости или расхождения ряда.Я не собираюсь приводить доказательства того, почему тест соотношения работает, но эта ссылка здесь предоставляет пошаговое формальное доказательство этого.

http://blogs.ubc.ca/infiniteseriesmodule/appendices/proof-of-the-ratio-test/proof-of-the-ratio-test/

Почему бы нам не взглянуть на несколько примеров теста отношения и узнать, как в полной мере использовать тест отношения.

Коэффициент сходимости

Давайте посмотрим на следующую серию:

  • Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt.1
  • Посмотрим, сходится ряд или расходится. Сразу вы видите факториал в серии. Это означает, что рекомендуется использовать тест соотношения. Пусть

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 2
  • Итак, у нас также будет

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 3
  • Используя эти два и вставив их в формулу теста соотношения, мы получим:

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 4
  • Мы знаем, что когда вы делите дробь, это то же самое, что и умножение обратной величины дроби.Таким образом, мы можем изменить это на

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 5
  • Мне нравится сравнивать все числители и знаменатели, которые я вижу здесь. Обратите внимание, что я могу сопоставить степени, факториалы и многочлены так, чтобы это выглядело так:

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 6
  • Обратите внимание, что степени от четверок могут отменяться. Следовательно, это даст нам:

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 7
  • Также можно разложить на множители куб многочленов.Так вы получите

    . Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 8
  • Кроме того, мы можем использовать факториальные правила, чтобы разложить факториалы. Сделав все это, мы получим:

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 9
  • Обратите внимание, что раскрытие факториалов приводит к отмене всех членов, кроме или n + 1 в знаменателе. Следовательно, мы можем заключить, что упрощение факториалов приводит к:

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 10
  • В скобках мы собираемся разделить n + 1 на n, и в итоге получим

    . Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt.11
  • Теперь мы фактически собираемся взять предел здесь. Обратите внимание, что при nn n → ∞ \ infty∞ 1 (n + 1) \ frac {1} {(n + 1)} (n + 1) 1 переходит в 0. Кроме того, 1 + 1n1 + \ frac { 1} {n} 1 + n1 внутри скобок превратится в 1. Тем не менее, оно будет умножено на 0, так что весь предел упадет до 0. Следовательно,

    Уравнение 1: Тест коэффициента сходимости pt. 12

Мы знаем, что 0 <1, так что же делает тест на соотношение? Это означает, что ряды сходятся. Обратите внимание, что использование теста отношения не дает вам суммы ряда; для этого вам придется использовать другие средства.Теперь давайте рассмотрим случай, когда тест соотношения показывает, что ряд расходится.

Тест отношения на расхождение

Проверим дивергенцию в следующем ряду:

  • Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 1
  • Мы снова видим факториал, поэтому будет разумно использовать тест отношения.

    Пусть

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 2
  • Итак, у нас будет это:

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 3
  • Следовательно, использование формулы теста отношения даст нам:

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt.4
  • Опять же, мы можем просто это сделать, чтобы у нас не было дроби поверх дроби. Вместо этого мы можем изменить это на умножение на обратную дробь. Это дает нам:

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 5
  • Сопоставим многочлены и факториалы так, чтобы у нас было

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 6
  • Мы можем расширить факториалы так, чтобы

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 7
  • Обратите внимание, что члены могут сокращаться, так что мы можем просто уравнение:

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt.{2} n2 из знаменателя приводит к:

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 10
  • Теперь мы можем перейти к пределу при nn n → ∞ \ infty∞. Обратите внимание, что взятие предела приводит к тому, что знаменатель становится 1, а числитель стремится к бесконечности. Следовательно, весь предел уходит в бесконечность. Отсюда можно сделать вывод, что:

    Уравнение 2: Тест на коэффициент расходимости pt. 11
  • Так как ∞ \ infty∞> 1, то можно заключить, что ряд уходит в бесконечность.

Если вы хотите просмотреть больше примеров тестов отношения со сходящимися или расходящимися рядами, щелкните вкладку урока.Пока мы говорим о тесте соотношения, мы могли бы также поговорить о корневом тесте. Почему? Потому что они очень похожи!

Корневой тест

Пусть существует ряд σan \ sigma a_ {n} σan. Затем мы говорим, что:

Формула 2: Корневой тест

Где:

Если r <1, ​​то ряд сходится

Если r> 1 (включая бесконечность), то ряд расходящийся

Если r = 1, то ряд может быть расходящимся или сходящимся.

Обычно, если r = 1, то корневой тест не выполняется, и потребуется другой тест для определения сходимости или расхождения ряда.Поймите, что эти правила точно такие же, как и у теста на соотношение! Опять же, я не собираюсь предоставлять доказательство того, что корневой тест работает, но я опубликую здесь ссылку, показывающую доказательство:

http://people.sju.edu/~pklingsb/pfroot.pdf

Рассмотрим пример использования корневого теста!

Рассмотрим следующую серию:

  • Уравнение 3: Тест корня дивергенции pt. 1
  • Сначала устанавливаем:

    Уравнение 3: Тест корня дивергенции pt. 2
  • Теперь, используя корневой тест, мы получим:

    Уравнение 3: Тест корня дивергенции pt.3
  • Обратите внимание, что мы можем разложить на множители степень n как в знаменателе, так и в числителе так, чтобы:

    Уравнение 3: Тест корня дивергенции pt. 4
  • Мы можем даже вынести степень n из абсолютного значения так, чтобы:

    Уравнение 3: Тест корня дивергенции pt. 5
  • Теперь, взяв предел этого как nn n → ∞ \ infty∞, мы получим, что r будет бесконечным. Другими словами,

    Уравнение 3: Тест корня дивергенции pt. 6
  • Поскольку r = ∞ \ infty∞> 1, то мы знаем, что ряд расходится.

Поскольку мы теперь хорошо знакомы с тестом отношения и тестом корня, давайте поговорим о поиске интервала сходимости.

Как найти интервал схождения

Мы умеем находить интервал сходимости степенного ряда. Силовые серии имеют вид

Формула 3: силовая серия

Где cnc_ {n} cn — коэффициенты каждого члена в ряду, а a — число, вокруг которого центрирован ряд. Мы можем найти радиус и интервал сходимости, если возьмем тест отношения или тест корня.В зависимости от серии мощности один тест может быть более удобным, чем другой. Как найти интервал сходимости с помощью теста отношения?

Пусть

Формула 4: Интервал конвергенции ч. 1

Тогда применение теста соотношения даст:

Формула 4: Интервал конвергенции ч. 2

После перехода к пределу установите r <1, ​​а затем измените неравенство так, чтобы оно приняло форму | x-a |

Интервал сходимости — это значение всех x, для которых сходится степенной ряд.Этот интервал будет

. Формула 4: Интервал конвергенции ч. 3

Также важно проверить конечные точки этого неравенства (-R + a и R + a), чтобы увидеть, сходятся ли они также. Если да, то включите их в неравенство!

Обратите внимание, что в некоторых случаях мы не можем получить неравенство | x-a |

Хорошо, теперь, когда мы знаем, каков радиус и интервал сходимости, почему бы нам не сделать несколько примеров?

Давайте посмотрим на серию мощности:

Вы можете увидеть, что это не в форме | x-a |

Как найти интервал сходимости с помощью корневого теста? И снова, мы просто используем формулу проверки корня и устанавливаем r <1 и пытаемся получить неравенство | x-a | интервал сходимости будет. Не забудьте проверить конечные точки, чтобы увидеть, сходится ли ряд или расходится. Если он сходится, включите его в интервал.

Еще раз обратите внимание, что вы столкнетесь со случаями, когда вы получите либо r = 0 <1, либо r = ∞ \ infty∞. r = 0 означает, что степенной ряд сходится для всех значений x, а r = ∞ \ infty∞ означает, что степенной ряд всегда расходится.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда мы находим интервал сходимости с помощью корневого теста. Рассмотрим степенной ряд:

Как заставить расходящиеся бесконечные серии сходиться

На этой неделе я обедал с моим коллегой, когда разговор перешел на то, чему мы учили в этом семестре. Он упомянул ту часть исчисления, которая имеет дело с бесконечными рядами (проклятие многих студентов), и как на самом деле он просто мысленно сравнивает все с гармоническим рядом: 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + … Эта серия расходится с ; то есть сумма бесконечна (сравните это со сходящимся рядом (1/2) + (1/4) + (1/8) +… = 1).Затем я случайно упомянул, что если вы возьмете гармонический ряд и выбросите члены, знаменатели которых содержат 9, то полученный ряд сходится.

«Я в это не верю. Как это может быть правдой?»

Это была моя первая реакция на этот факт, потому что мы настолько привыкли к идее, что гармонические ряды расходятся, что не можем поверить, что отбрасывание нескольких членов, даже бесконечно большого количества, будет иметь значение. И в 9 нет ничего особенного; вы можете отбросить термины, содержащие любую конкретную цифру.Фактически, вы можете выбрать любую конечную строку цифр, отбросить содержащие их термины, и результат сходится. Теперь давайте поговорим о том, что все это значит и как мы можем это доказать.

Первое, что нужно выяснить — это правильное определение. В конце концов, я не могу сложить бесконечно много чисел (не хватает времени), но моя интуиция насчет ряда (1/2) + (1/4) + (1/8) +… = 1 подсказывает мне, что я должен быть смог понять эту идею. Кстати, надеюсь, понятно, почему сумма этого ряда равна 1 — представьте, что вы пытаетесь пройти через комнату; сначала вы должны пройти половину пути, затем половину этого расстояния (1/4), затем половину этого расстояния (1/8), и в конечном итоге вы доберетесь туда, куда идете, поэтому все эти дроби в сумме дают 1.Зенон, конечно, не согласился бы, поскольку именно этот пример формирует его парадоксальное утверждение о невозможности движения.

Что делать? Ну, я могу сложить конечное число чисел, искать закономерность, а затем посмотреть, что произойдет, если я позволю этому конечному числу членов стать произвольно большим. В общем, для бесконечного ряда ∑ a i = a 1 + a 2 + a 3 +… мы формируем последовательность частичных сумм s n = a 1 + a 2 +… + a n , а затем определите сумму бесконечного ряда как предел этой последовательности частичных сумм, если она существует. Если предел не существует, мы говорим, что серия расходится с . Итак, ряд степеней 2 имеет частичные суммы, которые выглядят как

И поскольку бит 1/2 n становится очень маленьким, поскольку n уходит в бесконечность, мы говорим, что сумма ряда равна 1. Но как насчет гармонического ряда? Нет очевидной формулы для его частичных сумм, но мы можем утверждать, что они уходят в бесконечность двумя способами.Один из способов — посмотреть на частичную сумму 2 n :

Мы можем сделать это сколь угодно большим, взяв n как большое, так что ряды расходятся. Вот еще один способ увидеть это. Каждый член гармонического ряда можно представить как площадь прямоугольника с основанием 1 и высотой 1/ n . Рассмотрим график функции y = 1 / x и вычислим площадь под кривой от x = 1 до n + 1:

Поскольку все эти прямоугольники лежат над кривой, а сумма их площадей составляет n -ю частичную сумму гармонического ряда, получаем неравенство

Поскольку функция натурального логарифма неограниченно возрастает, частичные суммы и гармонический ряд также расходятся.Кроме того, эта формулировка очень полезна для оценки частичных сумм. С помощью аналогичного анализа мы можем получить верхнюю границу частичных сумм, нарисовав прямоугольники под кривой y = 1 / x , чтобы аппроксимировать площадь, и затем мы обнаружим, что

Это наблюдение приводит к старой шутке о том, что известно, что гармонический ряд расходится, но этого никогда не наблюдалось. Предположим, мы начали с Большого взрыва 13,8 миллиарда лет назад и добавили один член гармонического ряда в секунду.Частичная сумма сегодня будет между 40,6 и 41,6; это одно медленное путешествие в бесконечность.

Но как насчет утверждения, которое я сделал выше, что если вы выберете свою любимую цифру, скажем 9, и удалите все члены, знаменатели которых содержат 9, то результирующий ряд сходится? Сначала это может показаться неправдоподобным, но вот эвристика. Когда у нас есть большое количество цифр, случайное число содержит 9 как одну из цифр с очень высокой вероятностью. Другими словами, случайные числа с большим количеством цифр, ни одна из которых не является 9, встречаются редко.Попробуем посчитать это внимательно. Первый член, который мы удаляем из гармонического ряда, равен 1/9. Затем мы удаляем 1/19, 1/29, …, 1/89, но затем удаляем следующие десять членов 1/90, 1/91, …, 1/99. Мы делаем это для следующих нескольких сотен терминов, пока не дойдем до 1/900, где мы удалим 100 последовательных терминов. В общем, если мы назовем серию со всеми удаленными элементами, включающими 9, D , тогда мы получим D = D 1 + D 2 + … , где D i — это сумма члены, знаменатели которых содержат ровно цифр, ни одна из которых не равна 9.Число цифр i , не содержащих 9, равно 8 · 9 i-1 , поскольку первая цифра не может быть 0 или 9, а остальные цифры не могут быть 9. Каждый член в D i имеет вид 1/ r , где r — это i -значное число. Таким образом, каждое r ≥10 i-1 и, как результат, D i ≤ 8 · (9/10) i-1 . Отсюда следует неравенство

, а поскольку D представляет собой ограниченный сверху ряд положительных членов, он должен сходиться.

Обратите внимание, что в 9 не было ничего особенного, и если вы хотите выбрать 0, требуется лишь небольшая модификация. Более того, должно быть довольно ясно, что можно выбрать любую конечную строку, например 3456789, удалить все члены, в которых она появляется, и в результате все равно будет сходящийся ряд, хотя и с гораздо большей суммой.

Подобные серии

называются сериями Кемпнера, и здесь есть статья о них почти 100-летней давности. Нахождение их точной суммы — обычно неразрешимая проблема, и мы должны довольствоваться численными оценками.Мы знаем, что сумма меньше 80 (для любой цифры, кроме 0), но без девяток фактическая сумма составляет примерно 22,92067.

Серия

— это очень весело, и они снова появятся, когда я возобновлю сборник статей о π. Впереди еще много сюрпризов, так что следите за обновлениями.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.